Многогранник Клейна

В геометрии чисел многогранник Клейна , названный в честь Феликса Клейна , используется для обобщения понятия цепных дробей на более высокие измерения.

Определение

Позволять $\textstyle C$ быть замкнутым симплициальным конусом в евклидовом пространстве $\textstyle \mathbb {R} ^{n}$ . Многогранник Клейна $\textstyle C$ является выпуклой оболочкой ненулевых точек $\textstyle C\cap \mathbb {Z} ^{n}$ .

Отношение к цепным дробям

Предполагать $\textstyle \alpha >0$ является иррациональным числом. В $\textstyle \mathbb {R} ^{2}$ , конусы, порожденные $\textstyle \{(1,\alpha ),(1,0)\}$ и по $\textstyle \{(1,\alpha ),(0,1)\}$ порождают два многогранника Клейна, каждый из которых ограничен последовательностью прилегающих отрезков. Определите целочисленную длину отрезка прямой на единицу меньше размера его пересечения с $\textstyle \mathbb {Z} ^{2}.$ Тогда целые длины ребер этих двух многогранников Клейна кодируют разложение в цепную дробь $\textstyle \alpha$ , один соответствует четным членам, а другой соответствует нечетным членам.

Графы, связанные с многогранником Клейна

Предполагать $\textstyle C$ генерируется на основе $\textstyle (a_{i})$ из $\textstyle \mathbb {R} ^{n}$ (так что $\textstyle C=\{\sum _{i}\lambda _{i}a_{i}:(\forall i)\;\lambda _{i}\geq 0\}$ ), и пусть $\textstyle (w_{i})$ быть двойственным базисом (так что $\textstyle C=\{x:(\forall i)\;\langle w_{i},x\rangle \geq 0\}$ ). Писать $\textstyle D(x)$ для линии, порожденной вектором $\textstyle x$ , и $\textstyle H(x)$ для гиперплоскости, ортогональной $\textstyle x$ .

Вызов вектора $\textstyle x\in \mathbb {R} ^{n}$ иррационально, если $\textstyle H(x)\cap \mathbb {Q} ^{n}=\{0\}$ ; и позвони конусу $\textstyle C$ иррационально, если все векторы $\textstyle a_{i}$ и $\textstyle w_{i}$ иррациональны.

Граница $\textstyle V$ многогранника Клейна называется парусом . Связанный с парусом $\textstyle V$ иррационального конуса представляют собой два графа :

график $\textstyle \Gamma _{\mathrm {e} }(V)$ чьи вершины являются вершинами $\textstyle V$ , две вершины соединяются, если они являются конечными точками (одномерного) ребра $\textstyle V$ ;
график $\textstyle \Gamma _{\mathrm {f} }(V)$ чьи вершины $\textstyle (n-1)$ -мерные грани ( камеры ) $\textstyle V$ , две палаты объединяются, если они имеют общую $\textstyle (n-2)$ трехмерное лицо.

Оба эти графа структурно связаны с ориентированным графом $\textstyle \Upsilon _{n}$ множество вершин которого $\textstyle \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Q} )$ , где вершина $\textstyle A$ соединяется с вершиной $\textstyle B$ тогда и только тогда, когда $\textstyle A^{-1}B$ имеет форму $\textstyle UW$ где

U=\left({\begin{array}{cccc}1&\cdots &0&c_{1}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&\cdots &1&c_{n-1}\\0&\cdots &0&c_{n}\end{array}}\right)

(с $\textstyle c_{i}\in \mathbb {Q}$ , $\textstyle c_{n}\neq 0$ ) и $\textstyle W$ является матрицей перестановок. Предполагая, что $\textstyle V$ была триангулирована , вершины каждого из графов $\textstyle \Gamma _{\mathrm {e} }(V)$ и $\textstyle \Gamma _{\mathrm {f} }(V)$ можно описать с помощью графа $\textstyle \Upsilon _{n}$ :

Учитывая любой путь $\textstyle (x_{0},x_{1},\ldots )$ в $\textstyle \Gamma _{\mathrm {e} }(V)$ , можно найти путь $\textstyle (A_{0},A_{1},\ldots )$ в $\textstyle \Upsilon _{n}$ такой, что $\textstyle x_{k}=A_{k}(e)$ , где $\textstyle e$ вектор $\textstyle (1,\ldots ,1)\in \mathbb {R} ^{n}$ .
Учитывая любой путь $\textstyle (\sigma _{0},\sigma _{1},\ldots )$ в $\textstyle \Gamma _{\mathrm {f} }(V)$ , можно найти путь $\textstyle (A_{0},A_{1},\ldots )$ в $\textstyle \Upsilon _{n}$ такой, что $\textstyle \sigma _{k}=A_{k}(\Delta )$ , где $\textstyle \Delta$ это $\textstyle (n-1)$ -мерный стандартный симплекс в $\textstyle \mathbb {R} ^{n}$ .

Обобщение теоремы Лагранжа.

