Проблема сходимости

В аналитической теории цепных дробей проблемой сходимости является определение условий на частичные числители a _i и частичные знаменатели b _i для , достаточные того, чтобы гарантировать сходимость цепной дроби.

$x=b_{0}+{\cfrac {a_{1}}{b_{1}+{\cfrac {a_{2}}{b_{2}+{\cfrac {a_{3}}{b_{3}+{\cfrac {a_{4}}{b_{4}+\ddots }}}}}}}}.\,$

Эта проблема сходимости для цепных дробей по своей сути более сложна, чем соответствующая проблема сходимости для бесконечных рядов .

Элементарные результаты

Когда элементы бесконечной цепной дроби полностью состоят из положительных действительных чисел , формулу определителя можно легко применить, чтобы продемонстрировать, когда сходится цепная дробь. Поскольку знаменатели B _n в этом простом случае не могут быть равны нулю, задача сводится к тому, чтобы показать, что произведение последовательных знаменателей B _n B _{n +1} растет быстрее, чем произведение частичных числителей a ₁ a ₂ a ₃ ... а _{н +1} . Проблема сходимости значительно сложнее, когда элементами цепной дроби являются комплексные числа .

Периодические непрерывные дроби

Бесконечная периодическая цепная дробь — это цепная дробь вида

$x={\cfrac {a_{1}}{b_{1}+{\cfrac {a_{2}}{b_{2}+{\cfrac {\ddots }{\quad \ddots \quad b_{k-1}+{\cfrac {a_{k}}{b_{k}+{\cfrac {a_{1}}{b_{1}+{\cfrac {a_{2}}{b_{2}+\ddots }}}}}}}}}}}}\,$

где k ≥ 1, последовательность частичных числителей { a ₁ , a ₂ , a ₃ , ..., a _k } не содержит значений, равных нулю, а частичные числители { a ₁ , a ₂ , a ₃ , .. ., a _k } и частичные знаменатели { b ₁ , b ₂ , b ₃ , ..., b _k } повторяются снова и снова, до бесконечности .

Применяя теорию дробно-линейных преобразований к

$s(w)={\frac {A_{k-1}w+A_{k}}{B_{k-1}w+B_{k}}}\,$

где Ak _{- 1} , Bk _{- 1} , Ak _x и Bk _{-1- й} — числители и знаменатели k и k- й подходящих дробей бесконечной периодической цепной дроби x , можно показать, что сходится к одной из неподвижные точки s ( w ), если он вообще сходится. В частности, пусть r ₁ и r ₂ — корни квадратного уравнения

$B_{k-1}w^{2}+(B_{k}-A_{k-1})w-A_{k}=0.\,$

корни являются неподвижными точками s w ( Эти ). Если r ₁ и r ₂ конечны, то бесконечная периодическая цепная дробь x сходится тогда и только тогда, когда

1. два корня равны; или
2. k , и ни одна из -1-я подходящая дробь ближе к r _{1 ,} чем к r ₂ первых k подходящих дробей не равна r ₂ .

Если знаменатель Bk _{- 1} равен нулю, то бесконечное число знаменателей Bnk _{- 1} также обращается в нуль и цепная дробь не сходится к конечному значению. А когда два корня r ₁ и r ₂ равноудалены от k -1-й подходящей дроби – или когда r ₁ ближе к k -1-й подходящей дроби, чем r ₂ , но одна из первых k подходящих дробей равна r ₂ – непрерывная дробь x расходится за счет колебаний.

Особый случай, когда период k = 1

Если период непрерывной дроби равен 1; то есть, если

$x={\underset {1}{\overset {\infty }{\mathrm {K} }}}{\frac {a}{b}},\,$

где b ≠ 0, мы можем получить очень сильный результат. Во-первых, применяя преобразование эквивалентности, мы видим, что x сходится тогда и только тогда, когда

$y=1+{\underset {1}{\overset {\infty }{\mathrm {K} }}}{\frac {z}{1}}\qquad \left(z={\frac {a}{b^{2}}}\right)\,$

сходится. Тогда, применяя более общий результат, полученный выше, можно показать, что

$y=1+{\cfrac {z}{1+{\cfrac {z}{1+{\cfrac {z}{1+\ddots }}}}}}\,$

сходится для любого комплексного числа z, за исключением случаев, когда z является отрицательным действительным числом и z < - ⁠ 1/4 ​ ⁠ ​ . Более того, эта непрерывная дробь y сходится к конкретному значению

$y={\frac {1}{2}}\left(1\pm {\sqrt {4z+1}}\right)\,$

который имеет большее абсолютное значение (за исключением случаев, когда z действительно и z < - ⁠ 1/4 и ⁠ , в этом случае две неподвижные точки LFT, генерирующие y, имеют равные модули, а y расходится из-за колебаний).

