Неравенство Ленгларта
В математической теории вероятностей неравенство Ленгларта было доказано Эриком Ленглартом в 1977 году. [ 1 ] Более поздние небольшие модификации также называются неравенством Ленгларта.
Заявление
[ редактировать ]Пусть X — неотрицательная непрерывная справа - адаптированный процесс и пусть G — неотрицательный, непрерывный справа неубывающий предсказуемый процесс такой, что для любого ограниченного времени остановки . Затем
![{\displaystyle \mathbb {E} [X(\tau )\mid {\mathcal {F}}_{0}]\leq \mathbb {E} [G(\tau )\mid {\mathcal {F}}_{0}]<\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2334bf2dd64eca932e72a7c348952822b242c246)
![{\displaystyle \forall c,d>0,\mathbb {P} \left(\sup _{t\geq 0}X(t)>c\,{\Big \vert }{\mathcal {F}}_ {0}\right)\leq {\frac {1}{c}}\mathbb {E} \left[\sup _{t\geq 0}G(t)\wedge d\,{\Big \vert }{\mathcal {F}}_{0}\right]+\mathbb {P} \left(\sup _{t\geq 0}G(t)\geq d\, {\Big \vert }{\mathcal {F}}_{0}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d6bc23a5bc23043cf7ef6764ac2bebd4b45e4e9)
![{\displaystyle \forall p\in (0,1),\mathbb {E} \left[\left(\sup _{t\geq 0}X(t)\right)^{p}{\Big \vert }{\mathcal {F}}_{0}\right]\leq c_{p}\mathbb {E} \left[\left(\sup _{t\geq 0}G(t)\right)^{p}{\Big \vert }{\mathcal {F}}_{0}\right],{\text{ где }}c_{p}:={\frac {p^{-p}}{1-p}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfd92224b4db5a6cf6c06a914a37c4ca3ea6e32e)
Ссылки
[ редактировать ]Цитаты
[ редактировать ]- ^ Ленгларт 1977 , Теорема I и Следствие II, стр. 171−179
Общие источники
[ редактировать ]- Гейсс, Сара; Шутцов, Майкл (2021). «Острота неравенства доминирования Ленгларта и резкая монотонная версия». Электронные коммуникации в теории вероятности . 26 : 1–8. arXiv : 2101.10884 . дои : 10.1214/21-ECP413 . S2CID 231709277 .
- Ленгларт, Эрик (1977). «Отношения доминирования между двумя процессами». Анналы Института Анри Пуанкаре Б. 13 (2): 171–179.
- Мехри, Сима; Шутцов, Майкл (2021). «Стохастическая лемма Гронуолла и корректность зависящих от пути СДУ, управляемых мартингальным шумом». Латиноамериканский журнал вероятностей и математической статистики . 18 : 193–209. дои : 10.30757/ALEA.v18-09 . S2CID 201660248 .
- Рен, Яофэн; Шен, Цзин (2012). «Заметка о неравенстве доминирования и его приложениях». Статист. Вероятно. Летт . 82 (6): 1160–1168. дои : 10.1016/j.spl.2012.03.002 .
- Ревуз, Дэниел; Йор, Марк (1999). Непрерывные мартингалы и броуновское движение . Берлин: Шпрингер. ISBN 3-540-64325-7 .