Лагранж доказал, что для иррационального действительного числа $\textstyle \alpha$ , расширение непрерывной дроби $\textstyle \alpha$ периодично когда тогда и только тогда, $\textstyle \alpha$ является квадратичным иррациональным . Многогранники Клейна позволяют обобщить этот результат.

Позволять $\textstyle K\subseteq \mathbb {R}$ быть вполне вещественным полем алгебраических чисел степени $\textstyle n$ , и пусть $\textstyle \alpha _{i}:K\to \mathbb {R}$ быть $\textstyle n$ реальные вложения $\textstyle K$ . Симплициальный конус $\textstyle C$ говорят, что он разделен на $\textstyle K$ если $\textstyle C=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:(\forall i)\;\alpha _{i}(\omega _{1})x_{1}+\ldots +\alpha _{i}(\omega _{n})x_{n}\geq 0\}$ где $\textstyle \omega _{1},\ldots ,\omega _{n}$ является основой для $\textstyle K$ над $\textstyle \mathbb {Q}$ .

Учитывая путь $\textstyle (A_{0},A_{1},\ldots )$ в $\textstyle \Upsilon _{n}$ , позволять $\textstyle R_{k}=A_{k+1}A_{k}^{-1}$ . Путь называется периодическим , с периодом $\textstyle m$ , если $\textstyle R_{k+qm}=R_{k}$ для всех $\textstyle k,q\geq 0$ . Матрица периодов такого пути определяется как $\textstyle A_{m}A_{0}^{-1}$ . Путь в $\textstyle \Gamma _{\mathrm {e} }(V)$ или $\textstyle \Gamma _{\mathrm {f} }(V)$ связанный с таким путем, также называется периодическим с той же матрицей периодов.

Обобщенная теорема Лагранжа утверждает, что для иррационального симплициального конуса $\textstyle C\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ , с генераторами $\textstyle (a_{i})$ и $\textstyle (w_{i})$ как указано выше и с парусом $\textstyle V$ , следующие три условия эквивалентны:

$\textstyle C$ расщепляется по некоторому вполне вещественному полю алгебраических чисел степени $\textstyle n$ .
Для каждого из $\textstyle a_{i}$ существует периодический путь вершин $\textstyle x_{0},x_{1},\ldots$ в $\textstyle \Gamma _{\mathrm {e} }(V)$ такой, что $\textstyle x_{k}$ асимптотически приблизиться к прямой $\textstyle D(a_{i})$ ; и все матрицы периодов этих путей коммутируют.
Для каждого из $\textstyle w_{i}$ имеется периодический ход камер $\textstyle \sigma _{0},\sigma _{1},\ldots$ в $\textstyle \Gamma _{\mathrm {f} }(V)$ такой, что $\textstyle \sigma _{k}$ асимптотически приближаться к гиперплоскости $\textstyle H(w_{i})$ ; и все матрицы периодов этих путей коммутируют.

Пример

Брать $\textstyle n=2$ и $\textstyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$ . Тогда симплициальный конус $\textstyle \{(x,y):x\geq 0,\vert y\vert \leq x/{\sqrt {2}}\}$ разделен на $\textstyle K$ . Вершины паруса – это точки $\textstyle (p_{k},\pm q_{k})$ соответствующие четным подходящим $\textstyle p_{k}/q_{k}$ непрерывной дроби для $\textstyle {\sqrt {2}}$ . Путь вершин $\textstyle (x_{k})$ в положительном квадранте, начиная с $\textstyle (1,0)$ и двигаться в положительном направлении $\textstyle ((1,0),(3,2),(17,12),(99,70),\ldots )$ . Позволять $\textstyle \sigma _{k}$ быть отрезком линии, соединяющим $\textstyle x_{k}$ к $\textstyle x_{k+1}$ . Писать $\textstyle {\bar {x}}_{k}$ и $\textstyle {\bar {\sigma }}_{k}$ для размышлений $\textstyle x_{k}$ и $\textstyle \sigma _{k}$ в $\textstyle x$ -ось. Позволять $\textstyle T=\left({\begin{array}{cc}3&4\\2&3\end{array}}\right)$ , так что $\textstyle x_{k+1}=Tx_{k}$ , и пусть $\textstyle R=\left({\begin{array}{cc}6&1\\-1&0\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{cc}1&6\\0&-1\end{array}}\right)\left({\begin{array}{cc}0&1\\1&0\end{array}}\right)$ .

Позволять $\textstyle M_{\mathrm {e} }=\left({\begin{array}{cc}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{4}}&-{\frac {1}{4}}\end{array}}\right)$ , $\textstyle {\bar {M}}_{\mathrm {e} }=\left({\begin{array}{cc}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{4}}\end{array}}\right)$ , $\textstyle M_{\mathrm {f} }=\left({\begin{array}{cc}3&1\\2&0\end{array}}\right)$ , и $\textstyle {\bar {M}}_{\mathrm {f} }=\left({\begin{array}{cc}3&1\\-2&0\end{array}}\right)$ .

