Jump to content

Хорошо поставленная задача

(Перенаправлено с «Хорошая постановка» )

В математике корректной является задача , для которой выполняются следующие свойства: [а]

  1. У проблемы есть решение
  2. Решение уникально
  3. Поведение решения постоянно меняется в зависимости от начальных условий.

Примеры архетипических корректных задач включают задачу Дирихле для уравнения Лапласа и уравнение теплопроводности с заданными начальными условиями. Их можно рассматривать как «естественные» проблемы, поскольку существуют физические процессы, моделируемые этими проблемами.

Проблемы, которые не являются корректными в указанном выше смысле, называются некорректными . Обратные задачи часто бывают некорректными; например, обратное уравнение теплопроводности, выводящее предыдущее распределение температуры из окончательных данных, не является корректным, поскольку решение очень чувствительно к изменениям окончательных данных.

Модели континуума часто необходимо дискретизировать , чтобы получить численное решение. Хотя решения могут быть непрерывными по отношению к начальным условиям, они могут страдать от численной нестабильности при решении с конечной точностью или с ошибками в данных.

Кондиционирование

[ редактировать ]

Даже если задача корректна, она все равно может быть плохо обусловленной , то есть небольшая ошибка в исходных данных может привести к гораздо большим ошибкам в ответах. Проблемы нелинейных сложных систем (так называемых хаотических систем) представляют собой хорошо известные примеры неустойчивости. Плохо обусловленная проблема обозначается большим номером обусловленности .

Если задача корректна, то у нее есть хорошие шансы на решение на компьютере с использованием стабильного алгоритма . Если оно некорректно, его необходимо переформулировать для численной обработки. Обычно это предполагает включение дополнительных предположений, таких как гладкость решения. Этот процесс известен как регуляризация . Регуляризация Тихонова — одна из наиболее часто используемых для регуляризации линейных некорректных задач.

Энергетический метод

[ редактировать ]

Энергетический метод полезен для установления как единственности, так и непрерывности по отношению к начальным условиям (т.е. он не устанавливает существования).Метод основан на получении верхней оценки энергоподобного функционала для заданной задачи.

Пример :Рассмотрим уравнение диффузии на единичном интервале с однородными граничными условиями Дирихле и подходящими начальными данными (например, для чего ).

Умножьте уравнение к и проинтегрируем в пространстве по единичному интервалу, чтобы получить

Это говорит нам о том, что ( p-норма ) не может расти во времени.Умножая на два и интегрируя по времени, из до , можно найти

Этот результат представляет собой оценку энергии для этой задачи.

Чтобы показать уникальность решений, предположим, что существует два различных решения проблемы, назовем их и , каждый из которых удовлетворяет одним и тем же начальным данным. После определения тогда, исходя из линейности уравнений, находим, что удовлетворяет

Применение оценки энергии говорит нам что подразумевает ( почти везде ).

Аналогично, чтобы показать непрерывность относительно начальных условий, предположим, что и являются решениями, соответствующими различным начальным данным и .Учитывая еще раз обнаруживаешь, что удовлетворяет тем же уравнениям, что и выше, но с . Это приводит к оценке энергии который устанавливает непрерывность (т.е. как и стать ближе, если судить по норма их разницы, то ).

Принцип максимума — это альтернативный подход к установлению единственности и непрерывности решений относительно начальных условий для этого примера.Существование решения этой задачи можно установить с помощью рядов Фурье .

См. также

[ редактировать ]

Примечания

[ редактировать ]
  1. ^ Это определение корректной задачи взято из работы Жака Адамара по математическому моделированию физических явлений .
  • Адамар, Жак (1902). О задачах в частных производных и их физическом значении . Бюллетень Принстонского университета. стр. 49–52.
  • Паркер, Сибил Б., изд. (1989) [1974]. Словарь научных и технических терминов МакГроу-Хилла (4-е изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. ISBN  0-07-045270-9 .
  • Тихонов А.Н.; Арсенин В.Ю. (1977). Решения некорректных задач . Нью-Йорк: Уинстон. ISBN  0-470-99124-0 .
  • Штраус, Вальтер А. (2008). Уравнения в частных производных; Введение (2-е изд.). Хобокен: Уайли. ISBN  978-0470-05456-7 .
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 650d418dd3464d970dc7feea2112b943__1703129340
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/65/43/650d418dd3464d970dc7feea2112b943.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Well-posed problem - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)