Решение квадратных уравнений с цепными дробями

В математике квадратное уравнение — это полиномиальное уравнение второй степени . Общая форма

$ax^{2}+bx+c=0,$

где а ≠ 0.

Квадратное уравнение над числом $x$ можно решить с помощью известной квадратной формулы , которую можно получить, дополняя квадрат . Эта формула всегда дает корни квадратного уравнения, но решения выражаются в форме, которая часто включает в себя квадратное иррациональное число, которое представляет собой алгебраическую дробь , которую можно оценить как десятичную дробь только путем применения дополнительного алгоритма извлечения корня .

Если корни действительны , существует альтернативный метод, который позволяет получить рациональное приближение к одному из корней путем непосредственного манипулирования уравнением. Метод работает во многих случаях и уже давно стимулировал дальнейшее развитие аналитической теории цепных дробей .

Простой пример

Вот простой пример, иллюстрирующий решение квадратного уравнения с использованием цепных дробей . Начнем с уравнения

$x^{2}=2$

и манипулировать им напрямую. Вычитая по единице из обеих частей, получаем

$x^{2}-1=1.$

Это легко учесть

$(x+1)(x-1)=1$

из чего мы получаем

$(x-1)={\frac {1}{1+x}}$

и наконец

$x=1+{\frac {1}{1+x}}.$

Теперь наступает решающий шаг. Мы рекурсивно подставим это выражение вместо x обратно в себя, чтобы получить

$x=1+{\cfrac {1}{1+\left(1+{\cfrac {1}{1+x}}\right)}}=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+x}}}}.$

Но теперь мы можем сделать ту же самую рекурсивную замену снова, и снова, и снова, сдвигая неизвестную величину x так далеко вниз и вправо, как нам заблагорассудится, и получая в пределе бесконечную цепную дробь.

$x=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+\ddots }}}}}}}}}}={\sqrt {2}}.$

Применяя фундаментальные рекуррентные формулы, мы можем легко вычислить последовательные дроби этой цепной дроби: 1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, 99/70, 239/169, ..., где каждая последующая дробь формируется путем взятия числителя плюс знаменатель предыдущего члена в качестве знаменателя следующего члена, а затем добавления предыдущего знаменателя для формирования нового числителя. Эта последовательность знаменателей представляет собой особую последовательность Люка, известную как числа Пелла .

Алгебраическое объяснение

Мы можем получить дальнейшее понимание этого простого примера, рассмотрев последовательные степени

$\omega ={\sqrt {2}}-1.$

Эта последовательность последовательных полномочий определяется формулой

${\begin{aligned}\omega ^{2}&=3-2{\sqrt {2}},&\omega ^{3}&=5{\sqrt {2}}-7,&\omega ^{4}&=17-12{\sqrt {2}},\\\omega ^{5}&=29{\sqrt {2}}-41,&\omega ^{6}&=99-70{\sqrt {2}},&\omega ^{7}&=169{\sqrt {2}}-239,\,\end{aligned}}$

и так далее. появляются дроби, полученные как последовательные приближения к √ 2 Обратите внимание, как в этой геометрической прогрессии .

Поскольку 0 < ω < 1, последовательность { ω ^н } явно стремится к нулю в силу хорошо известных свойств положительных действительных чисел. Этот факт можно использовать для строгого доказательства того, что подходящие дроби, обсуждавшиеся в простом примере выше, действительно сходятся к √ 2 в пределе .

Мы также можем найти эти числители и знаменатели в последовательных степенях числа.

$\omega ^{-1}={\sqrt {2}}+1.$

Последовательность последовательных степеней { ω ^{− п} } не приближается к нулю; вместо этого он растет без ограничений. Но его все равно можно использовать для получения подходящих чисел в нашем простом примере.

Обратите также внимание, что набор, полученный путем формирования всех комбинаций a + b √ 2 , где a и b — целые числа, является примером объекта, известного в абстрактной алгебре как кольцо , а точнее, как область целостности . Число ω является единицей в этой области целостности. См. также поле алгебраических чисел .

Общее квадратное уравнение

Цепные дроби удобнее всего применять для решения общего квадратного уравнения, выраженного в виде однократного многочлена.

$x^{2}+bx+c=0$

которое всегда можно получить путем деления исходного уравнения на его старший коэффициент . Исходя из этого монического уравнения, мы видим, что

${\begin{aligned}x^{2}+bx&=-c\\x+b&={\frac {-c}{x}}\\x&=-b-{\frac {c}{x}}\,\end{aligned}}$

Но теперь мы можем рекурсивно применить последнее уравнение к самому себе и получить

$x=-b-{\cfrac {c}{-b-{\cfrac {c}{-b-{\cfrac {c}{-b-{\cfrac {c}{-b-\ddots \,}}}}}}}}$

Если эта бесконечная цепная дробь сходится вообще , она должна сходиться к одному из корней монического многочлена x ² + bx + c = 0. К сожалению, эта конкретная цепная дробь не во всех случаях сходится к конечному числу. Мы легко можем убедиться в этом, рассмотрев квадратичную формулу и монический полином с действительными коэффициентами. Если дискриминант такого многочлена отрицательный, то оба корня квадратного уравнения имеют мнимые части. В частности, если b и c — действительные числа и b ² − 4 c < 0, все подходящие дроби этой «решения» цепной дроби будут действительными числами, и они не могут сходиться к корню вида u + iv (где v ≠ 0), который не принадлежит действительному числу линия .

