Грузы Макенхаупта

В математике класс весов Макенхаупта Ap _{максимальный оператор Харди} состоит из тех весов ω, для которых –Литтлвуда ограничен на L ^п ( dω ) . В частности, мы рассматриваем функции   f   на R ^н и связанные с ними максимальные функции M ( f ), определенные как

$M(f)(x)=\sup _{r>0}{\frac {1}{r^{n}}}\int _{B_{r}(x)}|f|,$

где B _r ( x ) — шар в R ^н с радиусом r и центром в точке x . Пусть 1 ≤ p < ∞ , мы хотим охарактеризовать функции ω : R ^н → [0, ∞), для которого имеется оценка

$\int |M(f)(x)|^{p}\,\omega (x)dx\leq C\int |f|^{p}\,\omega (x)\,dx,$

где C зависит только от p и ω . Впервые это сделал Бенджамин Макенхаупт .

Определение

При фиксированном 1 < p < ∞ мы говорим, что вес ω : R ^н → [0, ∞) принадлежит Ap _, если ω локально интегрируема и существует константа C такая, что для всех шаров B в R ^н , у нас есть

$\left({\frac {1}{|B|}}\int _{B}\omega (x)\,dx\right)\left({\frac {1}{|B|}}\int _{B}\omega (x)^{-{\frac {q}{p}}}\,dx\right)^{\frac {p}{q}}\leq C<\infty ,$

где | Б | — мера Лебега B q , а — такое действительное число, что: ⁠ 1 / p ⁠ + ⁠ 1 / q ⁠ = 1 .

Мы говорим ω : R ^н → [0, ∞) принадлежит A ₁ , если существует такой C , что

${\frac {1}{|B|}}\int _{B}\omega (y)\,dy\leq C\omega (x),$

для почти каждого x ∈ B и всех шаров B .

Эквивалентные характеристики

Следующий результат является фундаментальным результатом в изучении весов Макенхаупта.

Теорема. Пусть 1 < p < ∞ . Вес ω находится в A _p тогда и только тогда, когда выполнено любое из следующих условий.

(а) Максимальная функция Харди–Литтлвуда ограничена на L ^п ( ω ( x ) dx ) , то есть

$\int |M(f)(x)|^{p}\,\omega (x)\,dx\leq C\int |f|^{p}\,\omega (x)\,dx,$

для некоторого C , который зависит только от p и константы A в приведенном выше определении.

(б) Существует константа c такая, что для любой локально интегрируемой функции   f   на R ^н , и все шары B :

$(f_{B})^{p}\leq {\frac {c}{\omega (B)}}\int _{B}f(x)^{p}\,\omega (x)\,dx,$

где:

$f_{B}={\frac {1}{|B|}}\int _{B}f,\qquad \omega (B)=\int _{B}\omega (x)\,dx.$

Эквивалентно:

Теорема. Пусть 1 < p < ∞ , тогда w = e ^ж ∈ Ap _{тогда и только тогда, когда} выполняются оба следующих условия:

$\sup _{B}{\frac {1}{|B|}}\int _{B}e^{\varphi -\varphi _{B}}dx<\infty$

$\sup _{B}{\frac {1}{|B|}}\int _{B}e^{-{\frac {\varphi -\varphi _{B}}{p-1}}}dx<\infty .$

Эту эквивалентность можно проверить с помощью неравенства Дженсена .

Обратные неравенства Гёльдера и A _∞

Основным инструментом доказательства указанной эквивалентности является следующий результат. Следующие утверждения эквивалентны

1. ω ∈ Ap _для некоторого 1 ≤ p < ∞ .
2. Существуют 0 < δ , γ < 1 такие, что для всех шаров B и подмножеств E ⊂ B , | Е | ≤ γ | Б | подразумевает ω ( E ) ≤ δ   ω ( B ) .
3. Существуют 1 < q и c (оба зависят от ω ) такие, что для всех шаров B имеем:

${\frac {1}{|B|}}\int _{B}\omega ^{q}\leq \left({\frac {c}{|B|}}\int _{B}\omega \right)^{q}.$

Неравенство в третьей формулировке мы называем обратным неравенством Гельдера, поскольку обратное неравенство следует для любой неотрицательной функции непосредственно из неравенства Гёльдера . Если любое из трех эквивалентных условий, приведенных выше, выполнено, мы говорим, что ω принадлежит A _∞ .

Вес и BMO

Определение веса и _Ap обратное неравенство Гёльдера показывают, что такой вес не может вырождаться или расти слишком быстро. Это свойство можно эквивалентно сформулировать в терминах того, насколько колеблется логарифм веса:

(a) Если w ∈ Ap _{) ∈} , ( p ≥ 1), то log( w BMO (т. е. log( w ) имеет ограниченное среднее колебание ).

