л п сумма

В математике, и особенно в функциональном анализе , L ^п Сумма семейства пространств банаховых — это способ превратить подмножество произведения членов семейства в самостоятельное банахово пространство. Конструкция мотивирована классической L ^п пространства .

Определение

Позволять $(X_{i})_{i\in I}$ — семейство банаховых пространств, где $I$ может иметь сколь угодно большую мощность. Набор $$P:=\prod _{i\in I}X_{i},$$векторное пространство произведения.

Набор индексов $I$ становится пространством меры, если наделить его счетной мерой (которую мы будем обозначать через $\mu$), и каждый элемент $(x_{i})_{i\in I}\in P$ вызывает функцию $$I\to \mathbb {R} ,i\mapsto \|x_{i}\|.$$

Таким образом, мы можем определить функцию $$\Phi :P\to \mathbb {R} \cup \{\infty \},(x_{i})_{i\in I}\mapsto \int _{I}\|x_{i}\|^{p}\,d\mu (i)$$и затем мы установили $$\sideset {}{^{p}}\bigoplus \limits _{i\in I}X_{i}:=\{(x_{i})_{i\in I}\in P\mid \Phi ((x_{i})_{i\in I})<\infty \}$$вместе с нормой $$\|(x_{i})_{i\in I}\|:=\left(\int _{i\in I}\|x_{i}\|^{p}\,d\mu (i)\right)^{1/p}.$$

В результате получается нормированное банахово пространство, а это и есть L ^п сумма $(X_{i})_{i\in I}.$

Характеристики

• Всякий раз, когда бесконечно многие из $X_{i}$ содержат ненулевой элемент, то топология, индуцированная вышеуказанной нормой, находится строго между топологией продукта и коробки.
• Всякий раз, когда бесконечно многие из $X_{i}$ содержат ненулевой элемент, L ^п Сумма не является ни произведением , ни копроизведением .