Распределение заусенцев

Борт Тип XII

Функция плотности вероятности
Кумулятивная функция распределения
Параметры	$c>0\!$ $k>0\!$
Поддерживать	$x>0\!$
PDF	$ck{\frac {x^{c-1}}{(1+x^{c})^{k+1}}}\!$
CDF	$1-\left(1+x^{c}\right)^{-k}$
Квантиль	$\lambda \left({\frac {1}{(1-U)^{\frac {1}{k}}}}-1\right)^{\frac {1}{c}}$
Иметь в виду	$\mu _{1}=k\operatorname {\mathrm {B} } (k-1/c,\,1+1/c)$ где В() — бета-функция
медиана	$\left(2^{\frac {1}{k}}-1\right)^{\frac {1}{c}}$
Режим	$\left({\frac {c-1}{kc+1}}\right)^{\frac {1}{c}}$
Дисперсия	$-\mu _{1}^{2}+\mu _{2}$
асимметрия	${\frac {2\mu _{1}^{3}-3\mu _{1}\mu _{2}+\mu _{3}}{\left(-\mu _{1}^{2}+\mu _{2}\right)^{3/2}}}$
Избыточный эксцесс	${\frac {-3\mu _{1}^{4}+6\mu _{1}^{2}\mu _{2}-4\mu _{1}\mu _{3}+\mu _{4}}{\left(-\mu _{1}^{2}+\mu _{2}\right)^{2}}}-3$ где моменты ( см .) $\mu _{r}=k\operatorname {\mathrm {B} } \left({\frac {ck-r}{c}},\,{\frac {c+r}{c}}\right)$
CF	$={\frac {c(-it)^{kc}}{\Gamma (k)}}H_{1,2}^{2,1}\!\left[(-it)^{c}\left|{\begin{matrix}(-k,1)\\(0,1),(-kc,c)\end{matrix}}\right.\right],t\neq 0$ $=1,t=0$ где $\Gamma$ это гамма-функция и $H$ — H-функция Фокса .

В теории вероятностей , статистике и эконометрике — распределение Берра типа XII или просто распределение Берра. представляет собой непрерывное распределение вероятностей для неотрицательной случайной величины . Оно также известно как распределение Сингха – Маддалы. и является одним из множества различных распределений, которые иногда называют «обобщенным лог-логистическим распределением ».

Определения

Функция плотности вероятности

Распределение Берра (тип XII) имеет функцию плотности вероятности :

${\begin{aligned}f(x;c,k)&=ck{\frac {x^{c-1}}{(1+x^{c})^{k+1}}}\\[6pt]f(x;c,k,\lambda )&={\frac {ck}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{c-1}\left[1+\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{c}\right]^{-k-1}\end{aligned}}$

The $\lambda$ Параметр масштабирует базовую переменную и является положительным действительным значением.

Кумулятивная функция распределения

Кумулятивная функция распределения :

$F(x;c,k)=1-\left(1+x^{c}\right)^{-k}$

$F(x;c,k,\lambda )=1-\left[1+\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{c}\right]^{-k}$

Приложения

Он чаще всего используется для моделирования доходов домохозяйств , см., например: Доход домохозяйств в США и сравните его с пурпурным графиком справа.

Генерация случайной переменной

Учитывая случайную величину $U$ получено из равномерного распределения в интервале $\left(0,1\right)$, случайная величина

$X=\lambda \left({\frac {1}{\sqrt[{k}]{1-U}}}-1\right)^{1/c}$

имеет распределение Берра типа XII с параметрами $c$, $k$ и $\lambda$. Это следует из приведенной выше обратной кумулятивной функции распределения.

Связанные дистрибутивы

• Когда c = 1, распределение Берра становится распределением Ломакса .

• Когда k = 1, распределение Берра является логарифмически-логистическим распределением, иногда называемым распределением Фиска , частным случаем распределения Чамперноуна .

• Распределение Берра типа XII является членом системы непрерывных распределений, введенной Ирвингом В. Берром (1942), которая включает 12 распределений.

• Распределение Дагума , также известное как обратное распределение Берра, представляет собой распределение 1/ X , где X имеет распределение Берра.

Дальнейшее чтение

• Родригес, Р.Н. (1977). «Руководство по дистрибутивам Burr Type XII» . Биометрика . 64 (1): 129–134. дои : 10.1093/biomet/64.1.129 .

Внешние ссылки

• Джон (16 февраля 2023 г.). «Другие дистрибутивы Берра» . www.johndcook.com .