Квазинорма

В линейной алгебре , функциональном анализе и смежных областях математики квазинорма неравенство аналогична норме в том смысле, что она удовлетворяет аксиомам нормы, за исключением того, что треугольника заменяется на $\|x+y\|\leq K(\|x\|+\|y\|)$ для некоторых $K>1.$

Определение

А квазиполунорма ^[1] в векторном пространстве $X$ это карта с действительным значением $p$ на $X$ который удовлетворяет следующим условиям:

Неотрицательность : $p\geq 0;$
Абсолютная однородность : $p(sx)=|s|p(x)$ для всех $x\in X$ и все скаляры $s;$
существует настоящий $k\geq 1$ $k\geq 1$ такой, что $p(x+y)\leq k[p(x)+p(y)]$ $p(x+y)\leq k[p(x)+p(y)]$ для всех $x,y\in X.$ $x,y\in X.$
- Если $k=1$ то это неравенство сводится к неравенству треугольника . Именно в этом смысле это условие обобщает обычное неравенство треугольника.

А квазинорма ^[1] является квазиполунормой, которая также удовлетворяет:

Положительно определенный / Разделение точек : если $x\in X$ удовлетворяет $p(x)=0,$ затем $x=0.$

Пара $(X,p)$ состоящий из векторного пространства $X$ и связанная с ним квазиполунорма $p$ называется квазиполунормированное векторное пространство . Если квазиполунорма является квазинормой, то ее еще называют квазинормированное векторное пространство .

Множитель

всех Нижняя грань значений $k$ удовлетворяющие условию (3), называется множитель $p.$ Сам множитель также будет удовлетворять условию (3), поэтому это уникальное наименьшее действительное число, удовлетворяющее этому условию. Термин $k$ -квази-полунорма иногда используется для описания квази-полунормы, множитель которой равен $k.$

Норма ) – это просто квазинорма ( соответственно (соответственно полунорма квазиполунорма), множитель которой равен $1.$ Таким образом, каждая полунорма является квазиполунормой, а каждая норма является квазинормой (и квазиполунормой).

Топология

Если $p$ является квазинормой относительно $X$ затем $p$ индуцирует векторную топологию на $X$ базис окрестности которого в начале координат задается множествами: ^[2] $\{x\in X:p(x)<1/n\}$ как $n$ колеблется в пределах положительных целых чисел. Топологическое векторное пространство с такой топологией называется квазинормированное топологическое векторное пространство или просто квазинормированное пространство .

Всякое квазинормированное топологическое векторное пространство псевдометризуемо .

Полное квазинормированное пространство называется квазибанахово пространство . Каждое банахово пространство является квазибанаховым пространством, хотя и не наоборот.

Связанные определения

Полная квазинормированная алгебра называется квазибанахова алгебра .

Характеристики

Топологическое векторное пространство (ТВП) является квазинормированным пространством тогда и только тогда, когда оно имеет ограниченную окрестность начала координат. ^[2]

Примеры

Поскольку каждая норма является квазинормой, любое нормированное пространство также является квазинормированным.

$L^{p}$ пространства с $0<p<1$

The $L^{p}$ места для $0<p<1$ являются квазинормированными пространствами (на самом деле, они даже являются F-пространствами ), но они, вообще говоря, не нормируемы (это означает, что не может существовать никакой нормы, определяющей их топологию). Для $0<p<1,$ пространство Лебега $L^{p}([0,1])$ является полным метризуемым TVS ( F-пространством ), которое не является локально выпуклым (фактически, его единственные выпуклые открытые подмножества сами по себе являются $L^{p}([0,1])$ и пустое множество) и единственный непрерывный линейный функционал на $L^{p}([0,1])$ константа $0$ функция ( Рудин 1991 , §1.47). В частности, теорема Хана-Банаха не справедлива для $L^{p}([0,1])$ когда $0<p<1.$

См. также

Метризуемое топологическое векторное пространство - топологическое векторное пространство, топология которого может быть определена метрикой.
Норма (математика) – Длина в векторном пространстве.
Полунорма - функция с неотрицательным действительным знаком в действительном или комплексном векторном пространстве, которая удовлетворяет неравенству треугольника и является абсолютно однородной.
Топологическое векторное пространство - векторное пространство с понятием близости.

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Калтон 1986 , стр. 297–324.
^ Jump up to: ^а ^б Виланский 2013 , с. 55.

Олл, Чарльз Э.; Роберт Лоуэн (2001). Справочник по истории общей топологии . Спрингер . ISBN 0-7923-6970-Х .
Конвей, Джон Б. (1990). Курс функционального анализа . Спрингер . ISBN 0-387-97245-5 .
Калтон, Н. (1986). «Плюрисубгармонические функции в квазибанаховых пространствах» (PDF) . Студия Математика . 84 (3). Институт математики Польской академии наук: 297–324. дои : 10.4064/см-84-3-297-324 . ISSN 0039-3223 .
Никольский, Николай Капитонович (1992). Функциональный анализ I: Линейный функциональный анализ . Энциклопедия математических наук. Том. 19. Спрингер . ISBN 3-540-50584-9 .
Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5 . OCLC 21163277 .
Шварц, Чарльз (1992). Введение в функциональный анализ . ЦРК Пресс . ISBN 0-8247-8643-2 .
Вилански, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc. 978-0-486-49353-4 . OCLC 849801114 .

[FOOTNOTEKalton1986297–324-1] Jump up to: ^а ^б Калтон 1986 , стр. 297–324.

