Эпиморфизм
В теории категорий эпиморфизм морфизм это → f : X — Y , который является правосократимым в том смысле, что для всех объектов Z и всех морфизмов g 1 , g 2 : Y → Z ,
Эпиморфизмы являются категориальными аналогами онто- или сюръективных функций (а в категории множеств это понятие точно соответствует сюръективным функциям), но они не могут точно совпадать во всех контекстах; например, включение является кольцевым эпиморфизмом. Двойственный категории эпиморфизму является мономорфизмом (т.е. эпиморфизм в C является мономорфизмом в двойственной категории C на ).
Многие авторы абстрактной и универсальной алгебры определяют эпиморфизм просто как онто- или сюръективный гомоморфизм . Каждый эпиморфизм в этом алгебраическом смысле является эпиморфизмом в смысле теории категорий, но обратное верно не для всех категорий. В данной статье термин «эпиморфизм» будет использоваться в приведенном выше смысле теории категорий. Подробнее об этом см. § Терминология ниже.
Примеры [ править ]
Каждый морфизм в конкретной категории , основная функция которого сюръективна , является эпиморфизмом. Во многих конкретных категориях интересов верно и обратное. Например, в следующих категориях эпиморфизмы — это именно те морфизмы, которые сюръективны на базовых множествах:
- Набор : наборы и функции. Чтобы доказать, что каждый эпиморфизм f : X → Y в Set сюръективен, мы составим его как из характеристической функции g 1 : Y → {0,1} образа f ( X ), так и из отображения g 2 : Y → {0 ,1}, то есть константа 1.
- Rel : множества с бинарными отношениями и функциями, сохраняющими отношения. Здесь мы можем использовать то же доказательство, что и для Set , снабжая {0,1} полным отношением {0,1}×{0,1}.
- Pos : частично упорядоченные множества и монотонные функции . Если f : ( X , ≤ ) → ( Y , ≤ ) не сюръективно, выберите y 0 в Y \ f ( X ) и пусть g 1 : Y → {0,1} будет характеристической функцией { y | y 0 ≤ y } и g 2 : Y → {0,1} характеристическая функция { y | у 0 < у }. Эти отображения являются монотонными, если {0,1} задан стандартный порядок 0 <1.
- Grp : группы и групповые гомоморфизмы . Результат о том, что каждый эпиморфизм в Grp сюръективен, принадлежит Отто Шрайеру (на самом деле он доказал больше, показав, что каждая подгруппа является эквалайзером, используя свободное произведение с одной объединенной подгруппой); элементарное доказательство можно найти в (Линдерхольм, 1970).
- FinGrp : конечные группы и гомоморфизмы групп. Также благодаря Шрайеру; доказательство, данное в (Линдерхольм, 1970), также доказывает этот случай.
- Ab : абелевы группы и гомоморфизмы групп.
- K -Vect : векторные пространства над полем K и K -линейные преобразования .
- Mod - R : правые модули над кольцом R и гомоморфизмы модулей . Это обобщает два предыдущих примера; Чтобы доказать, что каждый эпиморфизм f : X → Y в Mod - R сюръективен, мы составляем его как с каноническим фактор-отображением g 1 : Y → Y / f ( X ), так и с нулевым отображением g 2 : Y → Y / f ( Х ).
- Вверху : топологические пространства и непрерывные функции . Чтобы доказать, что каждый эпиморфизм в Top сюръективен, мы действуем точно так же, как в Set , задавая {0,1} недискретную топологию , которая гарантирует, что все рассматриваемые отображения непрерывны.
- HComp : компакты Хаусдорфа и непрерывные функции. Если f : X → Y не сюръективно, пусть y ∈ Y − fX . Поскольку функция fX замкнута, по лемме Урысона существует непрерывная функция g 1 : Y → [0,1] такая, что g 1 равна 0 на fX и 1 на y . Составляем f как с g 1 , так и с нулевой функцией g 2 : Y → [0,1].
Однако существует также много конкретных категорий, представляющих интерес, в которых эпиморфизмы не могут быть сюръективными. Вот несколько примеров:
- В моноидов Mon Z отображение включения N → категории является несюръективным эпиморфизмом. Чтобы убедиться в этом, предположим, что g 1 и g 2 — два различных отображения Z в некоторый моноид M . для некоторого n из Z Тогда g 1 ( n ) ≠ g 2 ( n ), поэтому g 1 (− n ) ≠ g 2 (− n ). Либо n, −n находится N , поэтому ограничения g1 в и g2 N на либо неравны.
