Хорошо поставленная задача
В математике корректной является задача , для которой выполняются следующие свойства: [а]
- У проблемы есть решение
- Решение уникально
- Поведение решения постоянно меняется в зависимости от начальных условий.
Примеры архетипических корректных задач включают задачу Дирихле для уравнения Лапласа и уравнение теплопроводности с заданными начальными условиями. Их можно рассматривать как «естественные» проблемы, поскольку существуют физические процессы, моделируемые этими проблемами.
Проблемы, которые не являются корректными в указанном выше смысле, называются некорректными . Обратные задачи часто бывают некорректными; например, обратное уравнение теплопроводности, выводящее предыдущее распределение температуры из окончательных данных, не является корректным, поскольку решение очень чувствительно к изменениям окончательных данных.
Модели континуума часто необходимо дискретизировать , чтобы получить численное решение. Хотя решения могут быть непрерывными по отношению к начальным условиям, они могут страдать от численной нестабильности при решении с конечной точностью или с ошибками в данных.
Кондиционирование
[ редактировать ]Даже если задача корректна, она все равно может быть плохо обусловленной , то есть небольшая ошибка в исходных данных может привести к гораздо большим ошибкам в ответах. Проблемы нелинейных сложных систем (так называемых хаотических систем) представляют собой хорошо известные примеры неустойчивости. Плохо обусловленная проблема обозначается большим номером обусловленности .
Если задача корректна, то у нее есть хорошие шансы на решение на компьютере с использованием стабильного алгоритма . Если оно некорректно, его необходимо переформулировать для численной обработки. Обычно это предполагает включение дополнительных предположений, таких как гладкость решения. Этот процесс известен как регуляризация . Регуляризация Тихонова — одна из наиболее часто используемых для регуляризации линейных некорректных задач.
Энергетический метод
[ редактировать ]Энергетический метод полезен для установления как единственности, так и непрерывности по отношению к начальным условиям (т.е. он не устанавливает существования).Метод основан на получении верхней оценки энергоподобного функционала для заданной задачи.
Пример :Рассмотрим уравнение диффузии на единичном интервале с однородными граничными условиями Дирихле и подходящими начальными данными (например, для чего ).
Умножьте уравнение к и проинтегрируем в пространстве по единичному интервалу, чтобы получить
Это говорит нам о том, что ( p-норма ) не может расти во времени.Умножая на два и интегрируя по времени, из до , можно найти
Этот результат представляет собой оценку энергии для этой задачи.
Чтобы показать уникальность решений, предположим, что существует два различных решения проблемы, назовем их и , каждый из которых удовлетворяет одним и тем же начальным данным. После определения тогда, исходя из линейности уравнений, находим, что удовлетворяет
Применение оценки энергии говорит нам что подразумевает ( почти везде ).
Аналогично, чтобы показать непрерывность относительно начальных условий, предположим, что и являются решениями, соответствующими различным начальным данным и .Учитывая еще раз обнаруживаешь, что удовлетворяет тем же уравнениям, что и выше, но с . Это приводит к оценке энергии который устанавливает непрерывность (т.е. как и стать ближе, если судить по норма их разницы, то ).
Принцип максимума — это альтернативный подход к установлению единственности и непрерывности решений относительно начальных условий для этого примера.Существование решения этой задачи можно установить с помощью рядов Фурье .
См. также
[ редактировать ]- Спектроскопия полного поглощения - пример обратной задачи или некорректной задачи в реальной ситуации, решаемой с помощью алгоритма ожидания-максимизации.
Примечания
[ редактировать ]- ^ Это определение корректной задачи взято из работы Жака Адамара по математическому моделированию физических явлений .
Ссылки
[ редактировать ]- Адамар, Жак (1902). О задачах в частных производных и их физическом значении . Бюллетень Принстонского университета. стр. 49–52.
- Паркер, Сибил Б., изд. (1989) [1974]. Словарь научных и технических терминов МакГроу-Хилла (4-е изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. ISBN 0-07-045270-9 .
- Тихонов А.Н.; Арсенин В.Ю. (1977). Решения некорректных задач . Нью-Йорк: Уинстон. ISBN 0-470-99124-0 .
- Штраус, Вальтер А. (2008). Уравнения в частных производных; Введение (2-е изд.). Хобокен: Уайли. ISBN 978-0470-05456-7 .