Решение квадратных уравнений с цепными дробями
В математике квадратное уравнение — это полиномиальное уравнение второй степени . Общая форма
где а ≠ 0.
Квадратное уравнение над числом можно решить с помощью известной квадратной формулы , которую можно получить, дополняя квадрат . Эта формула всегда дает корни квадратного уравнения, но решения выражаются в форме, которая часто включает в себя квадратное иррациональное число, которое представляет собой алгебраическую дробь , которую можно оценить как десятичную дробь только путем применения дополнительного алгоритма извлечения корня .
Если корни действительны , существует альтернативный метод, который позволяет получить рациональное приближение к одному из корней путем непосредственного манипулирования уравнением. Метод работает во многих случаях и уже давно стимулировал дальнейшее развитие аналитической теории цепных дробей .
Простой пример [ править ]
Вот простой пример, иллюстрирующий решение квадратного уравнения с использованием цепных дробей . Начнем с уравнения
и манипулировать им напрямую. Вычитая по единице из обеих частей, получаем
Это легко учесть
из чего мы получаем
и наконец
Теперь наступает решающий шаг. Мы рекурсивно подставим это выражение вместо x обратно в себя, чтобы получить
Но теперь мы можем сделать ту же самую рекурсивную замену снова, и снова, и снова, сдвигая неизвестную величину x так далеко вниз и вправо, как нам заблагорассудится, и получая в пределе бесконечную цепную дробь.
Применяя фундаментальные рекуррентные формулы, мы можем легко вычислить последовательные дроби этой цепной дроби: 1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, 99/70, 239/169, ..., где каждая последующая дробь формируется путем взятия числителя плюс знаменатель предыдущего члена в качестве знаменателя следующего члена, а затем добавления предыдущего знаменателя для формирования нового числителя. Эта последовательность знаменателей представляет собой особую последовательность Люка, известную как числа Пелла .
Алгебраическое объяснение [ править ]
Мы можем получить дальнейшее понимание этого простого примера, рассмотрев последовательные степени
Эта последовательность последовательных полномочий определяется формулой
и так далее. появляются дроби, полученные как последовательные приближения к √ 2 Обратите внимание, как в этой геометрической прогрессии .
Поскольку 0 < ω < 1, последовательность { ω н } явно стремится к нулю в силу хорошо известных свойств положительных действительных чисел. Этот факт можно использовать для строгого доказательства того, что подходящие дроби, обсуждавшиеся в простом примере выше, действительно сходятся к √ 2 в пределе .
Мы также можем найти эти числители и знаменатели в последовательных степенях числа.
Последовательность последовательных степеней { ω − п } не приближается к нулю; вместо этого он растет без ограничений. Но его все равно можно использовать для получения подходящих чисел в нашем простом примере.
Обратите также внимание, что набор, полученный путем формирования всех комбинаций a + b √ 2 , где a и b — целые числа, является примером объекта, известного в абстрактной алгебре как кольцо , а точнее, как область целостности . Число ω является единицей в этой области целостности. См. также поле алгебраических чисел .
Общее квадратное уравнение [ править ]
Цепные дроби удобнее всего применять для решения общего квадратного уравнения, выраженного в виде однократного многочлена.
которое всегда можно получить путем деления исходного уравнения на его старший коэффициент . Исходя из этого монического уравнения, мы видим, что
Но теперь мы можем рекурсивно применить последнее уравнение к самому себе и получить
Если эта бесконечная цепная дробь сходится вообще , она должна сходиться к одному из корней монического многочлена x 2 + bx + c = 0. К сожалению, эта конкретная цепная дробь не во всех случаях сходится к конечному числу. Мы легко можем убедиться в этом, рассмотрев квадратичную формулу и монический полином с действительными коэффициентами. Если дискриминант такого многочлена отрицательный, то оба корня квадратного уравнения имеют мнимые части. В частности, если b и c — действительные числа и b 2 − 4 c < 0, все подходящие дроби этой «решения» цепной дроби будут действительными числами, и они не могут сходиться к корню вида u + iv (где v ≠ 0), который не принадлежит действительному числу линия .
Общая теорема
Применяя результат, полученный Эйлером в 1748 году, можно показать, что решение цепной дроби общего квадратного уравнения с действительными коэффициентами
данный
либо сходится , либо расходится в зависимости как от коэффициента b так и от значения дискриминанта , b 2 − 4 с .
Если b = 0, общее решение цепной дроби полностью расходится; подходящие чередуются между 0 и . Если b ≠ 0, то мы различаем три случая.
- Если дискриминант отрицательный, дробь расходится путем колебаний, а это означает, что ее подходящие дроби бродят регулярным или даже хаотическим образом, никогда не приближаясь к конечному пределу.
- Если дискриминант равен нулю, дробь сходится к единственному корню кратности два.
- Если дискриминант положителен, уравнение имеет два действительных корня, и цепная дробь сходится к большему (по модулю ) из них. Скорость сходимости зависит от абсолютного значения отношения между двумя корнями: чем дальше это отношение от единицы, тем быстрее сходится цепная дробь.
Когда приведенное квадратное уравнение с действительными коэффициентами имеет вид x 2 = c общее решение , описанное выше, бесполезно, поскольку деление на ноль не определено четко. Однако, пока c положительно, всегда можно преобразовать уравнение, вычитая полный квадрат из обеих частей и действуя по линиям, показанным выше как √ 2 . В символах, если
просто выберите какое-нибудь положительное действительное число p такое, что
Тогда непосредственными манипуляциями получаем
и эта преобразованная цепная дробь должна сходиться, поскольку все частичные числители и частичные знаменатели являются положительными действительными числами.
Комплексные коэффициенты [ править ]
По основной теореме алгебры , если унитарное полиномиальное уравнение x 2 + bx + c = 0 имеет комплексные коэффициенты, оно должно иметь два (не обязательно различных) комплексных корня. К сожалению, дискриминант b 2 − 4 c в этой ситуации не так полезно, поскольку это может быть комплексное число . Тем не менее, можно доказать модифицированную версию общей теоремы.
Решение цепной дроби общего квадратного уравнения с комплексными коэффициентами
данный
сходится или нет в зависимости от значения дискриминанта, b 2 − 4 c , и относительной величины двух его корней.
Обозначая два корня через r 1 и r 2, мы различаем три случая.
- Если дискриминант равен нулю, дробь сходится к единственному корню кратности два.
- Если дискриминант не равен нулю и | р 1 | ≠ | r 2 |, цепная дробь сходится к корню максимального модуля (т.е. к корню с большей абсолютной величиной ).
- Если дискриминант не равен нулю и | р 1 | = | r 2 |, цепная дробь расходится колебательно.
В случае 2 скорость сходимости зависит от абсолютного значения отношения между двумя корнями: чем дальше это отношение от единицы, тем быстрее сходится цепная дробь.
Это общее решение квадратных уравнений с комплексными коэффициентами обычно не очень полезно для получения рациональных приближений к корням, поскольку критерии являются круговыми (т. е. должны быть известны относительные величины двух корней, прежде чем мы сможем прийти к выводу, что дробь сходится). в большинстве случаев). Но это решение находит полезные приложения при дальнейшем анализе проблемы сходимости цепных дробей с комплексными элементами.
См. также [ править ]
Ссылки [ править ]
- Х.С. Уолл, Аналитическая теория цепных дробей , D. Van Nostand Company, Inc. , 1948 г. ISBN 0-8284-0207-8