Удвоение пространства

В математике метрическое пространство $X$ с метрикой $d$ называется удвояющимся , если существует некоторая константа удвоения $M > 0$ такая, что для любого $x \in X$ и $r > 0$ можно покрыть шар $B (x, r) = {у | d (x, y) < r}$ с объединением не более $M$ шаров радиуса $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠ r / 2 ⁠$ . ^{[ 1 ]} Логарифм $M$ основанию 2 называется удвоенной размерностью X $.$ по ^{[ 2 ]} Евклидовы пространства $\mathbb {R} ^{d}$ снабженные обычной евклидовой метрикой, являются примерами пространств удвоения, в которых константа удвоения $M$ зависит от размерности $d$ . Например, в одном измерении $M = 3$ ; и в двух измерениях $M = 7$ . ^{[ 3 ]} В общем, евклидово пространство $\mathbb {R} ^{d}$ имеет удвоенную размерность $\Theta (d)$ . ^{[ 2 ]}^{[ 4 ]}

Теорема вложения Ассуада

Важным вопросом геометрии метрического пространства является характеристика тех метрических пространств, которые могут быть вложены в некоторое евклидово пространство с помощью билипшицевой функции. Это означает, что по существу можно думать о метрическом пространстве как о подмножестве евклидова пространства. Не все метрические пространства могут быть вложены в евклидово пространство. С другой стороны, удвоение метрических пространств, казалось бы, имеет больше шансов, поскольку условие удвоения в некотором смысле говорит о том, что метрическое пространство не является бесконечномерным. Однако в целом это все еще не так. Группа Гейзенберга с ее метрикой Карно-Каратеодори является примером удвоенного метрического пространства, которое не может быть вложено ни в одно евклидово пространство. ^{[ 5 ]}

Теорема Ассуада утверждает, что для $M$ -удвоения метрического пространства $X$ , если мы зададим ему метрику $d (x, y) е$ для некоторого $0 < ε < 1$ существует $L$ -билипшицево отображение $f:X\rightarrow \mathbb {R} ^{d}$ , где $d$ и $L$ зависят от $M$ и $ε$ .

Удвоение мер

Определение

Нетривиальная мера в метрическом пространстве X называется удвояющейся, если мера любого шара конечна и приблизительно равна мере его двойника, или, точнее, если существует константа C > 0 такая, что

0<\mu (B(x,2r))\leq C\mu (B(x,r))<\infty \,

для всех x в X и r > 0. В этом случае мы говорим, что µ является C-удвоением . Фактически можно доказать, что с необходимостью C $\geq$ 2. ^{[ 6 ]}

Пространство с метрической мерой, поддерживающее удвоительную меру, обязательно является метрическим пространством удвоения, где константа удвоения зависит от константы C . И наоборот, каждое полное метрическое пространство удвоения поддерживает меру удвоения. ^{[ 7 ]}^{[ 8 ]}

Примеры

Простым примером удвояющейся меры является мера Лебега в евклидовом пространстве. Однако в евклидовом пространстве могут существовать меры удвоения, сингулярные относительно меры Лебега. Одним из примеров реальной линии является слабый предел следующей последовательности мер: ^{[ 9 ]}

d\mu _{n}=\prod _{i=1}^{n}(1+a\cos(3^{i}2\pi x))\,dx,\;\;\;|a|<1.

можно построить Другую сингулярную меру удвоения µ на интервале [0, 1] следующим образом: для каждого k ≥ 0 разбить единичный интервал [0,1] на 3 ^к интервалы длиной 3 ^{- к}. Пусть ∆ — совокупность всех таких интервалов в [0,1], полученных для каждого k (это триадические интервалы ), и для каждого такого интервала I пусть m ( I ) обозначает его «среднюю треть» интервала. Зафиксируем 0 < δ < 1 и пусть µ — такая мера, что µ ([0, 1]) = 1 и для каждого триадического интервала I , µ ( m ( I )) = δµ ( I ). Тогда это дает меру удвоения на [0, 1], сингулярную по отношению к мере Лебега. ^{[ 10 ]}

Приложения

Определение удвоенной меры может показаться произвольным или представлять чисто геометрический интерес. Однако многие результаты классического гармонического анализа и вычислительной геометрии распространяются на метрические пространства с удвоением меры.