[FOOTNOTEWilansky201355-2] Jump up to: ^а ^б Виланский 2013 , с. 55.

[1]

[2]

v т и Топологические векторные пространства (ТВП)
Basic concepts	Banach space Completeness Continuous linear operator Linear functional Fréchet space Linear map Locally convex space Metrizability Operator topologies Topological vector space Vector space
Main results	Anderson–Kadec Banach–Alaoglu Closed graph theorem F. Riesz's Hahn–Banach (hyperplane separation Vector-valued Hahn–Banach) Open mapping (Banach–Schauder) Bounded inverse Uniform boundedness (Banach–Steinhaus)
Maps	Bilinear operator form Linear map Almost open Bounded Continuous Closed Compact Densely defined Discontinuous Topological homomorphism Functional Linear Bilinear Sesquilinear Norm Seminorm Sublinear function Transpose
Types of sets	Absolutely convex/disk Absorbing/Radial Affine Balanced/Circled Banach disks Bounding points Bounded Complemented subspace Convex Convex cone (subset) Linear cone (subset) Extreme point Pre-compact/Totally bounded Prevalent/Shy Radial Radially convex/Star-shaped Symmetric
Set operations	Affine hull (Relative) Algebraic interior (core) Convex hull Linear span Minkowski addition Polar (Quasi) Relative interior
Types of TVSs	Asplund B-complete/Ptak Banach (Countably) Barrelled BK-space (Ultra-) Bornological Brauner Complete Convenient (DF)-space Distinguished F-space FK-AK space FK-space Fréchet tame Fréchet Grothendieck Hilbert Infrabarreled Interpolation space K-space LB-space LF-space Locally convex space Mackey (Pseudo)Metrizable Montel Quasibarrelled Quasi-complete Quasinormed (Polynomially Semi-) Reflexive Riesz Schwartz Semi-complete Smith Stereotype (B Strictly Uniformly) convex (Quasi-) Ultrabarrelled Uniformly smooth Webbed With the approximation property
Category

v т и банахового пространства Темы
Types of Banach spaces	Asplund Banach list Banach lattice Grothendieck Hilbert Inner product space Polarization identity (Polynomially) Reflexive Riesz L-semi-inner product (B Strictly Uniformly) convex Uniformly smooth (Injective Projective) Tensor product (of Hilbert spaces)
Banach spaces are:	Barrelled Complete F-space Fréchet tame Locally convex Seminorms/Minkowski functionals Mackey Metrizable Normed norm Quasinormed Stereotype
Function space Topologies	Banach–Mazur compactum Dual Dual space Dual norm Operator Ultraweak Weak polar operator Strong polar operator Ultrastrong Uniform convergence
Linear operators	Adjoint Bilinear form operator sesquilinear (Un)Bounded Closed Compact on Hilbert spaces (Dis)Continuous Densely defined Fredholm kernel operator Hilbert–Schmidt Functionals positive Pseudo-monotone Normal Nuclear Self-adjoint Strictly singular Trace class Transpose Unitary
Operator theory	Banach algebras C-algebras Operator space Spectrum C-algebra radius Spectral theory of ODEs Spectral theorem Polar decomposition Singular value decomposition
Theorems	Anderson–Kadec Banach–Alaoglu Banach–Mazur Banach–Saks Banach–Schauder (open mapping) Banach–Steinhaus (Uniform boundedness) Bessel's inequality Cauchy–Schwarz inequality Closed graph Closed range Eberlein–Šmulian Freudenthal spectral Gelfand–Mazur Gelfand–Naimark Goldstine Hahn–Banach hyperplane separation Kakutani fixed-point Krein–Milman Lomonosov's invariant subspace Mackey–Arens Mazur's lemma M. Riesz extension Parseval's identity Riesz's lemma Riesz representation Robinson-Ursescu Schauder fixed-point
Analysis	Abstract Wiener space Banach manifold bundle Bochner space Convex series Differentiation in Fréchet spaces Derivatives Fréchet Gateaux functional holomorphic quasi Integrals Bochner Dunford Gelfand–Pettis regulated Paley–Wiener weak Functional calculus Borel continuous holomorphic Measures Lebesgue Projection-valued Vector Weakly / Strongly measurable function
Types of sets	Absolutely convex Absorbing Affine Balanced/Circled Bounded Convex Convex cone (subset) Convex series related ((cs, lcs)-closed, (cs, bcs)-complete, (lower) ideally convex, (Hx), and (Hwx)) Linear cone (subset) Radial Radially convex/Star-shaped Symmetric Zonotope
Subsets / set operations	Affine hull (Relative) Algebraic interior (core) Bounding points Convex hull Extreme point Interior Linear span Minkowski addition Polar (Quasi) Relative interior
Examples	Absolute continuity AC $ba(\Sigma )$ c space Banach coordinate BK Besov $B_{p,q}^{s}(\mathbb {R} )$ Birnbaum–Orlicz Bounded variation BV Bs space Continuous C(K) with K compact Hausdorff Hardy H^p Hilbert H Morrey–Campanato $L^{\lambda ,p}(\Omega )$ ℓ^p $\ell ^{\infty }$ L^p $L^{\infty }$ weighted Schwartz $S\left(\mathbb {R} ^{n}\right)$ Segal–Bargmann F Sequence space Sobolev W^k,p Sobolev inequality Triebel–Lizorkin Wiener amalgam $W(X,L^{p})$
Applications	Differential operator Finite element method Mathematical formulation of quantum mechanics Ordinary Differential Equations (ODEs) Validated numerics