Гомогенная функция

Для однородных линейных карт см. Градуированное векторное пространство § Гомоморфизмы .

В математике однородная функция — это функция нескольких переменных , для которой выполняется следующее: если каждый из аргументов функции умножается на один и тот же скаляр , то значение функции умножается на некоторую степень этого скаляра; мощность называется степенью однородности или просто степенью . То есть, если k — целое число, функция f от n переменных является однородной степени k, если

$f(sx_{1},\ldots ,sx_{n})=s^{k}f(x_{1},\ldots ,x_{n})$

для каждого $x_{1},\ldots ,x_{n},$ и $s\neq 0.$

Например, однородный полином степени k определяет однородную функцию степени k .

Приведенное выше определение распространяется на функции, областью определения и кодоменом которых являются векторные пространства над полем F : функция $f:V\to W$ между двумя F -векторными пространствами однородно степени $k$ если

$f(s\mathbf {v} )=s^{k}f(\mathbf {v} )$ ( 1 )

для всех ненулевых $s\in F$ и $v\in V.$ Это определение часто далее обобщается на функции, областью определения которых является не V , а конус в V , то есть подмножество C из V такое, что $\mathbf {v} \in C$ подразумевает $s\mathbf {v} \in C$ для каждого ненулевого скаляра s .

В случае функций нескольких действительных переменных и вещественных векторных пространств часто рассматривается несколько более общая форма однородности, называемая положительной однородностью , требуя только того, чтобы приведенные выше тождества выполнялись для $s>0,$ и допуская любое действительное число k как степень однородности. Всякая однородная действительная функция положительно однородна . Обратное неверно, но локально верно в том смысле, что (для целых степеней) два вида однородности нельзя различить, рассматривая поведение функции вблизи данной точки.

Норма . над вещественным векторным пространством является примером положительно однородной функции, которая не является однородной Особым случаем является абсолютное значение действительных чисел. Фактор двух однородных многочленов одной степени дает пример однородной функции нулевой степени. Этот пример является основным при определении проективных схем .

Определения

Понятие однородной функции первоначально было введено для функций нескольких действительных переменных . С определением векторных пространств в конце 19 века эта концепция естественным образом распространилась на функции между векторными пространствами, поскольку кортеж значений переменных можно рассматривать как координатный вектор . Именно эта более общая точка зрения описана в данной статье.

Есть два общепринятых определения. Общий подход работает для векторных пространств над произвольными полями степенями однородности и ограничивается целыми .

Второй предполагает работу над полем действительных чисел или, шире, над упорядоченным полем . Это определение ограничивает коэффициент масштабирования, который встречается в определении, положительными значениями и поэтому называется положительной однородностью , при этом качественный положительный часто опускается, когда нет риска путаницы. Положительная однородность приводит к тому, что большее количество функций считается однородными. Например, абсолютная величина и все нормы являются положительно однородными функциями, которые не являются однородными.

Ограничение масштабного коэффициента действительными положительными значениями позволяет также рассматривать однородные функции, степень однородности которых равна любому действительному числу.

Общая однородность

Пусть V и W — два векторных пространства над полем F . в Линейный конус V — это подмножество C в V такое, что $sx\in C$ для всех $x\in C$ и все ненулевые $s\in F.$

Однородная функция f от V до W — это частичная функция от V до W , имеющая линейный конус C в качестве области определения и удовлетворяющая условиям

$f(sx)=s^{k}f(x)$

для некоторого целого числа k каждое $x\in C,$ и каждое ненулевое значение $s\in F.$ Целое число называется степенью однородности или просто степенью f . k

Типичным примером однородной функции степени k является функция, определяемая однородным многочленом степени k . Рациональная функция, определяемая фактором двух однородных многочленов, является однородной функцией; его степень есть разность степеней числителя и знаменателя; его конус определения — это линейный конус точек, в которых значение знаменателя не равно нулю.

Однородные функции играют фундаментальную роль в проективной геометрии поскольку любая однородная функция от V до W определяет четко определенную функцию между проективизациями V f и W. , Однородные рациональные функции нулевой степени (определяемые фактором двух однородных многочленов одной степени) играют существенную роль в Проя конструкции проективных схем .

