Неравенство Грёнвалля

В математике путем неравенство Грёнвалла (также называемое леммой Грёнвалла или неравенством Грёнвалла-Беллмана ) позволяет ограничить функцию, которая, как известно, удовлетворяет определенному дифференциальному или интегральному неравенству, решения соответствующего дифференциального или интегрального уравнения . Существует две формы леммы: дифференциальная и интегральная. Для последнего есть несколько вариантов.

Неравенство Грёнвалля — важный инструмент для получения различных оценок в теории обыкновенных и стохастических дифференциальных уравнений . В частности, он предоставляет теорему сравнения , которую можно использовать для доказательства единственности решения начальной задачи ; см. теорему Пикара–Линделёфа .

Он назван в честь Томаса Хакона Грёнвалля (1877–1932). Грёнвалл — это шведское написание его имени, но после эмиграции в США он писал свое имя как Грёнвалл в своих научных публикациях.

Неравенство было впервые доказано Грёнваллем в 1919 году (интегральная форма ниже, где $α$ и $β$ являются константами). ^{[ 1 ]} Ричард Беллман доказал несколько более общую интегральную форму в 1943 году. ^{[ 2 ]}

Нелинейное обобщение неравенства Грёнволла–Беллмана известно как неравенство Бихари–ЛаСалле . Другие варианты и обобщения можно найти у Пачпатте, Б.Г. (1998). ^{[ 3 ]}

Дифференциальная форма

Позволять $I$ обозначим интервал вещественной прямой вида $[a,\infty )$ или $[a,b]$ или $[a,b)$ с $a<b$ . Позволять $\beta$ и $u$ — вещественные непрерывные функции, определенные на $I$ . Если $u$ дифференцируема внутри $I^{\circ }$ из $I$ (интервал $I$ без конечных точек $a$ и возможно $b$ ) и удовлетворяет дифференциальному неравенству

u'(t)\leq \beta (t)\,u(t),\qquad t\in I^{\circ },

затем $u$ ограничено решением соответствующего дифференциального уравнения $v'(t)=\beta (t)\,v(t)$ :

u(t)\leq u(a)\exp {\biggl (}\int _{a}^{t}\beta (s)\,\mathrm {d} s{\biggr )}

для всех $t\in I$ .

Примечание. Предположений о знаках функций нет. $\beta$ и $u$ .

Доказательство

Определите функцию

v(t)=\exp {\biggl (}\int _{a}^{t}\beta (s)\,\mathrm {d} s{\biggr )},\qquad t\in I.

Обратите внимание, что $v$ удовлетворяет

v'(t)=\beta (t)\,v(t),\qquad t\in I^{\circ },

с $v(a)=1$ и $v(t)>0$ для всех $t\in I$ . По правилу частного

{\frac {d}{dt}}{\frac {u(t)}{v(t)}}={\frac {u'(t)\,v(t)-v'(t)\,u(t)}{v^{2}(t)}}={\frac {u'(t)\,v(t)-\beta (t)\,v(t)\,u(t)}{v^{2}(t)}}\leq 0,\qquad t\in I^{\circ },

Таким образом, производная функции $u(t)/v(t)$ неположительна и функция ограничена сверху своим значением в начальной точке $a$ интервала $I$ :

{\frac {u(t)}{v(t)}}\leq {\frac {u(a)}{v(a)}}=u(a),\qquad t\in I,

что представляет собой неравенство Грёнвалля.

Интегральная форма для непрерывных функций

Обозначим $,$ интервал с вещественной прямой вида $[a \infty$ или $[a, b]$ или $[a b b)$ ) $a <,$ . Пусть $α$ , $β$ и $u$ — вещественнозначные функции, определенные $I.$ на Предположим, что $β$ и $u$ непрерывны и что отрицательная часть $α$ интегрируема на каждом замкнутом и ограниченном подинтервале $I$ .

(а) Если $β$ неотрицательно и если $u$ удовлетворяет интегральному неравенству

u(t)\leq \alpha (t)+\int _{a}^{t}\beta (s)u(s)\,\mathrm {d} s,\qquad \forall t\in I,

затем

u(t)\leq \alpha (t)+\int _{a}^{t}\alpha (s)\beta (s)\exp {\biggl (}\int _{s}^{t}\beta (r)\,\mathrm {d} r{\biggr )}\mathrm {d} s,\qquad t\in I.

