Леонтьевские коммунальные предприятия

В экономике , особенно в теории потребления , функция полезности Леонтьева представляет собой функцию вида: $u(x_{1},\ldots ,x_{m})=\min \left\{{\frac {x_{1}}{w_{1}}},\ldots ,{\frac {x_{m}}{w_{m}}}\right\}.$ где:

$m$ количество различных товаров в экономике.
$x_{i}$ (для $i\in 1,\dots ,m$ ) — количество блага $i$ в комплекте.
$w_{i}$ (для $i\in 1,\dots ,m$ ) — вес добра $i$ для потребителя.

Эта форма функции полезности была впервые концептуализирована Василием Леонтьевым .

Примеры

Функции полезности Леонтьева представляют собой взаимодополняющие блага . Например:

Предполагать $x_{1}$ количество оставленных туфель и $x_{2}$ количество правильной обуви. Потребитель может использовать только пары обуви. Следовательно, его полезность $\min(x_{1},x_{2})$ .
В среде облачных вычислений имеется большой сервер, на котором выполняется множество различных задач . Предположим, для выполнения задачи определенного типа требуется 2 процессора , 3 гигабайта памяти и 4 гигабайта дискового пространства. Полезность пользователя равна количеству выполненных задач. Следовательно, его можно представить: ${\textstyle \min({x_{\mathrm {CPU} } \over 2},{x_{\mathrm {MEM} } \over 3},{x_{\mathrm {DISK} } \over 4})}$ .

Характеристики

Потребитель с функцией полезности Леонтьева обладает следующими свойствами:

Предпочтения слабо монотонны , но не сильно монотонны: наличие большего количества одного товара не увеличивает полезность, но наличие большего количества всех товаров увеличивает.
Предпочтения слабо выпуклы , но не строго выпуклы: смесь двух эквивалентных пакетов может быть либо эквивалентна исходным пакетам, либо лучше их.
Кривые безразличия имеют L-образную форму, а их углы определяются весами. Например, для функции $\min(x_{1}/2,x_{2}/3)$ , углы индифферентных кривых находятся в точке $(2t,3t)$ где $t\in [0,\infty )$ .
Потребительский спрос всегда заключается в получении товаров в постоянных соотношениях, определяемых их весами, т. е. потребитель требует комплекта товаров. $(w_{1}t,\ldots ,w_{m}t)$ где $t$ определяется доходом: $t={\text{Income}}/(p_{1}w_{1}+\dots +p_{m}w_{m})$ . ^[1] Поскольку маршаллова функция спроса на каждый товар увеличивается с ростом дохода, все товары являются нормальными товарами . ^[2]

Конкурентное равновесие

Поскольку полезности Леонтьева не являются строго выпуклыми, они не удовлетворяют требованиям модели Эрроу – Дебре для существования конкурентного равновесия . Действительно, в леонтьевской экономике не гарантировано наличие конкурентного равновесия . Существуют ограниченные семейства леонтьевских экономик, в которых существует конкурентное равновесие.

Происходит сведение от задачи нахождения равновесия Нэша в биматричной игре к задаче нахождения конкурентного равновесия в леонтьевской экономике. ^[3] Это имеет несколько последствий:

NP -трудно сказать, имеет ли конкретное семейство леонтьевских валютных экономик, которое гарантированно имеет хотя бы одно равновесие, более одного равновесия.
NP -трудно решить, имеет ли леонтьевская экономика равновесие.

Более того, задача рыночного обмена Леонтьева не имеет полностью полиномиальной схемы аппроксимации , если только PPAD ⊆ P. ^[4]

С другой стороны, существуют алгоритмы поиска приближенного равновесия для некоторых особых леонтьевских экономик. ^[3]^[5]

Приложение

Доминирующая справедливость ресурсов — это общее правило распределения ресурсов в системах облачных вычислений, которое предполагает, что у пользователей есть предпочтения Леонтьева.

Ссылки

^ «Конспекты микролекций среднего уровня» (PDF) . Йельский университет . 21 октября 2013 года . Проверено 21 октября 2013 г.
^ Грейнекер, Майкл (11 мая 2015 г.). «Идеальные дополнения должны быть нормальными товарами» . Проверено 17 декабря 2015 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б Кодотти, Бруно; Сабери, Амин; Варадараджан, Кастури; Йе, Иньюй (2006). «Экономика Леонтьева кодирует игры для двух игроков с ненулевой суммой». Материалы семнадцатого ежегодного симпозиума ACM-SIAM по дискретному алгоритму - SODA '06 . п. 659. дои : 10.1145/1109557.1109629 . ISBN 0898716055 .
^ Хуан, Ли-Ша; Тенг, Шан-Хуа (2007). «Об аппроксимации и сглаженной сложности Леонтьевского рыночного равновесия». Границы в алгоритмике . Конспекты лекций по информатике. Том. 4613. с. 96. дои : 10.1007/978-3-540-73814-5_9 . ISBN 978-3-540-73813-8 .
^ Кодотти, Бруно; Варадараджан, Кастури (2004). «Эффективный расчет равновесных цен для рынков с леонтьевскими коммунальными предприятиями». Автоматы, языки и программирование . Конспекты лекций по информатике. Том. 3142. с. 371. дои : 10.1007/978-3-540-27836-8_33 . ISBN 978-3-540-22849-3 .

[1] «Конспекты микролекций среднего уровня» (PDF) . Йельский университет . 21 октября 2013 года . Проверено 21 октября 2013 г.

[2] Грейнекер, Майкл (11 мая 2015 г.). «Идеальные дополнения должны быть нормальными товарами» . Проверено 17 декабря 2015 г.

[co2006-3] Перейти обратно: ^а ^б Кодотти, Бруно; Сабери, Амин; Варадараджан, Кастури; Йе, Иньюй (2006). «Экономика Леонтьева кодирует игры для двух игроков с ненулевой суммой». Материалы семнадцатого ежегодного симпозиума ACM-SIAM по дискретному алгоритму - SODA '06 . п. 659. дои : 10.1145/1109557.1109629 . ISBN 0898716055 .

[huang2007-4] Хуан, Ли-Ша; Тенг, Шан-Хуа (2007). «Об аппроксимации и сглаженной сложности Леонтьевского рыночного равновесия». Границы в алгоритмике . Конспекты лекций по информатике. Том. 4613. с. 96. дои : 10.1007/978-3-540-73814-5_9 . ISBN 978-3-540-73813-8 .

[co2004-5] Кодотти, Бруно; Варадараджан, Кастури (2004). «Эффективный расчет равновесных цен для рынков с леонтьевскими коммунальными предприятиями». Автоматы, языки и программирование . Конспекты лекций по информатике. Том. 3142. с. 371. дои : 10.1007/978-3-540-27836-8_33 . ISBN 978-3-540-22849-3 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]