Однородное распределение

Не путать с Равномерное распределение (значения) .

В математике однородное распределение — это распределение S в евклидовом пространстве R. ^н или Р ^н \ {0 }, однородный в том смысле, что, грубо говоря,

$S(tx)=t^{m}S(x)\,$

для всех t > 0.

Точнее, пусть $\mu _{t}:x\mapsto x/t$ — скалярный оператор деления на R ^н . Распределение S на R ^н или Р ^н \ {0 } является однородным степени m при условии, что

$S[t^{-n}\varphi \circ \mu _{t}]=t^{m}S[\varphi ]$

для всех положительных действительных t и всех тестовых функций φ. Дополнительный коэффициент t ^{− п} необходим для воспроизведения обычного понятия однородности для локально интегрируемых функций и возникает в результате якобианской замены переменных . Число m может быть действительным или комплексным.

может оказаться нетривиальной проблемой. Расширение данного однородного распределения из R ^н \ {0} к распределению на R ^н многих методов анализа Фурье , в частности преобразования Фурье , хотя это необходимо для применения . Однако такое расширение существует в большинстве случаев, хотя оно может и не быть уникальным.

Характеристики

Если S — однородное распределение на R ^н \ {0} степени α, то первая частная производная S слабая

${\frac {\partial S}{\partial x_{i}}}$

имеет степень α−1. Более того, верна версия теоремы Эйлера об однородной функции : распределение S является однородным степени α тогда и только тогда, когда

$\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\frac {\partial S}{\partial x_{i}}}=\alpha S.$

Одно измерение

Возможна полная классификация однородных распределений в одном измерении. Однородные распределения на R \{0} задаются различными степенными функциями . Помимо степенных функций, однородные распределения на R включают дельта-функцию Дирака и ее производные.

Дельта-функция Дирака однородна степени −1. Интуитивно,

$\int _{\mathbb {R} }\delta (tx)\varphi (x)\,dx=\int _{\mathbb {R} }\delta (y)\varphi (y/t)\,{\frac {dy}{t}}=t^{-1}\varphi (0)$

сделав замену переменных y = tx в «интеграле». При этом k -я слабая производная дельта-функции δ ^{( к )} однородно степени − k −1. Все эти распределения имеют поддержку, состоящую только из начала координат: при локализации над R \ {0} все эти распределения тождественно равны нулю.

х ^а
₊

В одном измерении функция

$x_{+}^{\alpha }={\begin{cases}x^{\alpha }&{\text{if }}x>0\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}$

локально интегрируемо на R \ {0 } и, таким образом, определяет распределение. Распределение однородно степени α. Сходным образом $x_{-}^{\alpha }=(-x)_{+}^{\alpha }$ и $|x|^{\alpha }=x_{+}^{\alpha }+x_{-}^{\alpha }$ являются однородными распределениями степени α.

Однако каждое из этих распределений локально интегрируемо на всем R только при условии, что Re(α) > −1. Но хотя функция $x_{+}^{\alpha }$ наивно определенное по приведенной выше формуле, не может быть локально интегрируемым при Re α ⩽ −1, отображение

$\alpha \mapsto x_{+}^{\alpha }$

— голоморфная функция из правой полуплоскости в топологическое векторное пространство умеренных распределений. Он допускает единственное мероморфное расширение с простыми полюсами для каждого отрицательного целого числа α = −1, −2, ... . Полученное расширение будет однородным степени α при условии, что α не является целым отрицательным числом, поскольку, с одной стороны, соотношение

$x_{+}^{\alpha }[\varphi \circ \mu _{t}]=t^{\alpha +1}x_{+}^{\alpha }[\varphi ]$

выполняется и голоморфно по α > 0. С другой стороны, обе части мероморфно продолжаются по α и поэтому остаются равными во всей области определения.

Во всей области определения x ^а
₊ также удовлетворяет следующим свойствам:

• ${\frac {d}{dx}}x_{+}^{\alpha }=\alpha x_{+}^{\alpha -1}$
• $xx_{+}^{\alpha }=x_{+}^{\alpha +1}$

Другие расширения

Существует несколько различных способов расширить определение степенных функций до однородных распределений на R в отрицательных целых числах.

