Стабильное распространение

Не путать со стационарным распространением .

Стабильный

Функция плотности вероятности Симметричный $\alpha$-стабильные распределения с единичным масштабным коэффициентом Асимметричные центрированные стабильные распределения с единичным масштабным коэффициентом
Кумулятивная функция распределения CDF для симметричных $\alpha$-стабильные дистрибутивы CDF для асимметричных центрированных стабильных распределений
Параметры	$\alpha \in (0,2]$ — параметр устойчивости $\beta$ ∈ [−1, 1] — параметр асимметрии (обратите внимание, что асимметрия не определена) c ∈ (0, ∞) — параметр масштаба µ ∈ (−∞, ∞) — параметр местоположения
Поддерживать	x ∈ [ µ , +∞), если $\alpha <1$ и $\beta =1$ x ∈ (-∞, µ ], если $\alpha <1$ и $\beta =-1$ x ∈ R в противном случае
PDF	не выразимо аналитически, за исключением некоторых значений параметров
CDF	не выразимо аналитически, за исключением определенных значений параметров
Иметь в виду	м, когда $\alpha >1$, в противном случае неопределенное
медиана	м, когда $\beta =0$, иначе аналитически не выразимое
Режим	м, когда $\beta =0$, иначе аналитически не выразимое
Дисперсия	2 с 2 когда $\alpha =2$, иначе бесконечно
асимметрия	0 когда $\alpha =2$, в противном случае неопределенное
Избыточный эксцесс	0 когда $\alpha =2$, в противном случае неопределенное
Энтропия	не выразимо аналитически, за исключением определенных значений параметров
МГФ	$\exp \!{\big (}t\mu +c^{2}t^{2}{\big )}$ когда $\alpha =2$, $\exp \!{\big (}t\mu -c^{\alpha }t^{\alpha }\sec(\pi \alpha /2){\big )}$ когда $\alpha \neq 1,\beta =-1,t>0$, $\exp \!{\big (}t\mu -c2\pi ^{-1}t\ln t{\big )}$ когда $\alpha =1,\beta =-1,t>0$, в противном случае не определено
CF	$\exp \!{\Big [}\;it\mu -|c\,t|^{\alpha }\,(1-i\beta \operatorname {sgn}(t)\Phi )\;{\Big ]},$ где $\Phi ={\begin{cases}\tan {\tfrac {\pi \alpha }{2}}&{\text{if }}\alpha \neq 1\\-{\tfrac {2}{\pi }}\log |t|&{\text{if }}\alpha =1\end{cases}}$

В теории вероятностей распределение , называется устойчивым если линейная комбинация двух независимых случайных величин с этим распределением имеет одинаковое распределение с точностью до параметров местоположения и масштаба . Случайная величина называется стабильной , если ее распределение стабильно. Семейство стабильных распределений также иногда называют альфа-стабильным распределением Леви в честь Поля Леви , первого математика, изучившего его.

Из четырех параметров, определяющих семейство, наибольшее внимание было сосредоточено на параметре стабильности, $\alpha$ (см. панель). Стабильные дистрибутивы имеют $0<\alpha \leq 2$, верхняя граница которого соответствует нормальному распределению , и $\alpha =1$ к распределению Коши . Распределения имеют неопределенную дисперсию для $\alpha <2$и неопределенное среднее значение для $\alpha \leq 1$. Важность стабильных распределений вероятностей заключается в том, что они являются « аттракторами » для правильно нормированных сумм независимых и одинаково распределенных ( iid ) случайных величин. Нормальное распределение определяет семейство устойчивых распределений. Согласно классической центральной предельной теореме правильно нормированная сумма набора случайных величин, каждая из которых имеет конечную дисперсию, будет стремиться к нормальному распределению по мере увеличения числа переменных. Без предположения о конечной дисперсии пределом может быть стабильное распределение, которое не является нормальным. Мандельброт назвал такие распределения «стабильными паретианскими распределениями». после Вильфредо Парето . В частности, он имел в виду максимально перекошенных в положительную сторону $1<\alpha <2$ как «распределения Парето – Леви», которые он считал лучшим описанием цен на акции и товары, чем нормальное распределение.

Определение

Невырожденное распределение является устойчивым распределением, если оно удовлетворяет следующему свойству:

Пусть X ₁ и X ₂ — независимые реализации случайной величины X . Тогда X называется стабильным, если для любых констант a > 0 и b > 0 случайная величина aX ₁ + bX ₂ имеет то же распределение, что и cX + d для некоторых констант c > 0 и d . Распределение называется строго устойчивым, если это справедливо при d = 0 .