(б) Если, кроме того, функция $α$ неубывающая, то

u(t)\leq \alpha (t)\exp {\biggl (}\int _{a}^{t}\beta (s)\,\mathrm {d} s{\biggr )},\qquad t\in I.

Примечания:

Предположений о знаках функций $α$ и $u$ нет .
По сравнению с дифференциальной формой, $дифференцируемость u не требуется.$ для интегральной формы
Чтобы узнать о версии неравенства Грёнвалля, которая не требует непрерывности $β$ и $u$ , см. версию в следующем разделе.

Доказательство

а) Определить

v(s)=\exp {\biggl (}{-}\int _{a}^{s}\beta (r)\,\mathrm {d} r{\biggr )}\int _{a}^{s}\beta (r)u(r)\,\mathrm {d} r,\qquad s\in I.

Используя правило произведения , правило цепочки , производную показательной функции и основную теорему исчисления , получаем для производной

v'(s)={\biggl (}\underbrace {u(s)-\int _{a}^{s}\beta (r)u(r)\,\mathrm {d} r} _{\leq \,\alpha (s)}{\biggr )}\beta (s)\exp {\biggl (}{-}\int _{a}^{s}\beta (r)\mathrm {d} r{\biggr )},\qquad s\in I,

где мы использовали предполагаемое интегральное неравенство для верхней оценки. Поскольку $β$ и экспонента неотрицательны, это дает верхнюю оценку производной $v(s)$ . С $v(a)=0$ , интегрирование этого неравенства от $a$ до $t$ дает

v(t)\leq \int _{a}^{t}\alpha (s)\beta (s)\exp {\biggl (}{-}\int _{a}^{s}\beta (r)\,\mathrm {d} r{\biggr )}\mathrm {d} s.

Используя определение $v(t)$ с первого шага, а затем это неравенство и свойство $e^{a}e^{b}=e^{a+b}$ , мы получаем

{\begin{aligned}\int _{a}^{t}\beta (s)u(s)\,\mathrm {d} s&=\exp {\biggl (}\int _{a}^{t}\beta (r)\,\mathrm {d} r{\biggr )}v(t)\\&\leq \int _{a}^{t}\alpha (s)\beta (s)\exp {\biggl (}\underbrace {\int _{a}^{t}\beta (r)\,\mathrm {d} r-\int _{a}^{s}\beta (r)\,\mathrm {d} r} _{=\,\int _{s}^{t}\beta (r)\,\mathrm {d} r}{\biggr )}\mathrm {d} s.\end{aligned}}

Подстановка этого результата в предполагаемое интегральное неравенство дает неравенство Грёнвалля.

(b) Если функция $α$ не убывает, то часть (a), факт $α (s) ⩽ α (t)$ и основная теорема исчисления подразумевают, что

{\begin{aligned}u(t)&\leq \alpha (t)+\alpha (t)\int _{a}^{t}\beta (s)\exp \left(\int _{s}^{t}\beta (r)dr\right)ds\\&\leq \alpha (t)+\alpha (t){\biggl (}{-}\exp {\biggl (}\int _{s}^{t}\beta (r)\,\mathrm {d} r{\biggr )}{\biggr )}{\biggr |}_{s=a}^{s=t}\\&=\alpha (t)\exp {\biggl (}\int _{a}^{t}\beta (r)\,\mathrm {d} r{\biggr )},\qquad t\in I.\end{aligned}}

Интегральная форма с локально конечными мерами

Обозначим $,$ интервал с вещественной прямой вида $[a \infty$ или $[a, b]$ или $[a b b)$ ) $a <,$ . Пусть $α$ и $u$ — измеримые функции, определенные на $I,$ и пусть $µ$ — непрерывная неотрицательная мера на борелевской σ-алгебре I $,$ удовлетворяющая условиям $µ ([a, t]) < \infty$ для всех $t \in I$ (это заведомо выполняется, когда $µ$ — локально конечная мера ). Предположим, что $u$ интегрируемо по $µ$ в том смысле, что

\int _{[a,t)}|u(s)|\,\mu (\mathrm {d} s)<\infty ,\qquad t\in I,

и что $u$ удовлетворяет интегральному неравенству

u(t)\leq \alpha (t)+\int _{[a,t)}u(s)\,\mu (\mathrm {d} s),\qquad t\in I.