- В категории алгебр над коммутативным кольцом R возьмем R [ N ] → R [ Z ], где R [ G ] — кольцо моноида моноида G , а морфизм индуцируется включением N → Z, как в предыдущем примере. . Это следует из наблюдения, что 1 порождает алгебру R [ Z ] (обратите внимание, что единица в R [ Z ] задается 0 из Z ), а обратный элемент, представленный n в Z, является просто элементом, представленным — н . любой гомоморфизм из R [ Z ] однозначно определяется своим значением на элементе, представленном единицей из Z. Таким образом ,
- В категории колец Ring отображение включения Z → Q является несюръективным эпиморфизмом; чтобы убедиться в этом, заметим, что любой гомоморфизм колец на Q полностью определяется его действием на Z , как и в предыдущем примере. Аналогичный аргумент показывает, что естественный гомоморфизм колец любого коммутативного кольца R в любую из его локализаций является эпиморфизмом.
- В категории коммутативных колец гомоморфизм конечно порожденный колец f : R → S является эпиморфизмом тогда и только тогда, когда для всех простых идеалов P кольца R идеал Q , порожденный f ( P ), либо S , либо является простым, и если Q не является S , индуцированное отображение Frac ( R / P ) → Frac ( S / Q ) является изоморфизмом ( EGA IV 17.2.6).
- В категории хаусдорфовых пространств Haus эпиморфизмы — это в точности непрерывные функции с плотными образами. Например, отображение включения Q → R является несюръективным эпиморфизмом.
Вышеизложенное отличается от случая мономорфизмов, где чаще всего верно, что мономорфизмы - это именно те, основные функции которых инъективны .
Что касается примеров эпиморфизмов в неконкретных категориях:
- Если моноид или кольцо рассматривать как категорию с единственным объектом (композицией морфизмов, заданных умножением), то эпиморфизмы представляют собой в точности правосократимые элементы.
- Если ориентированный граф рассматривать как категорию (объекты — вершины, морфизмы — пути, композиция морфизмов — конкатенация путей), то каждый морфизм является эпиморфизмом.
Свойства [ править ]
Каждый изоморфизм является эпиморфизмом; на самом деле требуется только правосторонний обратный: если существует морфизм j : Y → X такой, что fj = id Y , то f : X → Y , как легко увидеть, является эпиморфизмом. Отображение с таким правосторонним обратным называется расщепленным эпи . В топосе отображение, которое является одновременно моническим морфизмом и эпиморфизмом, является изоморфизмом.
Композиция двух эпиморфизмов снова является эпиморфизмом. Если композиция fg двух морфизмов является эпиморфизмом, то f должен быть эпиморфизмом.
Как показывают некоторые из приведенных выше примеров, свойство быть эпиморфизмом определяется не только морфизмом, но и категорией контекста. Если D — подкатегория C , , то каждый морфизм в D , который является эпиморфизмом, если рассматривать его как морфизм в также является эпиморфизмом в D. C Однако обратное не обязательно верно; меньшая категория может (и часто будет) иметь больше эпиморфизмов.
Что касается большинства понятий в теории категорий, эпиморфизмы сохраняются при эквивалентности категорий : при эквивалентности F : C → D морфизм f является эпиморфизмом в категории C тогда и только тогда, когда F ( f ) является эпиморфизмом в D . Двойственность между двумя категориями превращает эпиморфизмы в мономорфизмы и наоборот.
Определение эпиморфизма можно переформулировать так, чтобы утверждать, что f : X → Y является эпиморфизмом тогда и только тогда, когда индуцированные отображения
инъективны выбора для любого Z . Это, в свою очередь, эквивалентно индуцированному естественному преобразованию
являющийся мономорфизмом в функторной категории Set С .
Каждый коэквалайзер является эпиморфизмом, что является следствием требования единственности в определении коэквалайзера. Отсюда, в частности, следует, что каждое коядро является эпиморфизмом. Обратное утверждение, а именно, что каждый эпиморфизм является коэквалайзером, неверно не во всех категориях.
Во многих категориях каждый морфизм можно записать как композицию эпиморфизма, за которым следует мономорфизм. Например, для группового гомоморфизма f : G → H мы можем определить группу K = im( f ), а затем записать f как композицию сюръективного гомоморфизма G → K , который определяется как f , за которым следует инъективный гомоморфизм K → H , который отправляет каждый элемент сам себе. Такая факторизация произвольного морфизма в эпиморфизм с последующим мономорфизмом может быть осуществлена во всех абелевых категориях, а также во всех конкретных категориях, упомянутых выше в § Примеры (хотя и не во всех конкретных категориях).
Связанные понятия [ править ]
Среди других полезных концепций регулярный эпиморфизм , экстремальный эпиморфизм , непосредственный эпиморфизм , сильный эпиморфизм и расщепленный эпиморфизм .