однородность

При работе с действительными числами или, в более общем плане, с упорядоченным полем обычно удобно рассматривать положительную однородность , определение которой точно такое же, как и в предыдущем разделе, с «ненулевого s заменой » на « s > 0 » в определения линейного конуса и однородной функции.

Это изменение позволяет рассматривать (положительно) однородные функции с любым действительным числом как их степени, поскольку возведение в степень с положительным действительным основанием четко определено.

Даже в случае целых степеней существует множество полезных функций, которые являются положительно однородными, но не являются однородными. Это, в частности, случай функции абсолютного значения и норм , которые все положительно однородны степени 1 . Они не являются однородными, поскольку $|-x|=|x|\neq -|x|$ если $x\neq 0.$ Это остается верным и в комплексном случае, поскольку поле комплексных чисел $\mathbb {C}$ и каждое комплексное векторное пространство можно рассматривать как вещественное векторное пространство.

Теорема Эйлера об однородной функции — это характеристика положительно однородных дифференцируемых функций , которую можно рассматривать как фундаментальную теорему об однородных функциях .

Примеры

Однородная функция не обязательно является непрерывной , как показано в этом примере. Это функция $f$ определяется $f(x,y)=x$ если $xy>0$ и $f(x,y)=0$ если $xy\leq 0.$ Эта функция однородна степени 1, т.е. $f(sx,sy)=sf(x,y)$ для любых действительных чисел $s,x,y.$ Он прерывист в $y=0,x\neq 0.$

Простой пример

Функция $f(x,y)=x^{2}+y^{2}$ однороден степени 2:

$$f(tx,ty)=(tx)^{2}+(ty)^{2}=t^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)=t^{2}f(x,y).$$

Абсолютное значение и нормы

Абсолютная величина действительного числа — это положительно однородная функция степени 1 , которая не является однородной, поскольку $|sx|=s|x|$ если $s>0,$ и $|sx|=-s|x|$ если $s<0.$

Абсолютное значение комплексного числа является положительно однородной функцией степени $1$ над действительными числами (то есть при рассмотрении комплексных чисел как векторного пространства над действительными числами). Оно неоднородно как по действительным, так и по комплексным числам.

В более общем смысле, каждая норма и полунорма являются положительно однородной функцией степени 1 , которая не является однородной функцией. Что касается абсолютного значения, если норма или полунорма определены в векторном пространстве над комплексными числами, это векторное пространство следует рассматривать как векторное пространство над действительным числом для применения определения положительно однородной функции.

Линейные функции

Любая линейная карта $f:V\to W$ между векторными пространствами над полем F однородно степени 1 по определению линейности:

$$f(\alpha \mathbf {v} )=\alpha f(\mathbf {v} )$$

для всех $\alpha \in {F}$ и $v\in V.$

Аналогично любая полилинейная функция $f:V_{1}\times V_{2}\times \cdots V_{n}\to W$ является однородным по степени $n,$ по определению полилинейности:

$$f\left(\alpha \mathbf {v} _{1},\ldots ,\alpha \mathbf {v} _{n}\right)=\alpha ^{n}f(\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n})$$

для всех $\alpha \in {F}$ и $v_{1}\in V_{1},v_{2}\in V_{2},\ldots ,v_{n}\in V_{n}.$

Однородные полиномы

Основная статья: Однородный полином

Мономы в $n$ переменные определяют однородные функции $f:\mathbb {F} ^{n}\to \mathbb {F} .$ Например,

$$f(x,y,z)=x^{5}y^{2}z^{3}\,$$

однородно степени 10, так как

$$f(\alpha x,\alpha y,\alpha z)=(\alpha x)^{5}(\alpha y)^{2}(\alpha z)^{3}=\alpha ^{10}x^{5}y^{2}z^{3}=\alpha ^{10}f(x,y,z).\,$$

Степень представляет собой сумму показателей переменных; в этом примере $10=5+2+3.$

Однородный многочлен – это многочлен, составленный из суммы мономов одной степени. Например,

$$x^{5}+2x^{3}y^{2}+9xy^{4}$$

— однородный многочлен степени 5. Однородные многочлены также определяют однородные функции.