Поскольку нормальное распределение , распределение Коши и распределение Леви обладают указанным выше свойством, из этого следует, что они являются частными случаями стабильных распределений.

Такие распределения образуют четырехпараметрическое семейство непрерывных распределений вероятностей, параметризованных параметрами местоположения и масштаба µ и c соответственно, а также двумя параметрами формы. $\beta$ и $\alpha$, что примерно соответствует мерам асимметрии и концентрации соответственно (см. рисунки).

Характеристическая функция $\varphi (t)$ любого распределения вероятностей является преобразованием Фурье его функции плотности вероятности $f(x)$. Таким образом, функция плотности является обратным преобразованием Фурье характеристической функции: $$\varphi (t)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{ixt}\,dx.$$

Хотя функцию плотности вероятности для общего устойчивого распределения нельзя записать аналитически, общую характеристическую функцию можно выразить аналитически. Случайная величина X называется стабильной, если ее характеристическая функция может быть записана в виде $$\varphi (t;\alpha ,\beta ,c,\mu )=\exp \left(it\mu -|ct|^{\alpha }\left(1-i\beta \operatorname {sgn}(t)\Phi \right)\right)$$ где sn( t ) это просто знак t и — $$\Phi ={\begin{cases}\tan \left({\frac {\pi \alpha }{2}}\right)&\alpha \neq 1\\-{\frac {2}{\pi }}\log |t|&\alpha =1\end{cases}}$$ µ ∈ R – параметр сдвига, $\beta \in [-1,1]$, называемый параметром асимметрии , является мерой асимметрии. Обратите внимание, что в этом контексте обычная асимметрия не определена четко, как для $\alpha <2$ распределение не допускает 2-го или более высоких моментов , а обычное определение асимметрии - это 3-й центральный момент .

Причина, по которой это дает стабильное распределение, заключается в том, что характеристическая функция суммы двух независимых случайных величин равна произведению двух соответствующих характеристических функций. Добавление двух случайных величин из стабильного распределения дает что-то с одинаковыми значениями $\alpha$ и $\beta$, но возможно разные значения µ и c .

Не каждая функция является характеристической функцией законного распределения вероятностей (то есть той, чья кумулятивная функция распределения действительна и изменяется от 0 до 1 без убывания), но приведенные выше характеристические функции будут законными до тех пор, пока параметры находятся в своих значениях. диапазоны. Значение характеристической функции при некотором значении t является комплексно-сопряженным ее значением при - t, как и должно быть, чтобы функция распределения вероятностей была действительной.

В самом простом случае $\beta =0$характеристическая функция представляет собой просто растянутую показательную функцию ; распределение симметрично относительно μ и называется симметричным альфа-стабильным распределением (Леви) , часто сокращенно SαS .

Когда $\alpha <1$ и $\beta =1$, распределение поддерживается на [ , ∞).

Параметр c > 0 представляет собой масштабный коэффициент, который является мерой ширины распределения, в то время как $\alpha$ является показателем или индексом распределения и определяет асимптотическое поведение распределения.

Параметризации

Параметризация устойчивых распределений не уникальна. Нолан сводит в таблицу 11 параметризаций, встречающихся в литературе, и дает формулы преобразования. Двумя наиболее часто используемыми параметризациями являются приведенная выше («1» Нолана) и расположенная непосредственно ниже («0» Нолана).

Приведенную выше параметризацию проще всего использовать для теоретической работы, но ее плотность вероятности не является непрерывной в параметрах при $\alpha =1$. Непрерывная параметризация, лучше подходящая для численных работ, $$\varphi (t;\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta )=\exp \left(it\delta -|\gamma t|^{\alpha }\left(1-i\beta \operatorname {sgn}(t)\Phi \right)\right)$$ где: $$\Phi ={\begin{cases}\left(|\gamma t|^{1-\alpha }-1\right)\tan \left({\tfrac {\pi \alpha }{2}}\right)&\alpha \neq 1\\-{\frac {2}{\pi }}\log |\gamma t|&\alpha =1\end{cases}}$$

Диапазоны $\alpha$ и $\beta$ такие же, как и раньше, γ (например, c ) должно быть положительным, а δ (например, μ ) должно быть действительным.

В любой параметризации можно выполнить линейное преобразование случайной величины, чтобы получить случайную величину, плотность которой равна $f(y;\alpha ,\beta ,1,0)$. При первой параметризации это делается путем определения новой переменной: $$y={\begin{cases}{\frac {x-\mu }{\gamma }}&\alpha \neq 1\\{\frac {x-\mu }{\gamma }}-\beta {\frac {2}{\pi }}\ln \gamma &\alpha =1\end{cases}}$$

Для второй параметризации просто используйте $$y={\frac {x-\delta }{\gamma }}$$ независимо от $\alpha$. В первой параметризации, если среднее значение существует (т. е. $\alpha >1$) то оно равно µ , тогда как во второй параметризации, когда существует среднее значение, оно равно $\delta -\beta \gamma \tan \left({\tfrac {\pi \alpha }{2}}\right).$

Распределение

Таким образом, стабильное распределение определяется четырьмя вышеуказанными параметрами. Можно показать, что любое невырожденное устойчивое распределение имеет гладкую (бесконечно дифференцируемую) функцию плотности. Если $f(x;\alpha ,\beta ,c,\mu )$ обозначает плотность X , а Y представляет собой сумму независимых копий X : $$Y=\sum _{i=1}^{N}k_{i}(X_{i}-\mu )$$ тогда Y имеет плотность ${\tfrac {1}{s}}f(y/s;\alpha ,\beta ,c,0)$ с $$s=\left(\sum _{i=1}^{N}|k_{i}|^{\alpha }\right)^{\frac {1}{\alpha }}$$

Описано асимптотическое поведение: $\alpha <2$, к: $$f(x)\sim {\frac {1}{|x|^{1+\alpha }}}\left(c^{\alpha }(1+\operatorname {sgn}(x)\beta )\sin \left({\frac {\pi \alpha }{2}}\right){\frac {\Gamma (\alpha +1)}{\pi }}\right)$$ где Γ — гамма-функция (кроме случаев, когда $\alpha \geq 1$ и $\beta =\pm 1$, хвост не исчезает слева или справа соответственно от , хотя приведенное выше выражение равно 0). Такое поведение « тяжелого хвоста » приводит к тому, что дисперсия стабильных распределений становится бесконечной для всех. $\alpha <2$. Это свойство проиллюстрировано на логарифмических графиках ниже.

Когда $\alpha =2$, распределение является гауссовским (см. ниже), с хвостами, асимптотическим к exp(− x ² /4 с ² )/(2 c √ π ).

Одностороннее стабильное распределение и стабильное распределение количества

Когда $\alpha <1$ и $\beta =1$, распределение поддерживается на [ , ∞). Это семейство называется односторонним устойчивым распределением . Его стандартное распределение ( µ = 0) определяется как

$L_{\alpha }(x)=f\left(x;\alpha ,1,\cos \left({\frac {\alpha \pi }{2}}\right)^{1/\alpha },0\right)$, где $\alpha <1.$

Позволять $q=\exp(-i\alpha \pi /2)$, его характеристическая функция $\varphi (t;\alpha )=\exp \left(-q|t|^{\alpha }\right)$. Таким образом, интегральная форма его PDF равна (примечание: $\operatorname {Im} (q)<0$) $${\begin{aligned}L_{\alpha }(x)&={\frac {1}{\pi }}\Re \left[\int _{-\infty }^{\infty }e^{itx}e^{-q|t|^{\alpha }}\,dt\right]\\&={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\infty }e^{-\operatorname {Re} (q)\,t^{\alpha }}\sin(tx)\sin(-\operatorname {Im} (q)\,t^{\alpha })\,dt,{\text{ or }}\\&={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\infty }e^{-{\text{Re}}(q)\,t^{\alpha }}\cos(tx)\cos(\operatorname {Im} (q)\,t^{\alpha })\,dt.\end{aligned}}$$

Интеграл двойного синуса более эффективен для очень малых $x$.

Рассмотрим сумму Леви ${\textstyle Y=\sum _{i=1}^{N}X_{i}}$ где ${\textstyle X_{i}\sim L_{\alpha }(x)}$, то Y имеет плотность ${\textstyle {\frac {1}{\nu }}L_{\alpha }\left({\frac {x}{\nu }}\right)}$ где ${\textstyle \nu =N^{1/\alpha }}$. Набор ${\textstyle x=1}$ чтобы прийти к стабильному распределению количества . Его стандартное распределение определяется как

${\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu )={\frac {\alpha }{\Gamma \left({\frac {1}{\alpha }}\right)}}{\frac {1}{\nu }}L_{\alpha }\left({\frac {1}{\nu }}\right),{\text{ where }}\nu >0{\text{ and }}\alpha <1.$

Стабильное распределение количества является сопряженным априором одностороннего стабильного распределения. Его семейство в масштабе местоположения определяется как

${\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu ;\nu _{0},\theta )={\frac {\alpha }{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }})}}{\frac {1}{\nu -\nu _{0}}}L_{\alpha }\left({\frac {\theta }{\nu -\nu _{0}}}\right),{\text{ where }}\nu >\nu _{0}$, $\theta >0,{\text{ and }}\alpha <1.$

Это также одностороннее распространение, поддерживаемое $[\nu _{0},\infty )$. Параметр местоположения $\nu _{0}$ это место отсечки, а $\theta$ определяет его масштаб.

Когда ${\textstyle \alpha ={\frac {1}{2}}}$, ${\textstyle L_{\frac {1}{2}}(x)}$ — это распределение Леви , которое является обратным гамма-распределением. Таким образом ${\mathfrak {N}}_{\frac {1}{2}}(\nu ;\nu _{0},\theta )$ представляет собой смещённое гамма-распределение формы 3/2 и масштаба $4\theta$,

${\mathfrak {N}}_{\frac {1}{2}}(\nu ;\nu _{0},\theta )={\frac {1}{4{\sqrt {\pi }}\theta ^{3/2}}}(\nu -\nu _{0})^{1/2}e^{-{\frac {\nu -\nu _{0}}{4\theta }}},{\text{ where }}\nu >\nu _{0},\qquad \theta >0.$

Его среднее значение $\nu _{0}+6\theta$ и его стандартное отклонение равно ${\sqrt {24}}\theta$. Предполагается, что VIX распространяется следующим образом: ${\textstyle {\mathfrak {N}}_{\frac {1}{2}}(\nu ;\nu _{0},\theta )}$ с $\nu _{0}=10.4$ и $\theta =1.6$ (См. раздел 7 ). Таким образом, стабильное распределение количества является маргинальным распределением первого порядка процесса волатильности. В этом контексте $\nu _{0}$ называется «нижней волатильностью».

Другой подход к получению стабильного распределения количества состоит в использовании преобразования Лапласа одностороннего стабильного распределения (раздел 2.4 книги). )

$\int _{0}^{\infty }e^{-zx}L_{\alpha }(x)dx=e^{-z^{\alpha }},{\text{ where }}>\alpha <1.$

Позволять $x=1/\nu$, и можно разложить интеграл в левой части как распределение произведений стандартного распределения Лапласа и стандартного стабильного распределения количества:

$\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\nu }}\left({\frac {1}{2}}e^{-{\frac {|z|}{\nu }}}\right)\left({\frac {\alpha }{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }})}}{\frac {1}{\nu }}L_{\alpha }\left({\frac {1}{\nu }}\right)\right)\,d\nu ={\frac {1}{2}}{\frac {\alpha }{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }})}}e^{-|z|^{\alpha }},{\text{ where }}\alpha <1.$

Это называется «лямбда-разложением» (см. раздел 4 ), поскольку правая часть в прежних работах Лина называлась «симметричным лямбда-распределением». Однако у него есть несколько более популярных названий, таких как « экспоненциальное распределение степени » или «обобщенное распределение ошибок/нормальное распределение», часто упоминаемое при $\alpha >1$.

n-й момент ${\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu )$ это $-(n+1)$-й момент $L_{\alpha }(x)$, и все положительные моменты конечны.

Характеристики

• Стабильные распределения бесконечно делимы .
• Стабильными распределениями являются лептокуртотические распределения и распределения с тяжелыми хвостами , за исключением нормального распределения ( $\alpha =2$).
• Стабильные распределения закрыты при свертке .

Стабильные распределения закрыты при свертке при фиксированном значении $\alpha$. Поскольку свертка эквивалентна умножению преобразованной Фурье функции, отсюда следует, что произведение двух стабильных характеристических функций с одинаковыми $\alpha$ даст еще одну такую ​​характеристическую функцию. Произведение двух стабильных характеристических функций определяется выражением: $$\exp \left(it\mu _{1}+it\mu _{2}-|c_{1}t|^{\alpha }-|c_{2}t|^{\alpha }+i\beta _{1}|c_{1}t|^{\alpha }\operatorname {sgn}(t)\Phi +i\beta _{2}|c_{2}t|^{\alpha }\operatorname {sgn}(t)\Phi \right)$$

Поскольку Φ не является функцией µ , c или $\beta$ переменных, из этого следует, что эти параметры для свернутой функции задаются формулой: $${\begin{aligned}\mu &=\mu _{1}+\mu _{2}\\c&=\left(c_{1}^{\alpha }+c_{2}^{\alpha }\right)^{\frac {1}{\alpha }}\\[6pt]\beta &={\frac {\beta _{1}c_{1}^{\alpha }+\beta _{2}c_{2}^{\alpha }}{c_{1}^{\alpha }+c_{2}^{\alpha }}}\end{aligned}}$$

В каждом случае можно показать, что полученные параметры лежат в требуемых интервалах для устойчивого распределения.

Обобщенная центральная предельная теорема

Обобщенная центральная предельная теорема (GCLT) была результатом усилий нескольких математиков ( Берштейна , Линдеберга , Леви , Феллера , Колмогорова и других) в период с 1920 по 1937 год. Первое опубликованное полное доказательство (на французском языке) GCLT было опубликовано в 1937 году Полем Леви . Англоязычная версия полного доказательства GCLT доступна в переводе книги Гнеденко и Колмогорова 1954 года.

Заявление GLCT следующее:

Невырожденная случайная величина Z является α-стабильной для некоторого 0 < α ≤ 2 тогда и только тогда, когда существует независимая, одинаково распределенная последовательность случайных величин X ₁ , X ₂ , X ₃ , ... и констант a _n > 0, bn _ℝ ∈ с

а _п ( Икс ₁ + ... + Икс _п ) - б _п → Z.

Здесь → означает, что последовательность сумм случайных величин сходится по распределению; т. е. соответствующие распределения удовлетворяют F _n ( y ) → F ( y ) во всех точках непрерывности F.

Другими словами, если суммы независимых, одинаково распределенных случайных величин сходятся по распределению к некоторому Z , то Z должно быть стабильным распределением.

Особые случаи

Логарифмический график симметричных центрированных PDF-файлов стабильного распределения, показывающий поведение степенного закона для больших x . О степенном поведении свидетельствует прямолинейный вид PDF при больших x с наклоном, равным $-(\alpha +1)$. (Единственное исключение составляет $\alpha =2$, выделено черным цветом, что соответствует нормальному распределению.)

Логарифмический график асимметричных центрированных PDF-файлов со стабильным распределением, показывающий поведение степенного закона для больших x . И снова наклон линейных участков равен $-(\alpha +1)$

Не существует общего аналитического решения для формы f ( x ). Однако существуют три особых случая, которые могут быть выражены через элементарные функции , что можно увидеть при рассмотрении характеристической функции :

• Для $\alpha =2$ распределение сводится к распределению Гаусса с дисперсией σ ² = 2 с ² и среднее значение ; параметр асимметрии $\beta$ не имеет никакого эффекта.
• Для $\alpha =1$ и $\beta =0$ распределение сводится к распределению Коши с параметром масштаба c и параметром сдвига μ .
• Для $\alpha =1/2$ и $\beta =1$ распределение сводится к распределению Леви с параметром масштаба c и параметром сдвига μ .

Обратите внимание, что три вышеупомянутых распределения также связаны следующим образом: стандартную случайную величину Коши можно рассматривать как смесь гауссовых случайных величин (все с нулевым средним значением), при этом дисперсия получается из стандартного распределения Леви. На самом деле это частный случай более общей теоремы (см. стр. 59 ), что позволяет рассматривать любое симметричное альфа-стабильное распределение таким образом (при этом альфа-параметр распределения смеси равен удвоенному параметру альфа распределения смешивания, а бета-параметр распределения смешивания всегда равен единице).

Общее выражение в замкнутой форме для стабильных PDF-файлов с рациональными значениями $\alpha$ доступен в терминах G-функций Мейера . H-функции Фокса также можно использовать для выражения стабильных функций плотности вероятности. Для простых рациональных чисел выражение в замкнутой форме часто выражается в виде менее сложных специальных функций . Доступно несколько выражений закрытой формы, имеющих довольно простые выражения с точки зрения специальных функций. В таблице ниже PDF-файлы, выражаемые элементарными функциями, обозначены буквой E , а PDF-файлы, выражаемые специальными функциями, обозначены буквой s .

		$\alpha$
		1/3	1/2	2/3	1	4/3	3/2	2
$\beta$	0	с	с	с	И	с	с	И
	1	с	И	с	л		с

Некоторые из особых случаев известны под конкретными именами:

• Для $\alpha =1$ и $\beta =1$, распределение представляет собой распределение Ландау ( L ), которое под этим названием имеет особое применение в физике.
• Для $\alpha =3/2$ и $\beta =0$ распределение сводится к распределению Хольцмарка с параметром масштаба c и параметром сдвига μ .

Кроме того, в пределе, когда c приближается к нулю или когда α приближается к нулю, распределение будет приближаться к дельта-функции Дирака δ ( x − µ ) .

Представление серии

Устойчивое распределение можно переформулировать как действительную часть более простого интеграла: $$f(x;\alpha ,\beta ,c,\mu )={\frac {1}{\pi }}\Re \left[\int _{0}^{\infty }e^{it(x-\mu )}e^{-(ct)^{\alpha }(1-i\beta \Phi )}\,dt\right].$$

Выражая вторую экспоненту в виде ряда Тейлора , это приводит к: $$f(x;\alpha ,\beta ,c,\mu )={\frac {1}{\pi }}\Re \left[\int _{0}^{\infty }e^{it(x-\mu )}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-qt^{\alpha })^{n}}{n!}}\,dt\right]$$ где $q=c^{\alpha }(1-i\beta \Phi )$. Изменение порядка интегрирования и суммирования на обратный и выполнение интегрирования дает: $$f(x;\alpha ,\beta ,c,\mu )={\frac {1}{\pi }}\Re \left[\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-q)^{n}}{n!}}\left({\frac {i}{x-\mu }}\right)^{\alpha n+1}\Gamma (\alpha n+1)\right]$$ которое будет справедливо при x ≠ µ и будет сходиться при соответствующих значениях параметров. (Обратите внимание, что член n = 0, который дает дельта-функцию от x - µ, был опущен.) Выражение первой экспоненты в виде ряда даст другой ряд в положительных степенях x - µ , который обычно менее полезен.

Для одностороннего стабильного распределения приведенное выше разложение ряда необходимо изменить, поскольку $q=\exp(-i\alpha \pi /2)$ и $qi^{\alpha }=1$. Реальной части для суммирования нет. Вместо этого интеграл характеристической функции следует проводить по отрицательной оси, что дает: $${\begin{aligned}L_{\alpha }(x)&={\frac {1}{\pi }}\Re \left[\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-q)^{n}}{n!}}\left({\frac {-i}{x}}\right)^{\alpha n+1}\Gamma (\alpha n+1)\right]\\&={\frac {1}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {-\sin(n(\alpha +1)\pi )}{n!}}\left({\frac {1}{x}}\right)^{\alpha n+1}\Gamma (\alpha n+1)\end{aligned}}$$

Оценка параметров

В дополнение к существующим тестам на нормальность и последующей оценке параметров , Мак-Каллох разработал общий метод, основанный на квантилях, который работает как для симметричных, так и для асимметричных стабильных распределений и параметра устойчивости. $0.5<\alpha \leq 2$.

Моделирование стабильных переменных

Аналитических выражений для обратного не существует. $F^{-1}(x)$ ни CDF $F(x)$ сам по себе, поэтому метод инверсии нельзя использовать для генерации стабильно-распределенных переменных. Другие стандартные подходы, такие как метод отклонения, потребуют утомительных вычислений. Элегантное и эффективное решение было предложено компанией Chambers, Mallows and Stuck (CMS). который заметил, что некоторая интегральная формула получил следующий алгоритм:

• сгенерировать случайную величину $U$ равномерно распределены по $\left(-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right)$ и независимая экспоненциальная случайная величина $W$ со средним 1;
• для $\alpha \neq 1$ вычислить: $$X=\left(1+\zeta ^{2}\right)^{\frac {1}{2\alpha }}{\frac {\sin(\alpha (U+\xi ))}{(\cos(U))^{\frac {1}{\alpha }}}}\left({\frac {\cos(U-\alpha (U+\xi ))}{W}}\right)^{\frac {1-\alpha }{\alpha }},$$
• для $\alpha =1$ вычислить: $$X={\frac {1}{\xi }}\left\{\left({\frac {\pi }{2}}+\beta U\right)\tan U-\beta \log \left({\frac {{\frac {\pi }{2}}W\cos U}{{\frac {\pi }{2}}+\beta U}}\right)\right\},$$ где $$\zeta =-\beta \tan {\frac {\pi \alpha }{2}},\qquad \xi ={\begin{cases}{\frac {1}{\alpha }}\arctan(-\zeta )&\alpha \neq 1\\{\frac {\pi }{2}}&\alpha =1\end{cases}}$$

Этот алгоритм дает случайную величину $X\sim S_{\alpha }(\beta ,1,0)$. Подробное доказательство см.

Смоделировать стабильную случайную величину для всех допустимых значений параметров. $\alpha$, $c$, $\beta$ и $\mu$ используйте следующее свойство: Если $X\sim S_{\alpha }(\beta ,1,0)$ затем $$Y={\begin{cases}cX+\mu &\alpha \neq 1\\cX+{\frac {2}{\pi }}\beta c\log c+\mu &\alpha =1\end{cases}}$$ является $S_{\alpha }(\beta ,c,\mu )$. Для $\alpha =2$ (и $\beta =0$) метод CMS сводится к известному преобразованию Бокса-Мюллера для генерации гауссовских случайных величин. Хотя в литературе предлагались и другие подходы, в том числе применение Бергстрема. и ЛеПейдж При расширении серии метод CMS считается самым быстрым и точным.

Приложения

Стабильные распределения обязаны своей важностью как в теории, так и на практике обобщению центральной предельной теоремы второго (а, возможно, первого) порядка на случайные величины без моментов и сопутствующего самоподобия стабильного семейства. Именно кажущееся отклонение от нормальности наряду с требованием самоподобной модели финансовых данных (т.е. форма распределения годовых изменений цен активов должна напоминать форму распределения составляющих их ежедневных или ежемесячных изменений цен) побудили Бенуа Мандельброта предложить что цены на хлопок следуют альфа-стабильному распределению с $\alpha$ равен 1,7. Распределения Леви часто встречаются при анализе критического поведения и финансовых данных.

Они также встречаются в спектроскопии как общее выражение для спектральной линии, уширенной квазистатически давлением .

Распределение Леви по времени ожидания солнечных вспышек (время между событиями вспышек) было продемонстрировано для CGRO солнечных вспышек в жестком рентгеновском излучении BATSE в декабре 2001 года. Анализ статистической сигнатуры Леви показал, что были очевидны две разные сигнатуры памяти; один связан с солнечным циклом, а второй, происхождение которого, по-видимому, связано с локализованными эффектами или комбинацией локализованных эффектов солнечной активной области.

Другие аналитические случаи

Известен ряд случаев аналитически выразимых устойчивых распределений. Пусть устойчивое распределение выражается выражением $f(x;\alpha ,\beta ,c,\mu )$, затем:

• Распределение Коши определяется выражением $f(x;1,0,1,0).$
• Распределение Леви определяется выражением $f(x;{\tfrac {1}{2}},1,1,0).$
• Нормальное распределение определяется выражением $f(x;2,0,1,0).$
• Позволять $S_{\mu ,\nu }(z)$ быть функцией Ломмеля , тогда: $$f\left(x;{\tfrac {1}{3}},0,1,0\right)=\Re \left({\frac {2e^{-{\frac {i\pi }{4}}}}{3{\sqrt {3}}\pi }}{\frac {1}{\sqrt {x^{3}}}}S_{0,{\frac {1}{3}}}\left({\frac {2e^{\frac {i\pi }{4}}}{3{\sqrt {3}}}}{\frac {1}{\sqrt {x}}}\right)\right)$$
• Позволять $S(x)$ и $C(x)$ обозначим интегралы Френеля , тогда: $$f\left(x;{\tfrac {1}{2}},0,1,0\right)={\frac {1}{\sqrt {2\pi |x|^{3}}}}\left(\sin \left({\tfrac {1}{4|x|}}\right)\left[{\frac {1}{2}}-S\left({\tfrac {1}{\sqrt {2\pi |x|}}}\right)\right]+\cos \left({\tfrac {1}{4|x|}}\right)\left[{\frac {1}{2}}-C\left({\tfrac {1}{\sqrt {2\pi |x|}}}\right)\right]\right)$$
• Позволять $K_{v}(x)$ — модифицированная функция Бесселя второго рода, тогда: $$f\left(x;{\tfrac {1}{3}},1,1,0\right)={\frac {1}{\pi }}{\frac {2{\sqrt {2}}}{3^{\frac {7}{4}}}}{\frac {1}{\sqrt {x^{3}}}}K_{\frac {1}{3}}\left({\frac {4{\sqrt {2}}}{3^{\frac {9}{4}}}}{\frac {1}{\sqrt {x}}}\right)$$
• Позволять ${}_{m}F_{n}$ обозначим гипергеометрические функции , тогда: $${\begin{aligned}f\left(x;{\tfrac {4}{3}},0,1,0\right)&={\frac {3^{\frac {5}{4}}}{4{\sqrt {2\pi }}}}{\frac {\Gamma \left({\tfrac {7}{12}}\right)\Gamma \left({\tfrac {11}{12}}\right)}{\Gamma \left({\tfrac {6}{12}}\right)\Gamma \left({\tfrac {8}{12}}\right)}}{}_{2}F_{2}\left({\tfrac {7}{12}},{\tfrac {11}{12}};{\tfrac {6}{12}},{\tfrac {8}{12}};{\tfrac {3^{3}x^{4}}{4^{4}}}\right)-{\frac {3^{\frac {11}{4}}x^{3}}{4^{3}{\sqrt {2\pi }}}}{\frac {\Gamma \left({\tfrac {13}{12}}\right)\Gamma \left({\tfrac {17}{12}}\right)}{\Gamma \left({\tfrac {18}{12}}\right)\Gamma \left({\tfrac {15}{12}}\right)}}{}_{2}F_{2}\left({\tfrac {13}{12}},{\tfrac {17}{12}};{\tfrac {18}{12}},{\tfrac {15}{12}};{\tfrac {3^{3}x^{4}}{4^{4}}}\right)\\[6pt]f\left(x;{\tfrac {3}{2}},0,1,0\right)&={\frac {\Gamma \left({\tfrac {5}{3}}\right)}{\pi }}{}_{2}F_{3}\left({\tfrac {5}{12}},{\tfrac {11}{12}};{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {5}{6}};-{\tfrac {2^{2}x^{6}}{3^{6}}}\right)-{\frac {x^{2}}{3\pi }}{}_{3}F_{4}\left({\tfrac {3}{4}},1,{\tfrac {5}{4}};{\tfrac {2}{3}},{\tfrac {5}{6}},{\tfrac {7}{6}},{\tfrac {4}{3}};-{\tfrac {2^{2}x^{6}}{3^{6}}}\right)+{\frac {7x^{4}\Gamma \left({\tfrac {4}{3}}\right)}{3^{4}\pi ^{2}}}{}_{2}F_{3}\left({\tfrac {13}{12}},{\tfrac {19}{12}};{\tfrac {7}{6}},{\tfrac {3}{2}},{\tfrac {5}{3}};-{\tfrac {2^{2}x^{6}}{3^{6}}}\right)\end{aligned}}$$ причем последнее является распределением Хольцмарка .
• Позволять $W_{k,\mu }(z)$ быть функцией Уиттекера , тогда: $${\begin{aligned}f\left(x;{\tfrac {2}{3}},0,1,0\right)&={\frac {\sqrt {3}}{6{\sqrt {\pi }}|x|}}\exp \left({\tfrac {2}{27}}x^{-2}\right)W_{-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{6}}}\left({\tfrac {4}{27}}x^{-2}\right)\\[8pt]f\left(x;{\tfrac {2}{3}},1,1,0\right)&={\frac {\sqrt {3}}{{\sqrt {\pi }}|x|}}\exp \left(-{\tfrac {16}{27}}x^{-2}\right)W_{{\frac {1}{2}},{\frac {1}{6}}}\left({\tfrac {32}{27}}x^{-2}\right)\\[8pt]f\left(x;{\tfrac {3}{2}},1,1,0\right)&={\begin{cases}{\frac {\sqrt {3}}{{\sqrt {\pi }}|x|}}\exp \left({\frac {1}{27}}x^{3}\right)W_{{\frac {1}{2}},{\frac {1}{6}}}\left(-{\frac {2}{27}}x^{3}\right)&x<0\\{}\\{\frac {\sqrt {3}}{6{\sqrt {\pi }}|x|}}\exp \left({\frac {1}{27}}x^{3}\right)W_{-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{6}}}\left({\frac {2}{27}}x^{3}\right)&x\geq 0\end{cases}}\end{aligned}}$$

См. также

• полет Леви
• Процесс Леви
• Другие распределения по «степенному закону»
  • Распределение Парето
  • Зета-распределение
  • Дистрибутив Зипфа
  • Распределение Ципфа – Мандельброта
• Финансовые модели с длиннохвостыми распределениями и кластеризацией волатильности
• Многомерное стабильное распределение
• Дискретно-стабильное распределение

Реализации программного обеспечения

• Программа STABLE для Windows доступна на веб-странице стабильных версий Джона Нолана: http://www.robustanasis.com/public/stable.html . Он вычисляет плотность (pdf), кумулятивную функцию распределения (cdf) и квантили для общего стабильного распределения, а также выполняет оценку максимального правдоподобия стабильных параметров и некоторые методы исследовательского анализа данных для оценки соответствия набора данных.
• , Научная библиотека GNU написанная на C, имеет пакет randist , который включает в себя среди распределений Гаусса и Коши также реализацию альфа-стабильного распределения Леви, как с параметром перекоса, так и без него.
• libstable — это реализация C для стабильного дистрибутива pdf, cdf, случайных чисел, квантилей и функций подгонки (вместе с пакетом эталонной репликации и пакетом R).
• R пакета «Стаблдист» , созданный Дитхельмом Вюрцем, