Jump to content

Решение квадратных уравнений с цепными дробями

В математике квадратное уравнение — это полиномиальное уравнение второй степени . Общая форма

где а ≠ 0.

Квадратное уравнение над числом можно решить с помощью известной квадратной формулы , которую можно получить, дополняя квадрат . Эта формула всегда дает корни квадратного уравнения, но решения выражаются в форме, которая часто включает в себя квадратное иррациональное число, которое представляет собой алгебраическую дробь , которую можно оценить как десятичную дробь только путем применения дополнительного алгоритма извлечения корня .

Если корни действительны , существует альтернативный метод, который позволяет получить рациональное приближение к одному из корней путем непосредственного манипулирования уравнением. Метод работает во многих случаях и уже давно стимулировал дальнейшее развитие аналитической теории цепных дробей .

Простой пример [ править ]

Вот простой пример, иллюстрирующий решение квадратного уравнения с использованием цепных дробей . Начнем с уравнения

и манипулировать им напрямую. Вычитая по единице из обеих частей, получаем

Это легко учесть

из чего мы получаем

и наконец

Теперь наступает решающий шаг. Мы рекурсивно подставим это выражение вместо x обратно в себя, чтобы получить

Но теперь мы можем сделать ту же самую рекурсивную замену снова, и снова, и снова, сдвигая неизвестную величину x так далеко вниз и вправо, как нам заблагорассудится, и получая в пределе бесконечную цепную дробь.

Применяя фундаментальные рекуррентные формулы, мы можем легко вычислить последовательные дроби этой цепной дроби: 1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, 99/70, 239/169, ..., где каждая последующая дробь формируется путем взятия числителя плюс знаменатель предыдущего члена в качестве знаменателя следующего члена, а затем добавления предыдущего знаменателя для формирования нового числителя. Эта последовательность знаменателей представляет собой особую последовательность Люка, известную как числа Пелла .

Алгебраическое объяснение [ править ]

Мы можем получить дальнейшее понимание этого простого примера, рассмотрев последовательные степени

Эта последовательность последовательных полномочий определяется формулой

и так далее. появляются дроби, полученные как последовательные приближения к 2 Обратите внимание, как в этой геометрической прогрессии .

Поскольку 0 < ω < 1, последовательность { ω н } явно стремится к нулю в силу хорошо известных свойств положительных действительных чисел. Этот факт можно использовать для строгого доказательства того, что подходящие дроби, обсуждавшиеся в простом примере выше, действительно сходятся к √ 2 в пределе .

Мы также можем найти эти числители и знаменатели в последовательных степенях числа.

Последовательность последовательных степеней { ω п } не приближается к нулю; вместо этого он растет без ограничений. Но его все равно можно использовать для получения подходящих чисел в нашем простом примере.

Обратите также внимание, что набор, полученный путем формирования всех комбинаций a + b 2 , где a и b — целые числа, является примером объекта, известного в абстрактной алгебре как кольцо , а точнее, как область целостности . Число ω является единицей в этой области целостности. См. также поле алгебраических чисел .

Общее квадратное уравнение [ править ]

Цепные дроби удобнее всего применять для решения общего квадратного уравнения, выраженного в виде однократного многочлена.

которое всегда можно получить путем деления исходного уравнения на его старший коэффициент . Исходя из этого монического уравнения, мы видим, что

Но теперь мы можем рекурсивно применить последнее уравнение к самому себе и получить

Если эта бесконечная цепная дробь сходится вообще , она должна сходиться к одному из корней монического многочлена x 2 + bx + c = 0. К сожалению, эта конкретная цепная дробь не во всех случаях сходится к конечному числу. Мы легко можем убедиться в этом, рассмотрев квадратичную формулу и монический полином с действительными коэффициентами. Если дискриминант такого многочлена отрицательный, то оба корня квадратного уравнения имеют мнимые части. В частности, если b и c — действительные числа и b 2 − 4 c < 0, все подходящие дроби этой «решения» цепной дроби будут действительными числами, и они не могут сходиться к корню вида u + iv (где v ≠ 0), который не принадлежит действительному числу линия .

Общая теорема

Применяя результат, полученный Эйлером в 1748 году, можно показать, что решение цепной дроби общего квадратного уравнения с действительными коэффициентами

данный

либо сходится , либо расходится в зависимости как от коэффициента b так и от значения дискриминанта , b 2 − 4 с .

Если b = 0, общее решение цепной дроби полностью расходится; подходящие чередуются между 0 и . Если b ≠ 0, то мы различаем три случая.

  1. Если дискриминант отрицательный, дробь расходится путем колебаний, а это означает, что ее подходящие дроби бродят регулярным или даже хаотическим образом, никогда не приближаясь к конечному пределу.
  2. Если дискриминант равен нулю, дробь сходится к единственному корню кратности два.
  3. Если дискриминант положителен, уравнение имеет два действительных корня, и цепная дробь сходится к большему (по модулю ) из них. Скорость сходимости зависит от абсолютного значения отношения между двумя корнями: чем дальше это отношение от единицы, тем быстрее сходится цепная дробь.

Когда приведенное квадратное уравнение с действительными коэффициентами имеет вид x 2 = c общее решение , описанное выше, бесполезно, поскольку деление на ноль не определено четко. Однако, пока c положительно, всегда можно преобразовать уравнение, вычитая полный квадрат из обеих частей и действуя по линиям, показанным выше как 2 . В символах, если

просто выберите какое-нибудь положительное действительное число p такое, что

Тогда непосредственными манипуляциями получаем

и эта преобразованная цепная дробь должна сходиться, поскольку все частичные числители и частичные знаменатели являются положительными действительными числами.

Комплексные коэффициенты [ править ]

По основной теореме алгебры , если унитарное полиномиальное уравнение x 2 + bx + c = 0 имеет комплексные коэффициенты, оно должно иметь два (не обязательно различных) комплексных корня. К сожалению, дискриминант b 2 − 4 c в этой ситуации не так полезно, поскольку это может быть комплексное число . Тем не менее, можно доказать модифицированную версию общей теоремы.

Решение цепной дроби общего квадратного уравнения с комплексными коэффициентами

данный

сходится или нет в зависимости от значения дискриминанта, b 2 − 4 c , и относительной величины двух его корней.

Обозначая два корня через r 1 и r 2, мы различаем три случая.

  1. Если дискриминант равен нулю, дробь сходится к единственному корню кратности два.
  2. Если дискриминант не равен нулю и | р 1 | ≠ | r 2 |, цепная дробь сходится к корню максимального модуля (т.е. к корню с большей абсолютной величиной ).
  3. Если дискриминант не равен нулю и | р 1 | = | r 2 |, цепная дробь расходится колебательно.

В случае 2 скорость сходимости зависит от абсолютного значения отношения между двумя корнями: чем дальше это отношение от единицы, тем быстрее сходится цепная дробь.

Это общее решение квадратных уравнений с комплексными коэффициентами обычно не очень полезно для получения рациональных приближений к корням, поскольку критерии являются круговыми (т. е. должны быть известны относительные величины двух корней, прежде чем мы сможем прийти к выводу, что дробь сходится). в большинстве случаев). Но это решение находит полезные приложения при дальнейшем анализе проблемы сходимости цепных дробей с комплексными элементами.

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

  • Х.С. Уолл, Аналитическая теория цепных дробей , D. Van Nostand Company, Inc. , 1948 г. ISBN   0-8284-0207-8
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: f14ee20083ad8352b6d25c2fffa49aa6__1699434120
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/f1/a6/f14ee20083ad8352b6d25c2fffa49aa6.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Solving quadratic equations with continued fractions - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)