Дан однородный полином степени $k$ с действительными коэффициентами, принимающими только положительные значения, получается положительно однородная функция степени $k/d$ подняв его до власти $1/d.$ Так, например, следующая функция положительно однородна степени 1, но не однородна:

$$\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac {1}{2}}.$$

Мин/макс

Для каждого набора весов $w_{1},\dots ,w_{n},$ следующие функции положительно однородны степени 1, но не однородны:

• $\min \left({\frac {x_{1}}{w_{1}}},\dots ,{\frac {x_{n}}{w_{n}}}\right)$ ( Леонтьевские коммунальные предприятия )
• $\max \left({\frac {x_{1}}{w_{1}}},\dots ,{\frac {x_{n}}{w_{n}}}\right)$

Рациональные функции

Рациональные функции, образованные как отношение двух однородных многочленов, являются однородными функциями в своей области определения , то есть вне линейного конуса , образованного нулями знаменателя . Таким образом, если $f$ является однородным по степени $m$ и $g$ является однородным по степени $n,$ затем $f/g$ является однородным по степени $m-n$ вдали от нулей $g.$

Непримеры

Однородные действительные функции одной переменной имеют вид $x\mapsto cx^{k}$ для некоторой постоянной c . Итак, аффинная функция $x\mapsto x+5,$ натуральный логарифм $x\mapsto \ln(x),$ и показательная функция $x\mapsto e^{x}$ не являются однородными.

Теорема Эйлера

Грубо говоря, теорема Эйлера об однородных функциях утверждает, что положительно однородные функции данной степени являются в точности решением конкретного уравнения в частных производных . Точнее:

Теорема Эйлера об однородной функции. — Если f n (частичная) функция действительных переменных , которая положительно однородна степени k и непрерывно дифференцируема в некотором открытом подмножестве $\mathbb {R} ^{n},$ то он удовлетворяет в этом открытом множестве уравнению в частных производных

$$k\,f(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(x_{1},\ldots ,x_{n}).$$

И наоборот, каждое максимальное непрерывно дифференцируемое решение этого уравнения в частных производных является положительно однородной функцией степени k , определенной на положительном конусе (здесь максимальное означает, что решение не может быть продолжено до функции с большей областью определения).

Доказательство

Для упрощения формул положим $\mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{n}).$Первая часть получается с использованием цепного правила для дифференцирования обеих частей уравнения. $f(s\mathbf {x} )=s^{k}f(\mathbf {x} )$ относительно $s,$ и берём предел результата, когда s стремится к 1 .

Обратное доказывается интегрированием простого дифференциального уравнения .Позволять $\mathbf {x}$ находиться внутри области f . Для s, достаточно близкого к 1 , функция ${\textstyle g(s)=f(s\mathbf {x} )}$ хорошо определен. Уравнение в частных производных означает, что

$$sg'(s)=kf(s\mathbf {x} )=kg(s).$$

Решения этого линейного дифференциального уравнения имеют вид $g(s)=g(1)s^{k}.$Поэтому,

$$f(s\mathbf {x} )=g(s)=s^{k}g(1)=s^{k}f(\mathbf {x} ),$$

если s достаточно близко к 1 . Если бы это решение уравнения в частных производных не было определено для всех положительных s , то функциональное уравнение позволило бы продолжить решение, а уравнение в частных производных подразумевает, что это продолжение единственно. Итак, областью максимального решения уравнения в частных производных является линейный конус, а решение положительно однородно степени k . $\square$

Как следствие, если $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ непрерывно дифференцируема и однородна степени $k,$ первого порядка его частные производные $\partial f/\partial x_{i}$ однородны по степени $k-1.$ Это следует из теоремы Эйлера путем дифференцирования уравнения в частных производных по одной переменной.

В случае функции одной действительной переменной ( $n=1$), из теоремы следует, что непрерывно дифференцируемая и положительно однородная функция степени k имеет вид $f(x)=c_{+}x^{k}$ для $x>0$ и $f(x)=c_{-}x^{k}$ для $x<0.$ Константы $c_{+}$ и $c_{-}$ не обязательно совпадают, как в случае с абсолютным значением .

к

Основная статья: Однородное дифференциальное уравнение

Замена $v=y/x$ преобразует обыкновенное дифференциальное уравнение

$$I(x,y){\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+J(x,y)=0,$$

где $I$ и $J$ — однородные функции одной степени, в разделимое дифференциальное уравнение

$$x{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} x}}=-{\frac {J(1,v)}{I(1,v)}}-v.$$

Обобщения

Однородность при моноидном действии

Все определения, данные выше, являются частными случаями следующего более общего понятия однородности, в котором $X$ может быть любым набором (а не векторным пространством), а действительные числа можно заменить более общим понятием моноида .

