Интеграл Эйлера

В математике существует два типа интеграла Эйлера : ^[1]

Интеграл Эйлера – первого рода это бета-функция $\mathrm {\mathrm {B} } (z_{1},z_{2})=\int _{0}^{1}t^{z_{1}-1}(1-t)^{z_{2}-1}\,dt={\frac {\Gamma (z_{1})\Gamma (z_{2})}{\Gamma (z_{1}+z_{2})}}$
Интеграл Эйлера второго рода – это гамма-функция ^[2] $\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}\,\mathrm {e} ^{-t}\,dt$

Для положительных целых чисел $m$ и $n$ два интеграла могут быть выражены через факториалы и биномиальные коэффициенты : $\mathrm {B} (n,m)={\frac {(n-1)!(m-1)!}{(n+m-1)!}}={\frac {n+m}{nm{\binom {n+m}{n}}}}=\left({\frac {1}{n}}+{\frac {1}{m}}\right){\frac {1}{\binom {n+m}{n}}}$ $\Gamma (n)=(n-1)!$

См. также

Ссылки

^ Джеффри, Алан; Дай, Хуэй-Хуэй (2008). Справочник математических формул и интегралов (4-е изд.). Амстердам: Elsevier Academic Press. п. 234–235. ISBN 978-0-12-374288-9 . OCLC 180880679 .
^ Янке, Ханс Нильс (2003). История анализа . История математики. Провиденс (Род-Айленд): Американское математическое общество. п. 116-117. ISBN 978-0-8218-2623-2 .

Внешние ссылки и ссылки

Wolfram MathWorld об интеграле Эйлера
Цифровая библиотека математических функций NIST dlmf.nist.gov/5.2.1 (отношение 5.2.1) и dlmf.nist.gov/5.12 (отношение 5.12.1)

Эта статья включает список связанных элементов, имеющих одно и то же имя (или похожие имена).
Если внутренняя ссылка привела вас сюда по ошибке, вы можете изменить ссылку, чтобы она указывала непосредственно на нужную статью.

[1] Джеффри, Алан; Дай, Хуэй-Хуэй (2008). Справочник математических формул и интегралов (4-е изд.). Амстердам: Elsevier Academic Press. п. 234–235. ISBN 978-0-12-374288-9 . OCLC 180880679 .

[2] Янке, Ханс Нильс (2003). История анализа . История математики. Провиденс (Род-Айленд): Американское математическое общество. п. 116-117. ISBN 978-0-8218-2623-2 .

[1]

[2]