(б) Если   f ∈ BMO , то для достаточно малого δ > 0 имеем e ^δf ∈ A _p для некоторого p ≥ 1 .

Эту эквивалентность можно установить, используя приведенную выше экспоненциальную характеристику весов, неравенство Йенсена и неравенство Джона – Ниренберга .

Обратите внимание, что предположение о малости δ > 0 в части (b) необходимо для того, чтобы результат был верным, поскольку −log| х | ∈ BMO , но:

$e^{-\log |x|}={\frac {1}{e^{\log |x|}}}={\frac {1}{|x|}}$

нет ни в одном A _p .

Дополнительные свойства

Здесь мы перечисляем несколько различных свойств весов, некоторые из которых можно проверить с помощью определений, другие являются нетривиальными результатами:

$A_{1}\subseteq A_{p}\subseteq A_{\infty },\qquad 1\leq p\leq \infty .$

$A_{\infty }=\bigcup _{p<\infty }A_{p}.$

Если w ∈ Ap _w , то w   dx определяет меру удвоения : для любого шара B , если 2 B — это шар удвоенного радиуса, то от (2 B ) ≤ Cw ( B ), где C > 1 — константа, зависящая ш .

Если w ∈ Ap _что , то существует δ > 1 такое, w ^д ∈ А _п .

Если w ∈ A∞ _, то существует δ > 0 и веса $w_{1},w_{2}\in A_{1}$ такой, что $w=w_{1}w_{2}^{-\delta }$.

Ограниченность сингулярных интегралов

ограничен не только максимальный оператор Харди–Литлвуда На этих весовых L ^п пространства. Фактически, любой сингулярный интегральный оператор Кальдерона–Зигмунда также ограничен в этих пространствах. Опишем здесь более простую версию. Предположим, у нас есть оператор T , ограниченный в L ² ( dx ) , поэтому мы имеем

$\forall f\in C_{c}^{\infty }:\qquad \|T(f)\|_{L^{2}}\leq C\|f\|_{L^{2}}.$

Предположим также, что мы можем реализовать T как свертку с ядром K в следующем смысле: если   f , g гладкие с непересекающимся носителем, то:

$\int g(x)T(f)(x)\,dx=\iint g(x)K(x-y)f(y)\,dy\,dx.$

Наконец, мы предполагаем размер и условие гладкости ядра K :

$\forall x\neq 0,\forall |\alpha |\leq 1:\qquad \left|\partial ^{\alpha }K\right|\leq C|x|^{-n-\alpha }.$

Тогда для каждого 1 < p ∞ и ω ∈ A _p T < — ограниченный оператор в L ^п ( ω ( Икс ) dx ) . То есть мы имеем оценку

$\int |T(f)(x)|^{p}\,\omega (x)\,dx\leq C\int |f(x)|^{p}\,\omega (x)\,dx,$

для всех   f,   для которых правая часть конечна.

Обратный результат

Если в дополнение к трем вышеперечисленным условиям принять условие невырожденности ядра K : Для фиксированного единичного вектора u ₀

$|K(x)|\geq a|x|^{-n}$

в любое время $x=t{\dot {u}}_{0}$ если −∞ < t < ∞ , то имеем обратное. Если мы знаем

$\int |T(f)(x)|^{p}\,\omega (x)\,dx\leq C\int |f(x)|^{p}\,\omega (x)\,dx,$

для некоторого фиксированного 1 < p < ∞ и некоторого ω , ω ∈ Ap _то .

Веса и квазиконформные отображения

При K > 1 K квазиконформное - отображение является гомеоморфизмом   f : R ^н → R ^н такой, что

$f\in W_{loc}^{1,2}(\mathbf {R} ^{n}),\quad {\text{ and }}\quad {\frac {\|Df(x)\|^{n}}{J(f,x)}}\leq K,$

где Df ( x ) — производная f   x   в точке x а J ( f , x ) = det( Df ( , )) — якобиан .

Теорема Геринга утверждает, что для всех K -квазиконформных функций   f : R ^н → R ^н , у нас есть ( f , x ) ∈ Ap _J , где p зависит от K .

Гармоническая мера

Если у вас есть односвязная область Ω ⊆ C , мы говорим, что ее граничная кривая Γ = ∂Ω является K -хордовой дугой, если для любых двух точек z , w в Γ существует кривая γ ⊆ Γ, соединяющая z и w, длина которой равна не более К | г - ш | . Для области с такой границей и для любого z ₀ в Ω гармоническая мера w ( ⋅ ) = w ( z ₀ , Ω, ⋅) абсолютно непрерывна относительно одномерной меры Хаусдорфа , а ее производная Радона–Никодима равна в А _∞ . (Обратите внимание, что в этом случае необходимо адаптировать определение весов к случаю, когда основной мерой является одномерная мера Хаусдорфа).

Ссылки

• Гарнетт, Джон (2007). Ограниченные аналитические функции . Спрингер.