См. также

Размер шоссе

Ссылки

^ Хейнонен, Юха (2001). Лекции по анализу в метрических пространствах . Университеттекст. Нью-Йорк: Springer-Verlag. стр. х+140. ISBN 0-387-95104-0 .
^ Jump up to: ^а ^б Гупта, А.; Краутгамер, Р.; Ли, младший (2003). «Ограниченная геометрия, фракталы и вложения с низким искажением» . 44-й ежегодный симпозиум IEEE по основам информатики, 2003 г. Материалы . стр. 534–543. дои : 10.1109/SFCS.2003.1238226 . ISBN 0-7695-2040-5 . S2CID 796386 .
^ В., Вайсштейн, Эрик. «Проблема с покрытием диска» . mathworld.wolfram.com . Проверено 3 марта 2018 г. {{cite web}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
^ Чжоу, Феликс (21 февраля 2023 г.). «Удвоение размера и ширины дерева» (PDF) .
^ Пансу, Пьер (1989). «Метрики Карно-Каратеодори и квазиизометрии симметричных пространств ранга один». Энн. математики . 2.129 ( 1 ):1–60. дои : 10.2307/1971484 . JSTOR 1971484 .
^ Сория, Хавьер; Традасете, Педро (2019). «Наименьшая константа удвоения метрического пространства с мерой» . Энн. акад. наук. Фенн. Математика . 44 (2): 1015–1030. дои : 10.5186/aasfm.2019.4457 .
^ Луукайнен, Йоуни; Саксман, Ээро (1998). «Каждое полное удвояющееся метрическое пространство несет в себе удвоительную меру» . Учеб. амер. Математика. Соц . 126 (2): 531–534. дои : 10.1090/s0002-9939-98-04201-4 .
^ Йоуни, Лууккайнен (1998). «РАЗМЕРНОСТЬ АССУАДА: АНТИФРАКТАЛЬНАЯ МЕТРИЗАЦИЯ, ПОРИСТЫЕ МНОЖЕСТВА И ОДНОРОДНЫЕ МЕРЫ» . Журнал Корейского математического общества . 35 (1). ISSN 0304-9914 .
^ Зигмунд, А. (2002). Тригонометрический ряд. Том. Я, II . Кембриджская математическая библиотека (Третье изд.). Издательство Кембриджского университета. стр. XII, Том. I: xiv+383 с., Том. II: VIII+364. ISBN 0-521-89053-5 .
^ Кахане, Ж.-П. (1969). «Три заметки о линейных совершенных множествах». Обучение математике. (2) . 15 : 185–192.

[1] Хейнонен, Юха (2001). Лекции по анализу в метрических пространствах . Университеттекст. Нью-Йорк: Springer-Verlag. стр. х+140. ISBN 0-387-95104-0 .

[:0-2] Jump up to: ^а ^б Гупта, А.; Краутгамер, Р.; Ли, младший (2003). «Ограниченная геометрия, фракталы и вложения с низким искажением» . 44-й ежегодный симпозиум IEEE по основам информатики, 2003 г. Материалы . стр. 534–543. дои : 10.1109/SFCS.2003.1238226 . ISBN 0-7695-2040-5 . S2CID 796386 .

[3] В., Вайсштейн, Эрик. «Проблема с покрытием диска» . mathworld.wolfram.com . Проверено 3 марта 2018 г. {{cite web}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )

[4] Чжоу, Феликс (21 февраля 2023 г.). «Удвоение размера и ширины дерева» (PDF) .

[5] Пансу, Пьер (1989). «Метрики Карно-Каратеодори и квазиизометрии симметричных пространств ранга один». Энн. математики . 2.129 ( 1 ):1–60. дои : 10.2307/1971484 . JSTOR 1971484 .

[6] Сория, Хавьер; Традасете, Педро (2019). «Наименьшая константа удвоения метрического пространства с мерой» . Энн. акад. наук. Фенн. Математика . 44 (2): 1015–1030. дои : 10.5186/aasfm.2019.4457 .

[7] Луукайнен, Йоуни; Саксман, Ээро (1998). «Каждое полное удвояющееся метрическое пространство несет в себе удвоительную меру» . Учеб. амер. Математика. Соц . 126 (2): 531–534. дои : 10.1090/s0002-9939-98-04201-4 .

[8] Йоуни, Лууккайнен (1998). «РАЗМЕРНОСТЬ АССУАДА: АНТИФРАКТАЛЬНАЯ МЕТРИЗАЦИЯ, ПОРИСТЫЕ МНОЖЕСТВА И ОДНОРОДНЫЕ МЕРЫ» . Журнал Корейского математического общества . 35 (1). ISSN 0304-9914 .

[9] Зигмунд, А. (2002). Тригонометрический ряд. Том. Я, II . Кембриджская математическая библиотека (Третье изд.). Издательство Кембриджского университета. стр. XII, Том. I: xiv+383 с., Том. II: VIII+364. ISBN 0-521-89053-5 .

[10] Кахане, Ж.-П. (1969). «Три заметки о линейных совершенных множествах». Обучение математике. (2) . 15 : 185–192.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]