час ^а
₊

Полюсы в x ^а
₊ в отрицательных целых числах можно удалить путем перенормировки. Помещать

$\chi _{+}^{\alpha }={\frac {x_{+}^{\alpha }}{\Gamma (1+\alpha )}}.$

Это целая функция от α. В отрицательных целых числах

$\chi _{+}^{-k}=\delta ^{(k-1)}.$

Распределения $\chi _{+}^{a}$ иметь свойства

• ${\frac {d}{dx}}\chi _{+}^{\alpha }=\chi _{+}^{\alpha -1}$
• $x\chi _{+}^{\alpha }=\alpha \chi _{+}^{\alpha +1}.$

${\underline {x}}^{k}$

Второй подход заключается в определении распределения ${\underline {x}}^{-k}$, для k = 1, 2, ...,

${\underline {x}}^{-k}={\frac {(-1)^{k-1}}{(k-1)!}}{\frac {d^{k}}{dx^{k}}}\log |x|.$

Они явно сохраняют исходные свойства степенных функций:

• ${\frac {d}{dx}}{\underline {x}}^{-k}=-k{\underline {x}}^{-k-1}$
• $x{\underline {x}}^{-k}={\underline {x}}^{-k+1},\quad {\text{if }}k>1.$

Эти распределения также характеризуются действием на тестовые функции

${\underline {x}}^{-k}=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\phi (x)-\sum _{j=0}^{k-1}x^{j}\phi ^{(j)}(0)/j!}{x^{k}}}\,dx,$

и таким образом обобщить распределение главных значений Коши 1/ x , которое возникает в преобразовании Гильберта .

( х ± i0) ^а

Другое однородное распределение дается пределом распределения

$(x+i0)^{\alpha }=\lim _{\epsilon \downarrow 0}(x+i\epsilon )^{\alpha }.$

То есть, действуя на тестовые функции

$(x+i0)^{\alpha }[\varphi ]=\lim _{\epsilon \downarrow 0}\int _{\mathbb {R} }(x+i\epsilon )^{\alpha }\varphi (x)\,dx.$

Ветвь логарифма выбирается однозначной в верхней полуплоскости и согласованной с натуральным логарифмом вдоль положительной вещественной оси. Как предел целых функций ( x + i0) ^а [φ] — целая функция от α. Сходным образом,

$(x-i0)^{\alpha }=\lim _{\epsilon \downarrow 0}(x-i\epsilon )^{\alpha }$

также является четко определенным распределением для всех α

Когда Re α > 0,

$(x\pm i0)^{\alpha }=x_{+}^{\alpha }+e^{\pm i\pi \alpha }x_{-}^{\alpha },$

которое затем выполняется путем аналитического продолжения, если α не является отрицательным целым числом. По постоянству функциональных отношений,

${\frac {d}{dx}}(x\pm i0)^{\alpha }=\alpha (x\pm i0)^{\alpha -1}.$

При целых отрицательных числах справедливо тождество (на уровне распределений на R \ {0})

$(x\pm i0)^{-k}=x_{+}^{-k}+(-1)^{k}x_{-}^{-k}\pm \pi i(-1)^{k}{\frac {\delta ^{(k-1)}}{(k-1)!}},$

и особенности сокращаются, давая четко определенное распределение на R . Среднее значение двух распределений согласуется с ${\underline {x}}^{-k}$:

${\frac {(x+i0)^{-k}+(x-i0)^{-k}}{2}}={\underline {x}}^{-k}.$

Разница двух распределений кратна дельта-функции:

$(x+i0)^{-k}-(x-i0)^{-k}=2\pi i(-1)^{k}{\frac {\delta ^{(k-1)}}{(k-1)!}},$

которое известно как соотношение скачка Племеля .

Классификация

Имеет место следующая классификационная теорема ( Гельфанд, Шилов, 1966 , §3.11). Пусть S — распределение, однородное степени α на R \ {0 }. Затем $S=ax_{+}^{\alpha }+bx_{-}^{\alpha }$ для некоторых констант a , b . Любое распределение S на R, однородное степени α ≠ −1, −2, ..., также имеет такой вид. В результате любое однородное распределение степени α ≠ −1, −2, ... на R \ {0 } продолжается до R .

Наконец, все однородные распределения степени − k , отрицательного целого числа, на R имеют вид:

$a{\underline {x}}^{-k}+b\delta ^{(k-1)}.$

Высшие измерения

Однородные распределения на евклидовом пространстве R ^н \ {0 } с удаленным началом координат всегда имеют вид

$S(x)=f(x/|x|)|x|^{\lambda }\,$ ( 1 )

где ƒ — распределение на единичной сфере S ^{п -1} . Число λ, которое является степенью однородного распределения S , может быть действительным или комплексным.

Любое однородное распределение вида ( 1 ) на R ^н \ {0 } однозначно продолжается до однородного распределения на R ^н при условии Re λ > − n . Фактически, аргумент аналитического продолжения, аналогичный одномерному случаю, расширяет это для всех λ ≠ − n , − n −1, ... .

Ссылки

• Гельфанд, И.М.; Шилов Г.Е. (1966), Обобщенные функции , вып. 1, Академическое издательство .
• Хёрмандер, Л. (1976), Линейные операторы с частными производными, Том 1 , Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-00662-6 .
• Тейлор, Майкл (1996), Уравнения в частных производных, том. 1 , Шпрингер-Верлаг .