Применяя другое преобразование эквивалентности, получим условие, гарантирующее сходимость

$x={\underset {1}{\overset {\infty }{\mathrm {K} }}}{\frac {1}{z}}={\cfrac {1}{z+{\cfrac {1}{z+{\cfrac {1}{z+\ddots }}}}}}\,$

тоже можно определить. Поскольку простое преобразование эквивалентности показывает, что

$x={\cfrac {z^{-1}}{1+{\cfrac {z^{-2}}{1+{\cfrac {z^{-2}}{1+\ddots }}}}}}\,$

всякий раз, когда z ≠ 0, предыдущий результат для цепной дроби y можно переформулировать для x . Бесконечная периодическая цепная дробь

$x={\underset {1}{\overset {\infty }{\mathrm {K} }}}{\frac {1}{z}}$

сходится тогда и только тогда, когда z ² не является действительным числом, лежащим в интервале −4 < z ² ≤ 0 – или, что то же самое, x сходится тогда и только тогда, когда z ≠ 0 и z не является чисто мнимым числом с мнимой частью между -2 и 2. (Не включая ни одну из конечных точек)

Теорема Ворпицкого

Применяя фундаментальные неравенства к цепной дроби

$x={\cfrac {1}{1+{\cfrac {a_{2}}{1+{\cfrac {a_{3}}{1+{\cfrac {a_{4}}{1+\ddots }}}}}}}}\,$

можно показать, что следующие утверждения верны, если | а _я | ≤ ⁠ 1/4 = ⁠ 2 , для частичных числителей a _i , i 3, 4, ...

• Цепная дробь x сходится к конечному значению и сходится равномерно, если частичные числители a _i являются комплексными переменными.
• Значение x и каждой из его подходящих точек x _i лежит в круговой области радиуса 2/3 с центром в точке z = 4/3; то есть в области, определенной

$\Omega =\lbrace z:|z-4/3|\leq 2/3\rbrace .\,$

• Радиус ⁠ 1/4 можно показать , ⁠ — это наибольший радиус, по которому что x сходится без исключения, а область Ω — это наименьшее пространство изображений, содержащее все возможные значения цепной дроби x .

Поскольку доказательство теоремы Ворпицкого использует формулу непрерывной дроби Эйлера для построения бесконечного ряда, эквивалентного непрерывной дроби x , а построенный таким образом ряд абсолютно сходится, M-критерий Вейерштрасса можно применить к модифицированной версии x . Если

$f(z)={\cfrac {1}{1+{\cfrac {c_{2}z}{1+{\cfrac {c_{3}z}{1+{\cfrac {c_{4}z}{1+\ddots }}}}}}}}\,$

и существует положительное действительное число M такое, что | с _я | ≤ M ( i = 2, 3, 4, ...), то последовательность подходящих чисел { f _i ( z )} сходится равномерно, когда

$|z|<{\frac {1}{4M}}\,$

и f ( z ) аналитичен на этом открытом диске.

Критерий Слешинского – Прингсгейма

Основная статья: теорема Слешинского – Прингсгейма

В конце 19 века Слешинский , а затем и Прингсхайм показали, что непрерывная дробь, в которой a и b могут быть комплексными числами, будет сходиться к конечному значению, если $|b_{n}|\geq |a_{n}|+1$ для $n\geq 1.$

Теорема Ван Флека

следующий результат Джонс и Трон приписывают Ван Флеку . Предположим, что все a _i равны 1, и все b _i имеют аргументы :

$-\pi /2+\epsilon <\arg(b_{i})<\pi /2-\epsilon ,i\geq 1,$

где эпсилон — любое положительное число меньше $\pi /2$. Другими словами, все b _i находятся внутри клина, вершина которого находится в начале координат, а угол раскрытия равен $\pi -2\epsilon$, и симметричен относительно положительной действительной оси. Тогда f _i , i-я сходящаяся к цепной дроби, конечна и имеет аргумент:

$-\pi /2+\epsilon <\arg(f_{i})<\pi /2-\epsilon ,i\geq 1.$

Кроме того, последовательность четных подходящих чисел будет сходиться, как и последовательность нечетных подходящих чисел. Сама цепная дробь будет сходиться тогда и только тогда, когда сумма всех | б _я | расходится.

Ссылки

• Джонс, Уильям Б.; Трон, WJ (1980), Цепные дроби: аналитическая теория и приложения. Энциклопедия математики и ее приложений. , том. 11, Чтение. Массачусетс: Издательская компания Addison-Wesley, ISBN  0-201-13510-8
• Оскар Перрон , Доктрина непрерывных дробей , издательство Chelsea Publishing Company , Нью-Йорк, Нью-Йорк, 1950.
• Х.С. Уолл, Аналитическая теория цепных дробей , D. Van Nostand Company, Inc. , 1948 г. ISBN   0-8284-0207-8