Позволять $M$ быть моноидом с единичным элементом $1\in M,$ позволять $X$ и $Y$ быть множествами, и предположим, что на обоих $X$ и $Y$ определены моноидные действия $M.$ Позволять $k$ быть неотрицательным целым числом и пусть $f:X\to Y$ быть картой. Затем $f$ называется однородным по степени $k$ над $M$ если для каждого $x\in X$ и $m\in M,$

$$f(mx)=m^{k}f(x).$$

Если дополнительно имеется функция $M\to M,$ обозначается $m\mapsto |m|,$ называется абсолютным значением, тогда $f$ называется абсолютно однородным по степени $k$ над $M$ если для каждого $x\in X$ и $m\in M,$

$$f(mx)=|m|^{k}f(x).$$

Функция однородна по $M$ (соответственно абсолютно однородный по $M$), если он однороден степени $1$ над $M$ (соответственно абсолютно однородный по степени $1$ над $M$).

В более общем смысле это возможно для символов $m^{k}$ быть определен для $m\in M$ с $k$ быть чем-то отличным от целого числа (например, если $M$ это реальные цифры и $k$ это ненулевое действительное число, тогда $m^{k}$ определяется, хотя $k$ не является целым числом). Если это так, то $f$ будем называть однородным степени $k$ над $M$ если имеет место то же равенство:

$$f(mx)=m^{k}f(x)\quad {\text{ for every }}x\in X{\text{ and }}m\in M.$$

Понятие абсолютной однородности по степени $k$ над $M$ обобщается аналогично.

Распределения (обобщенные функции)

Основная статья: Однородное распределение

Непрерывная функция $f$ на $\mathbb {R} ^{n}$ является однородным по степени $k$ тогда и только тогда, когда

$$\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(tx)\varphi (x)\,dx=t^{k}\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)\varphi (x)\,dx$$

для всех компактно поддерживаемых функций тестирования $\varphi$; и ненулевое действительное $t.$ Эквивалентно, делая замену переменной $y=tx,$ $f$ является однородным по степени $k$ тогда и только тогда, когда

$$t^{-n}\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(y)\varphi \left({\frac {y}{t}}\right)\,dy=t^{k}\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(y)\varphi (y)\,dy$$

для всех $t$ и все тестовые функции $\varphi .$ Последнее отображение позволяет определить однородность распределений . Распределение $S$ является однородным по степени $k$ если

$$t^{-n}\langle S,\varphi \circ \mu _{t}\rangle =t^{k}\langle S,\varphi \rangle$$

для всех ненулевых действительных $t$ и все тестовые функции $\varphi .$ Здесь угловые скобки обозначают сочетание распределений и тестовых функций, а $\mu _{t}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ - это отображение скалярного деления на действительное число $t.$

Глоссарий вариантов названий

Позволять $f:X\to Y$ быть картой между двумя векторными пространствами над полем $\mathbb {F}$ (обычно действительные числа $\mathbb {R}$ или комплексные числа $\mathbb {C}$). Если $S$ представляет собой набор скаляров, таких как $\mathbb {Z} ,$ $[0,\infty ),$ или $\mathbb {R}$ например, тогда $f$ Говорят, что это однородный по $S$ если ${\textstyle f(sx)=sf(x)}$ для каждого $x\in X$ и скаляр $s\in S.$ Например, каждое аддитивное отображение между векторными пространствами однородный по рациональным числам $S:=\mathbb {Q}$ хотя это может быть и не так однородный по действительным числам $S:=\mathbb {R} .$

Следующие часто встречающиеся частные случаи и варианты этого определения имеют свою собственную терминологию:

1. ( Строгий ) Положительная однородность : $f(rx)=rf(x)$ для всех $x\in X$ и все позитивное настоящее $r>0.$
   • Когда функция $f$ оценивается в векторном пространстве или поле, то это свойство логически эквивалентно к неотрицательная однородность , которая по определению означает: $f(rx)=rf(x)$ для всех $x\in X$ и все неотрицательные действительные $r\geq 0.$ Именно по этой причине положительную однородность часто называют также неотрицательной однородностью. Однако для функций, выраженных в расширенных действительных числах $[-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \},$ которые появляются в таких областях, как выпуклый анализ , умножение $0\cdot f(x)$ будет неопределенным всякий раз, когда $f(x)=\pm \infty$ и поэтому эти утверждения не обязательно всегда взаимозаменяемы.
   • Это свойство используется при определении сублинейной функции .
   • Функционалы Минковского — это именно те неотрицательные расширенные вещественные функции, обладающие этим свойством.
2. Реальная однородность : $f(rx)=rf(x)$ для всех $x\in X$ и все реально $r.$
   • Это свойство используется при определении вещественного линейного функционала .
3. Однородность : $f(sx)=sf(x)$ для всех $x\in X$ и все скаляры $s\in \mathbb {F} .$
   • Подчеркивается, что это определение зависит от скалярного поля $\mathbb {F}$ лежащий в основе домена $X.$
   • Это свойство используется при определении линейных функционалов и линейных отображений .
4. Сопряженная однородность : $f(sx)={\overline {s}}f(x)$ для всех $x\in X$ и все скаляры $s\in \mathbb {F} .$
   • Если $\mathbb {F} =\mathbb {C}$ затем ${\overline {s}}$ обычно обозначает сопряжение комплексное $s$. Но в более общем смысле, как, случае с полулинейными картами , например, в ${\overline {s}}$ может быть изображением $s$ при некотором отмеченном автоморфизме $\mathbb {F} .$
   • Наряду с аддитивностью это свойство предполагается при определении антилинейного отображения . Также предполагается, что одна из двух координат полуторалинейной формы обладает этим свойством (например, скалярное произведение гильбертова пространства ).

Все приведенные выше определения можно обобщить, заменив условие $f(rx)=rf(x)$ с $f(rx)=|r|f(x),$ в этом случае к этому определению добавляется слово « абсолютный » или « абсолютно ». Например,

5. Абсолютная однородность : $f(sx)=|s|f(x)$ для всех $x\in X$ и все скаляры $s\in \mathbb {F} .$
   • Это свойство используется при определении полунормы и нормы .

Если $k$ является фиксированным действительным числом, то приведенные выше определения можно дополнительно обобщить, заменив условие $f(rx)=rf(x)$ с $f(rx)=r^{k}f(x)$ (и аналогично, заменив $f(rx)=|r|f(x)$ с $f(rx)=|r|^{k}f(x)$ для условий, использующих абсолютное значение и т. д.), и в этом случае говорят, что однородность имеет степень $k$" (где, в частности, все приведенные выше определения имеют " степень $1$" ).Например,

6. Реальная однородность степени $k$: $f(rx)=r^{k}f(x)$ для всех $x\in X$ и все реально $r.$
7. Однородность степени $k$: $f(sx)=s^{k}f(x)$ для всех $x\in X$ и все скаляры $s\in \mathbb {F} .$
8. Абсолютная реальная однородность степени $k$: $f(rx)=|r|^{k}f(x)$ для всех $x\in X$ и все реально $r.$
9. Абсолютная однородность степени $k$: $f(sx)=|s|^{k}f(x)$ для всех $x\in X$ и все скаляры $s\in \mathbb {F} .$

Ненулевая непрерывная функция , однородная степени $k$ на $\mathbb {R} ^{n}\backslash \lbrace 0\rbrace$ непрерывно распространяется на $\mathbb {R} ^{n}$ тогда и только тогда, когда $k>0.$

См. также

• Однородное пространство
• Функция центра треугольника — точка в треугольнике, которая при некоторых критериях может рассматриваться как его середина. Страницы, отображающие краткие описания целей перенаправления.

Примечания

Доказательства

Источники

• Блаттер, Кристиан (1979). «20. Многомерное дифференциальное исчисление, задачи, 1.». Анализ II (на немецком языке) (2-е изд.). Издательство Спрингер. п. 188. ИСБН  3-540-09484-9 .
• Кубрусли, Карлос С. (2011). Элементы теории операторов (второе изд.). Бостон: Биркхойзер . ISBN  978-0-8176-4998-2 . OCLC   710154895 .
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0 . OCLC   840278135 .
• Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN  978-0-12-622760-4 . OCLC   175294365 .

Внешние ссылки

• «Однородная функция» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Эрик Вайсштейн. «Теорема Эйлера об однородной функции» . Математический мир .