Сходимость по мере

Не путать со сближением мер .

Сходимость по мере — это одна из двух различных математических концепций, каждая из которых обобщаетпонятие сходимости по вероятности .

Определения

Позволять $f,f_{n}\ (n\in \mathbb {N} ):X\to \mathbb {R}$ быть измеримыми функциями в пространстве с мерой $(X,\Sigma ,\mu ).$ Последовательность $f_{n}$ говорят, что глобально сходятся в мере , чтобы $f$ если для каждого $\varepsilon >0,$$$\lim _{n\to \infty }\mu (\{x\in X:|f(x)-f_{n}(x)|\geq \varepsilon \})=0,$$и чтобы сходятся локально по мере к $f$ если для каждого $\varepsilon >0$ и каждый $F\in \Sigma$ с $\mu (F)<\infty ,$$$\lim _{n\to \infty }\mu (\{x\in F:|f(x)-f_{n}(x)|\geq \varepsilon \})=0.$$

В пространстве с конечной мерой оба понятия эквивалентны. В противном случае сходимость по мере может относиться либо к глобальной сходимости по мере, либо к локальной сходимости по мере, в зависимости от автора.

Характеристики

Всюду f и f _n ( n $\in$ N измеримые функции X → R. ) —

• Глобальная сходимость по мере подразумевает локальную сходимость по мере. Обратное, однако, неверно; т. е. , вообще говоря, локальная сходимость по мере строго слабее, чем глобальная сходимость по мере.
• Если, однако, $\mu (X)<\infty$ или, в более общем смысле, если f и все f _n исчезают вне некоторого множества конечной меры, то различие между локальной и глобальной сходимостью по мере исчезает.
• Если µ σ по мере, существует -конечна и ( f _n ) сходится (локально или глобально) к f подпоследовательность, сходящаяся к f почти всюду . Предположение об σ -конечности не является необходимым в случае глобальной сходимости по мере.
• Если µ -конечна σ , ( f _n ) сходится к f локально по мере тогда и только тогда, когда каждая подпоследовательность, в свою очередь, имеет подпоследовательность, которая сходится к f почти всюду.
• В частности, если ( ) _fn сходится к f почти всюду, то ( ) _fn сходится к f локально по мере. Обратное неверно.
• Лемма Фату и теорема о монотонной сходимости верны, если почти всюду сходимость заменяется (локальной или глобальной) сходимостью по мере.
• Если µ -конечен σ Лебега , теорема о доминируемой сходимости также верна, если почти всюду сходимость заменяется (локальной или глобальной) сходимостью по мере.
• Если X = [ a , b ] ⊆ R и µ — мера Лебега , существуют последовательности ( gn ₎ ступенчатых функций и ( hn _к ) непрерывных функций, глобально сходящиеся по мере f .
• Если f и f _n ( n ∈ N ) находятся в L ^п ( µ ) для некоторого p > 0 и ( f _n ) сходится к f в p -норме, тогда ( f _n ) сходится к f глобально по мере. Обратное неверно.
• Если fn _fn сходится к f по мере, а к _{сходится} g по мере, то + _{сходится} gn gn _к f + g по мере. Кроме того, если пространство с мерой конечно, f _n g _n также сходится к fg .

Контрпримеры

Позволять $X=\mathbb {R}$ µ — мера Лебега, а f — постоянная функция с нулевым значением.

• Последовательность $f_{n}=\chi _{[n,\infty )}$ сходится к f локально по мере, но не сходится к f глобально по мере.
• Последовательность $f_{n}=\chi _{\left[{\frac {j}{2^{k}}},{\frac {j+1}{2^{k}}}\right]}$ где $k=\lfloor \log _{2}n\rfloor$ и $j=n-2^{k}$ (Первые пять членов из которых $\chi _{\left[0,1\right]},\;\chi _{\left[0,{\frac {1}{2}}\right]},\;\chi _{\left[{\frac {1}{2}},1\right]},\;\chi _{\left[0,{\frac {1}{4}}\right]},\;\chi _{\left[{\frac {1}{4}},{\frac {1}{2}}\right]}$) сходится к 0 глобально по мере; но ни при каком x не f _n (x) сходится к нулю. Следовательно, (f _n ) не сходится к f почти всюду.

• Последовательность $f_{n}=n\chi _{\left[0,{\frac {1}{n}}\right]}$ сходится к f почти всюду и глобально по мере, но не по p -норме ни для какого $p\geq 1$.

Топология

Существует топология , называемая топологией (локальной) сходимости по мере , на наборе измеримых функций из X такая, что локальная сходимость по мере соответствует сходимости по этой топологии.Эта топология определяется семейством псевдометрик $$\{\rho _{F}:F\in \Sigma ,\ \mu (F)<\infty \},$$где $$\rho _{F}(f,g)=\int _{F}\min\{|f-g|,1\}\,d\mu .$$Вообще говоря, можно ограничиться некоторым подсемейством множеств F (вместо всех возможных подмножеств конечной меры). Достаточно, чтобы для каждого $G\subset X$ конечной меры и $\varepsilon >0$ существует F такое, что в семействе $\mu (G\setminus F)<\varepsilon .$ Когда $\mu (X)<\infty$, мы можем рассматривать только одну метрику $\rho _{X}$, поэтому топология сходимости в конечной мере метризуема. Если $\mu$ является произвольной мерой, конечной или нет, то $$d(f,g):=\inf \limits _{\delta >0}\mu (\{|f-g|\geq \delta \})+\delta$$по-прежнему определяет метрику, которая генерирует глобальную сходимость по мере.

Поскольку эта топология создается семейством псевдометрик, она униформизуема .Работа с однородными структурами вместо топологий позволяет нам сформулировать однородные свойства, такие как Кошиность .

См. также

• Пространство конвергенции

Ссылки

• Д.Х. Фремлин, 2000. Теория меры . Торрес Фремлин.
• Х. Л. Ройден, 1988. Реальный анализ . Прентис Холл.
• ГБ Фолланд 1999, раздел 2.4. Реальный анализ . Джон Уайли и сыновья.