Общая

Применяя результат, полученный Эйлером в 1748 году, можно показать, что решение цепной дроби общего квадратного уравнения с действительными коэффициентами

$x^{2}+bx+c=0$

данный

$x=-b-{\cfrac {c}{-b-{\cfrac {c}{-b-{\cfrac {c}{-b-{\cfrac {c}{-b-\ddots \,}}}}}}}}$

либо сходится , либо расходится в зависимости как от коэффициента b так и от значения дискриминанта , b ² − 4 с .

Если b = 0, общее решение цепной дроби полностью расходится; подходящие чередуются между 0 и $\infty$. Если b ≠ 0, то мы различаем три случая.

1. Если дискриминант отрицательный, дробь расходится путем колебаний, а это означает, что ее подходящие дроби бродят регулярным или даже хаотическим образом, никогда не приближаясь к конечному пределу.
2. Если дискриминант равен нулю, дробь сходится к единственному корню кратности два.
3. Если дискриминант положителен, уравнение имеет два действительных корня, и цепная дробь сходится к большему (по модулю ) из них. Скорость сходимости зависит от абсолютного значения отношения между двумя корнями: чем дальше это отношение от единицы, тем быстрее сходится цепная дробь.

Когда приведенное квадратное уравнение с действительными коэффициентами имеет вид x ² = c общее решение , описанное выше, бесполезно, поскольку деление на ноль не определено четко. Однако, пока c положительно, всегда можно преобразовать уравнение, вычитая полный квадрат из обеих частей и действуя по линиям, показанным выше как √ 2 . В символах, если

$x^{2}=c\qquad (c>0)$

просто выберите какое-нибудь положительное действительное число p такое, что

$p^{2}<c.$

Тогда непосредственными манипуляциями получаем

${\begin{aligned}x^{2}-p^{2}&=c-p^{2}\\(x+p)(x-p)&=c-p^{2}\\x-p&={\frac {c-p^{2}}{p+x}}\\x&=p+{\frac {c-p^{2}}{p+x}}\\&=p+{\cfrac {c-p^{2}}{p+\left(p+{\cfrac {c-p^{2}}{p+x}}\right)}}&=p+{\cfrac {c-p^{2}}{2p+{\cfrac {c-p^{2}}{2p+{\cfrac {c-p^{2}}{2p+\ddots \,}}}}}}\,\end{aligned}}$

и эта преобразованная цепная дробь должна сходиться, поскольку все частичные числители и частичные знаменатели являются положительными действительными числами.

Комплексные коэффициенты

По основной теореме алгебры , если унитарное полиномиальное уравнение x ² + bx + c = 0 имеет комплексные коэффициенты, оно должно иметь два (не обязательно различных) комплексных корня. К сожалению, дискриминант b ² − 4 c в этой ситуации не так полезно, поскольку это может быть комплексное число . Тем не менее, можно доказать модифицированную версию общей теоремы.

Решение цепной дроби общего квадратного уравнения с комплексными коэффициентами

$x^{2}+bx+c=0\qquad (b\neq 0)$

данный

$x=-b-{\cfrac {c}{-b-{\cfrac {c}{-b-{\cfrac {c}{-b-{\cfrac {c}{-b-\ddots \,}}}}}}}}$

сходится или нет в зависимости от значения дискриминанта, b ² − 4 c , и относительной величины двух его корней.

Обозначая два корня через r ₁ и r _2, мы различаем три случая.

1. Если дискриминант равен нулю, дробь сходится к единственному корню кратности два.
2. Если дискриминант не равен нулю и | р ₁ | ≠ | r ₂ |, цепная дробь сходится к корню максимального модуля (т.е. к корню с большей абсолютной величиной ).
3. Если дискриминант не равен нулю и | р ₁ | = | r ₂ |, цепная дробь расходится колебательно.

В случае 2 скорость сходимости зависит от абсолютного значения отношения между двумя корнями: чем дальше это отношение от единицы, тем быстрее сходится цепная дробь.

Это общее решение квадратных уравнений с комплексными коэффициентами обычно не очень полезно для получения рациональных приближений к корням, поскольку критерии являются круговыми (т. е. должны быть известны относительные величины двух корней, прежде чем мы сможем прийти к выводу, что дробь сходится). в большинстве случаев). Но это решение находит полезные приложения при дальнейшем анализе проблемы сходимости цепных дробей с комплексными элементами.

См. также

• Последовательность Лукаса
• Методы вычисления квадратных корней
• Уравнение Пелла

Ссылки

• Х.С. Уолл, Аналитическая теория цепных дробей , D. Van Nostand Company, Inc. , 1948 г. ISBN   0-8284-0207-8