- Эпиморфизм называется регулярным , если он является соэквалайзером некоторой пары параллельных морфизмов.
- Эпиморфизм говорят, что это экстремально [1] если в каждом представлении , где является мономорфизмом , морфизм автоматически является изоморфизмом .
- Эпиморфизм называется непосредственным, если в каждом представлении , где является мономорфизмом и является эпиморфизмом, морфизм автоматически является изоморфизмом .
- Эпиморфизм говорят, сильный [1] [2] если для любого мономорфизма и любые морфизмы и такой, что , существует морфизм такой, что и .
- Эпиморфизм называется расщепленным, если существует морфизм такой, что (в этом случае называется правосторонним обратным для ).
В теории колец существует также понятие гомологического эпиморфизма . Морфизм f : A → B колец является гомологическим эпиморфизмом, если он является эпиморфизмом и индуцирует полный и точный функтор на производных категориях :D( ж ) : D( B ) → D( А ).
Морфизм, который является одновременно мономорфизмом и эпиморфизмом, называется биморфизмом . Каждый изоморфизм является биморфизмом, но обратное, вообще говоря, неверно. Например, отображение полуинтервала [ 0,1) в единичную окружность S 1 (думаемый как подпространство комплексной плоскости ), которое переводит x в exp(2πi x ) (см. формулу Эйлера ), является непрерывным и биективным, но не является гомеоморфизмом , поскольку обратное отображение не является непрерывным в точке 1, поэтому оно является экземпляром биморфизм, не являющийся изоморфизмом в категории Top . Другой пример — вложение Q → R в категорию Haus ; как отмечалось выше, это биморфизм, но он не биективен и, следовательно, не изоморфизм. Аналогично в категории колец отображение Z → Q является биморфизмом, но не изоморфизмом.
Эпиморфизмы используются для определения абстрактных фактор-объектов в общих категориях: два эпиморфизма f 1 : X → Y 1 и f 2 : X → Y 2 называются эквивалентными , если существует изоморфизм j : Y 1 → Y 2 с j f 1. знак равно ж 2 . Это эквивалентности , и классы эквивалентности определяются как факторобъекты X. отношение
Терминология [ править ]
Сопутствующие термины эпиморфизм и мономорфизм были впервые введены Бурбаки . Бурбаки использует эпиморфизм как сокращение для сюръективной функции . Ранние теоретики категорий полагали, что эпиморфизмы были правильным аналогом сюръекций в произвольной категории, подобно тому, как мономорфизмы являются почти точным аналогом инъекций. К сожалению, это неверно; сильные или регулярные эпиморфизмы ведут себя гораздо ближе к сюръекциям, чем обычные эпиморфизмы. Сондерс Мак Лейн попытался провести различие между эпиморфизмами , которые представляли собой карты конкретной категории, базовые карты множества которых были сюръективными, и эпическими морфизмами , которые являются эпиморфизмами в современном смысле. Однако это различие так и не прижилось.
Распространенной ошибкой является мнение, что эпиморфизмы либо идентичны сюръекциям, либо являются лучшей концепцией. К сожалению, это случается редко; эпиморфизмы могут быть очень загадочными и вести себя неожиданно. Например, очень сложно классифицировать все эпиморфизмы колец. В общем, эпиморфизмы — это отдельная уникальная концепция, родственная сюръективам, но принципиально отличающаяся от них.
См. также [ править ]
Примечания [ править ]
Ссылки [ править ]
- Адамек, Иржи; Замечательно, Хорст; Стретчер, Джордж Э. (1990). Абстрактные и конкретные категории (PDF) . Джон Уайли и сыновья. ISBN 0-471-60922-6 .
- Бергман, Джордж (2015). Приглашение к общей алгебре и универсальным конструкциям . Спрингер. ISBN 978-3-319-11478-1 .
- Борсо, Фрэнсис (1994). Справочник по категорической алгебре. Том 1: Базовая теория категорий . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0521061193 .
- Риль, Эмили (2016). Теория категорий в контексте . Dover Publications, Inc. Минеола, Нью-Йорк. ISBN 9780486809038 .
- Цаленко, М.С.; Шульгейфер, Э.Г. (1974). Основы теории категорий . Наука. ISBN 5-02-014427-4 .
- «Эпиморфизм» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
- Ловер, Ф. Уильям; Роузбру, Роберт (2015). Наборы по математике . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-80444-8 .
- Линдерхольм, Карл (1970). «Групповой эпиморфизм сюръективен» . Американский математический ежемесячник . 77 (2): 176–177. дои : 10.1080/00029890.1970.11992448 .