Пути $\textstyle (M_{\mathrm {e} }R^{k})$ и $\textstyle ({\bar {M}}_{\mathrm {e} }R^{k})$ периодические (с периодом один) в $\textstyle \Upsilon _{2}$ , с матрицами периодов $\textstyle M_{\mathrm {e} }RM_{\mathrm {e} }^{-1}=T$ и $\textstyle {\bar {M}}_{\mathrm {e} }R{\bar {M}}_{\mathrm {e} }^{-1}=T^{-1}$ . У нас есть $\textstyle x_{k}=M_{\mathrm {e} }R^{k}(e)$ и $\textstyle {\bar {x}}_{k}={\bar {M}}_{\mathrm {e} }R^{k}(e)$ .
Пути $\textstyle (M_{\mathrm {f} }R^{k})$ и $\textstyle ({\bar {M}}_{\mathrm {f} }R^{k})$ периодические (с периодом один) в $\textstyle \Upsilon _{2}$ , с матрицами периодов $\textstyle M_{\mathrm {f} }RM_{\mathrm {f} }^{-1}=T$ и $\textstyle {\bar {M}}_{\mathrm {f} }R{\bar {M}}_{\mathrm {f} }^{-1}=T^{-1}$ . У нас есть $\textstyle \sigma _{k}=M_{\mathrm {f} }R^{k}(\Delta )$ и $\textstyle {\bar {\sigma }}_{k}={\bar {M}}_{\mathrm {f} }R^{k}(\Delta )$ .

Обобщение аппроксимируемости

Настоящее число $\textstyle \alpha >0$ называется плохо аппроксимируемым, если $\textstyle \{q(p\alpha -q):p,q\in \mathbb {Z} ,q>0\}$ ограничено от нуля. Иррациональное число плохо аппроксимируется тогда и только тогда, когда частные частные его цепной дроби ограничены. ^[1] Этот факт допускает обобщение в терминах многогранников Клейна.

Дан симплициальный конус $\textstyle C=\{x:(\forall i)\;\langle w_{i},x\rangle \geq 0\}$ в $\textstyle \mathbb {R} ^{n}$ , где $\textstyle \langle w_{i},w_{i}\rangle =1$ , определим минимум нормативный $\textstyle C$ как $\textstyle N(C)=\inf\{\prod _{i}\langle w_{i},x\rangle :x\in \mathbb {Z} ^{n}\cap C\setminus \{0\}\}$ .

Данные векторы $\textstyle \mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{m}\in \mathbb {Z} ^{n}$ , позволять $\textstyle [\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{m}]=\sum _{i_{1}<\cdots <i_{n}}\vert \det(\mathbf {v} _{i_{1}}\cdots \mathbf {v} _{i_{n}})\vert$ . Это евклидов объем $\textstyle \{\sum _{i}\lambda _{i}\mathbf {v} _{i}:(\forall i)\;0\leq \lambda _{i}\leq 1\}$ .

Позволять $\textstyle V$ быть парусом иррационального симплициального конуса $\textstyle C$ .

Для вершины $\textstyle x$ из $\textstyle \Gamma _{\mathrm {e} }(V)$ , определять $\textstyle [x]=[\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{m}]$ где $\textstyle \mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{m}$ являются примитивными векторами в $\textstyle \mathbb {Z} ^{n}$ создание ребер, исходящих из $\textstyle x$ .
Для вершины $\textstyle \sigma$ из $\textstyle \Gamma _{\mathrm {f} }(V)$ , определять $\textstyle [\sigma ]=[\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{m}]$ где $\textstyle \mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{m}$ являются крайними точками $\textstyle \sigma$ .

Затем $\textstyle N(C)>0$ тогда и только тогда, когда $\textstyle \{[x]:x\in \Gamma _{\mathrm {e} }(V)\}$ и $\textstyle \{[\sigma ]:\sigma \in \Gamma _{\mathrm {f} }(V)\}$ оба ограничены.

Количества $\textstyle [x]$ и $\textstyle [\sigma ]$ называются определителями . В двух измерениях, с конусом, образованным $\textstyle \{(1,\alpha ),(1,0)\}$ , это всего лишь частичные частные цепной дроби $\textstyle \alpha$ .

См. также

Строительство (математика)

Ссылки

^ Бюжо, Янн (2012). Распределение по модулю единицы и диофантово приближение . Кембриджские трактаты по математике. Том. 193. Кембридж: Издательство Кембриджского университета . п. 245. ИСБН 978-0-521-11169-0 . Збл 1260.11001 .

О.Н. Герман , 2007, "Многогранники Клейна и решетки с положительными минимумами нормы". Journal de theorie des nombres de Bordeaux 19 : 175–190.
Е.И. Коркина , 1995, "Двумерные цепные дроби. Простейшие примеры". Учеб. МИАН 209 : 124–144.
Ж. Лашо , 1998, «Паруса и многогранники Клейна» в «Современной математике» 210 . Американское математическое общество: 373–385.

[Bug245-1] Бюжо, Янн (2012). Распределение по модулю единицы и диофантово приближение . Кембриджские трактаты по математике. Том. 193. Кембридж: Издательство Кембриджского университета . п. 245. ИСБН 978-0-521-11169-0 . Збл 1260.11001 .

[1]