Если, кроме того,

функция $α$ неотрицательна или
функция $t \mapsto µ ([a, t])$ непрерывна при $t \in I$ , а функция $α$ интегрируема по $µ$ в том смысле, что

\int _{[a,t)}|\alpha (s)|\,\mu (\mathrm {d} s)<\infty ,\qquad t\in I,

тогда $u$ удовлетворяет неравенству Грёнвалля

u(t)\leq \alpha (t)+\int _{[a,t)}\alpha (s)\exp {\bigl (}\mu (I_{s,t}){\bigr )}\,\mu (\mathrm {d} s)

для всех $t \in I$ , где $I s,t$ обозначает открытый интервал $(s, t)$ .

Примечания

Никаких предположений о непрерывности функций $α$ и $u$ не существует .
Интеграл в неравенстве Грёнвалля может давать значение бесконечности. ^{[ нужны разъяснения ]}
Если $α$ — нулевая функция, а $u$ неотрицательна, то из неравенства Грёнволла следует, что $u$ — нулевая функция.
Интегрируемость $u$ по $µ$ существенна для результата. В качестве контрпримера пусть $µ$ обозначает меру Лебега на единичном интервале $[0, 1]$ , определим $u (0) = 0$ и $u (t) = 1/ t$ для $t \in$ $(0, 1]$ и пусть $α$ — нуль функция.
Версия, приведенная в учебнике С. Этьера и Т. Курца. ^{[ 4 ]} делает более сильные предположения, что $α$ является неотрицательной константой и $u$ ограничено на ограниченных интервалах, но не предполагает, что мера $µ$ локально конечна. приведенным ниже, их доказательство не обсуждает поведение остатка $Rn По сравнению с (t)$ .

Особые случаи

Если мера $µ$ имеет плотность $β$ относительно меры Лебега, то неравенство Грёнвалля можно переписать в виде

u(t)\leq \alpha (t)+\int _{a}^{t}\alpha (s)\beta (s)\exp {\biggl (}\int _{s}^{t}\beta (r)\,\mathrm {d} r{\biggr )}\,\mathrm {d} s,\qquad t\in I.

Если функция $α$ неотрицательна и плотность $β$ функции $µ$ ограничена константой $c$ , то

u(t)\leq \alpha (t)+c\int _{a}^{t}\alpha (s)\exp {\bigl (}c(t-s){\bigr )}\,\mathrm {d} s,\qquad t\in I.

Если при этом неотрицательная функция $α$ не убывает, то

u(t)\leq \alpha (t)+c\alpha (t)\int _{a}^{t}\exp {\bigl (}c(t-s){\bigr )}\,\mathrm {d} s=\alpha (t)\exp(c(t-a)),\qquad t\in I.

Схема доказательства

Доказательство разбито на три этапа. Идея состоит в том, чтобы $n$ раз заменить предполагаемое интегральное неравенство само на себя. В п.1 формулы изобретения это делается с использованием математической индукции. В п.2 перепишем меру симплекса в удобном виде, используя перестановочную инвариантность мер-произведений. На третьем шаге мы переходим к пределу $n$ до бесконечности, чтобы получить желаемый вариант неравенства Грёнвалля.

Подробное доказательство

Утверждение 1. Итерация неравенства

Для любого натурального числа $n,$ включая ноль,

u(t)\leq \alpha (t)+\int _{[a,t)}\alpha (s)\sum _{k=0}^{n-1}\mu ^{\otimes k}(A_{k}(s,t))\,\mu (\mathrm {d} s)+R_{n}(t)

с остатком

R_{n}(t):=\int _{[a,t)}u(s)\mu ^{\otimes n}(A_{n}(s,t))\,\mu (\mathrm {d} s),\qquad t\in I,

где

A_{n}(s,t)=\{(s_{1},\ldots ,s_{n})\in I_{s,t}^{n}\mid s_{1}<s_{2}<\cdots <s_{n}\},\qquad n\geq 1,

является $n$ -мерным симплексом и

\mu ^{\otimes 0}(A_{0}(s,t)):=1.

Доказательство утверждения 1

Мы используем математическую индукцию . При $n = 0$ это всего лишь предполагаемое интегральное неравенство, поскольку пустая сумма определяется как ноль.

Шаг индукции от $n$ до $n + 1$ : Подстановка предполагаемого интегрального неравенства для функции $u$ в остаток дает

R_{n}(t)\leq \int _{[a,t)}\alpha (s)\mu ^{\otimes n}(A_{n}(s,t))\,\mu (\mathrm {d} s)+{\tilde {R}}_{n}(t)

с

{\tilde {R}}_{n}(t):=\int _{[a,t)}{\biggl (}\int _{[a,q)}u(s)\,\mu (\mathrm {d} s){\biggr )}\mu ^{\otimes n}(A_{n}(q,t))\,\mu (\mathrm {d} q),\qquad t\in I.

Используя теорему Фубини–Тонелли для замены двух интегралов, мы получаем

{\tilde {R}}_{n}(t)=\int _{[a,t)}u(s)\underbrace {\int _{(s,t)}\mu ^{\otimes n}(A_{n}(q,t))\,\mu (\mathrm {d} q)} _{=\,\mu ^{\otimes n+1}(A_{n+1}(s,t))}\,\mu (\mathrm {d} s)=R_{n+1}(t),\qquad t\in I.

Следовательно, утверждение 1 доказано для $n + 1$ .

Утверждение 2: Мера симплекса

Для любого натурального числа $n,$ включая ноль, и всех $s < t$ в $I$

\mu ^{\otimes n}(A_{n}(s,t))\leq {\frac {{\bigl (}\mu (I_{s,t}){\bigr )}^{n}}{n!}}

с равенством в случае, когда $\mapsto µ ([a, t])$ непрерывен при $t \in I.$ t

Доказательство утверждения 2

Для $n = 0$ утверждение верно по нашим определениям. Поэтому $учитывайте n \geq 1$ в дальнейшем .

Обозначим через $S n$ множество всех перестановок индексов в ${1, 2, . . . , н$ }. каждой перестановки $σ \in Sn Для$ определим

A_{n,\sigma }(s,t)=\{(s_{1},\ldots ,s_{n})\in I_{s,t}^{n}\mid s_{\sigma (1)}<s_{\sigma (2)}<\cdots <s_{\sigma (n)}\}.

Эти множества не пересекаются при различных перестановках и

\bigcup _{\sigma \in S_{n}}A_{n,\sigma }(s,t)\subset I_{s,t}^{n}.

Поэтому,

\sum _{\sigma \in S_{n}}\mu ^{\otimes n}(A_{n,\sigma }(s,t))\leq \mu ^{\otimes n}{\bigl (}I_{s,t}^{n}{\bigr )}={\bigl (}\mu (I_{s,t}){\bigr )}^{n}.

Поскольку все они имеют одинаковую меру относительно $n$ -кратного произведения $µ$ и существует $n!$ перестановок в $Sn, отсюда следует заявленное$ неравенство.

Предположим теперь, что $\mapsto µ ([a, t])$ непрерывно при $t \in I.$ t Тогда для разных индексов $i, j \in {1, 2, . . . , n$ }, множество

\{(s_{1},\ldots ,s_{n})\in I_{s,t}^{n}\mid s_{i}=s_{j}\}

содержится в гиперплоскости , следовательно, по применению теоремы Фубини его мера относительно $n$ -кратного произведения $µ$ равна нулю. С

I_{s,t}^{n}\subset \bigcup _{\sigma \in S_{n}}A_{n,\sigma }(s,t)\cup \bigcup _{1\leq i<j\leq n}\{(s_{1},\ldots ,s_{n})\in I_{s,t}^{n}\mid s_{i}=s_{j}\},

отсюда следует заявленное равенство.

Доказательство неравенства Грёнвалля.

Для каждого натурального числа $n$ для из утверждения 2 оставшейся части утверждения 1 следует, что

|R_{n}(t)|\leq {\frac {{\bigl (}\mu (I_{a,t}){\bigr )}^{n}}{n!}}\int _{[a,t)}|u(s)|\,\mu (\mathrm {d} s),\qquad t\in I.

По предположению имеем $µ (I a, t) < \infty$ . Следовательно, из предположения интегрируемости относительно $u$ следует, что

\lim _{n\to \infty }R_{n}(t)=0,\qquad t\in I.

Из утверждения 2 и представления показательной функции в ряд следует оценка

\sum _{k=0}^{n-1}\mu ^{\otimes k}(A_{k}(s,t))\leq \sum _{k=0}^{n-1}{\frac {{\bigl (}\mu (I_{s,t}){\bigr )}^{k}}{k!}}\leq \exp {\bigl (}\mu (I_{s,t}){\bigr )}

для всех $s < t$ в $I$ . Если функция $α$ неотрицательна, то достаточно подставить эти результаты в п. 1, чтобы получить приведенный выше вариант неравенства Грёнвалля для функции $u$ .

В случае, когда $t \mapsto µ ([a, t])$ непрерывно при $t \in I$ , утверждение 2 дает

\sum _{k=0}^{n-1}\mu ^{\otimes k}(A_{k}(s,t))=\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {{\bigl (}\mu (I_{s,t}){\bigr )}^{k}}{k!}}\to \exp {\bigl (}\mu (I_{s,t}){\bigr )}\qquad {\text{as }}n\to \infty

а интегрируемость функции $α$ позволяет использовать теорему о доминируемой сходимости для вывода неравенства Грёнвалля.

См. также

Стохастическое неравенство Гронуолла
Логарифмическая норма для версии леммы Гронуолла, которая дает верхнюю и нижнюю границы нормы матрицы перехода состояний.
Неравенство Халане . Неравенство, аналогичное лемме Гронуолла, которое используется для дифференциальных уравнений с запаздыванием.

Ссылки

^ Гронуолл, Томас Х. (1919), «Примечание о производных по параметру решений системы дифференциальных уравнений», Ann. математики. , 20 (2): 292–296, doi : 10.2307/1967124 , JFM 47.0399.02 , JSTOR 1967124 , MR 1502565
^ Беллман, Ричард (1943), «Устойчивость решений линейных дифференциальных уравнений» , Duke Math. Ж. , 10 (4): 643–647, doi : 10.1215/s0012-7094-43-01059-2 , MR 0009408 , Zbl 0061.18502
^ Пачпатте, Б.Г. (1998). Неравенства для дифференциальных и интегральных уравнений . Сан-Диего: Академическая пресса. ISBN 9780080534640 .
^ Этье, Стюард Н.; Курц, Томас Г. (1986), Марковские процессы, характеристика и конвергенция , Нью-Йорк: John Wiley & Sons , стр. 498, ISBN 0-471-08186-8 , МР 0838085 , Збл 0592.60049

Эта статья включает в себя материал из леммы Гронуолла по PlanetMath , которая распространяется по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .

[gronwall-1] Гронуолл, Томас Х. (1919), «Примечание о производных по параметру решений системы дифференциальных уравнений», Ann. математики. , 20 (2): 292–296, doi : 10.2307/1967124 , JFM 47.0399.02 , JSTOR 1967124 , MR 1502565

[2] Беллман, Ричард (1943), «Устойчивость решений линейных дифференциальных уравнений» , Duke Math. Ж. , 10 (4): 643–647, doi : 10.1215/s0012-7094-43-01059-2 , MR 0009408 , Zbl 0061.18502

[3] Пачпатте, Б.Г. (1998). Неравенства для дифференциальных и интегральных уравнений . Сан-Диего: Академическая пресса. ISBN 9780080534640 .

[4] Этье, Стюард Н.; Курц, Томас Г. (1986), Марковские процессы, характеристика и конвергенция , Нью-Йорк: John Wiley & Sons , стр. 498, ISBN 0-471-08186-8 , МР 0838085 , Збл 0592.60049

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]