Непрерывный (математика)

В алгебре континуант представляющий — это многомерный многочлен, определитель трехдиагональной матрицы и имеющий применение в обобщенных цепных дробях .

Определение

n -й ​ континуант $K_{n}(x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})$ определяется рекурсивно

$K_{0}=1;\,$

$K_{1}(x_{1})=x_{1};\,$

$K_{n}(x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})=x_{n}K_{n-1}(x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{n-1})+K_{n-2}(x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{n-2}).\,$

Характеристики

• Продолжение $K_{n}(x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})$ можно вычислить, взяв сумму всех возможных произведений x ₁ ,..., x _n , в которой удаляется любое количество непересекающихся пар последовательных членов ( правило Эйлера ). Например,

  $K_{5}(x_{1},\;x_{2},\;x_{3},\;x_{4},\;x_{5})=x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}x_{5}\;+\;x_{3}x_{4}x_{5}\;+\;x_{1}x_{4}x_{5}\;+\;x_{1}x_{2}x_{5}\;+\;x_{1}x_{2}x_{3}\;+\;x_{1}\;+\;x_{3}\;+\;x_{5}.$

Отсюда следует, что континуанты инвариантны относительно изменения порядка неопределенных: $K_{n}(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n})=K_{n}(x_{n},\;\ldots ,\;x_{1}).$

• Континуант можно вычислить как определитель матрицы трехдиагональной :

  $K_{n}(x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})=\det {\begin{pmatrix}x_{1}&1&0&\cdots &0\\-1&x_{2}&1&\ddots &\vdots \\0&-1&\ddots &\ddots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &1\\0&\cdots &0&-1&x_{n}\end{pmatrix}}.$

• $K_{n}(1,\;\ldots ,\;1)=F_{n+1}$, ( n +1)-е число Фибоначчи .
• ${\frac {K_{n}(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n})}{K_{n-1}(x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})}}=x_{1}+{\frac {K_{n-2}(x_{3},\;\ldots ,\;x_{n})}{K_{n-1}(x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})}}.$
• Отношения континуантов представляют собой цепные дроби (сходящиеся к ним) следующим образом:

  ${\frac {K_{n}(x_{1},\;\ldots ,x_{n})}{K_{n-1}(x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})}}=[x_{1};\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{n}]=x_{1}+{\frac {1}{\displaystyle {x_{2}+{\frac {1}{x_{3}+\ldots }}}}}.$

• Имеет место следующее матричное тождество:

  ${\begin{pmatrix}K_{n}(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n})&K_{n-1}(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n-1})\\K_{n-1}(x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})&K_{n-2}(x_{2},\;\ldots ,\;x_{n-1})\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}&1\\1&0\end{pmatrix}}\times \ldots \times {\begin{pmatrix}x_{n}&1\\1&0\end{pmatrix}}$.

  • Для определителей это означает, что

    $K_{n}(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n})\cdot K_{n-2}(x_{2},\;\ldots ,\;x_{n-1})-K_{n-1}(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n-1})\cdot K_{n-1}(x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})=(-1)^{n}.$

  • а также

    $K_{n-1}(x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})\cdot K_{n+2}(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n+2})-K_{n}(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n})\cdot K_{n+1}(x_{2},\;\ldots ,\;x_{n+2})=(-1)^{n+1}x_{n+2}.$

Обобщения

Обобщенное определение берет континуант по отношению к трем последовательностям a , b и c , так что K ( n ) является многочленом от a ₁ ,..., a _n , b ₁ ,..., b _{n −1} и c ₁ ,..., c _{n −1} . В этом случае рекуррентное соотношение принимает вид

$K_{0}=1;\,$

$K_{1}=a_{1};\,$

$K_{n}=a_{n}K_{n-1}-b_{n-1}c_{n-1}K_{n-2}.\,$

Поскольку b _r и c _r входят в K только как произведение b _r c _r, без ограничения общности можно предположить, что все b _r равны 1.

Обобщенный континуант - это в точности определитель трехдиагональной матрицы.

${\begin{pmatrix}a_{1}&b_{1}&0&\ldots &0&0\\c_{1}&a_{2}&b_{2}&\ldots &0&0\\0&c_{2}&a_{3}&\ldots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&\ldots &a_{n-1}&b_{n-1}\\0&0&0&\ldots &c_{n-1}&a_{n}\end{pmatrix}}.$

В книге Мьюира обобщенный континуант называется просто континуантом.

Ссылки

• Томас Мьюир (1960). Трактат по теории определителей . Дуврские публикации . стр. 516–525 .
• Кьюсик, Томас В.; Флахайв, Мэри Э. (1989). Спектры Маркова и Лагранжа . Математические обзоры и монографии. Том. 30. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . п. 89. ИСБН  0-8218-1531-8 . Збл   0685.10023 .
• Джордж Кристал (1999). Алгебра, начальный учебник для старших классов средних школ и для колледжей: Ч. 1 . Американское математическое общество. п. 500. ИСБН  0-8218-1649-7 .