Стохастическое неравенство Гронуолла

Стохастическое неравенство Гронуолла является обобщением неравенства Гронуолла и использовалось для доказательства корректности зависящих от пути стохастических дифференциальных уравнений с предположением локальной монотонности и коэрцитивности относительно супремума нормы.

Заявление

Позволять $X(t),\,t\geq 0$ быть неотрицательным, непрерывным справа $({\mathcal {F}}_{t})_{t\geq 0}$- адаптированный процесс . Предположим, что $A:[0,\infty )\to [0,\infty )$ представляет собой детерминированную неубывающую càdlàg функцию с $A(0)=0$ и пусть $H(t),\,t\geq 0$ быть неубывающим и адаптированным процессом, начиная с $H(0)\geq 0$. Далее, пусть $M(t),\,t\geq 0$ быть $({\mathcal {F}}_{t})_{t\geq 0}$- локальный мартингейл с $M(0)=0$ и тропы кадлага .

Предположим, что для всех $t\geq 0$,

$X(t)\leq \int _{0}^{t}X^{*}(u^{-})\,dA(u)+M(t)+H(t),$где $X^{*}(u):=\sup _{r\in [0,u]}X(r)$.

и определить $c_{p}={\frac {p^{-p}}{1-p}}$. Тогда для $p\in (0,1)$ и $T>0$:

• Если $\mathbb {E} {\big (}H(T)^{p}{\big )}<\infty$ и $H$ предсказуемо, то $\mathbb {E} \left[\left(X^{*}(T)\right)^{p}{\Big \vert }{\mathcal {F}}_{0}\right]\leq {\frac {c_{p}}{p}}\mathbb {E} \left[(H(T))^{p}{\big \vert }{\mathcal {F}}_{0}\right]\exp \left\lbrace c_{p}^{1/p}A(T)\right\rbrace$;
• Если $\mathbb {E} {\big (}H(T)^{p}{\big )}<\infty$ и $M$ не имеет отрицательных скачков, то $\mathbb {E} \left[\left(X^{*}(T)\right)^{p}{\Big \vert }{\mathcal {F}}_{0}\right]\leq {\frac {c_{p}+1}{p}}\mathbb {E} \left[(H(T))^{p}{\big \vert }{\mathcal {F}}_{0}\right]\exp \left\lbrace (c_{p}+1)^{1/p}A(T)\right\rbrace$;
• Если $\mathbb {E} H(T)<\infty ,$ затем $\displaystyle {\mathbb {E} \left[\left(X^{*}(T)\right)^{p}{\Big \vert }{\mathcal {F}}_{0}\right]\leq {\frac {c_{p}}{p}}\left(\mathbb {E} \left[H(T){\big \vert }{\mathcal {F}}_{0}\right]\right)^{p}\exp \left\lbrace c_{p}^{1/p}A(T)\right\rbrace }$;

Доказательство

Это доказано неравенством Ленгларта .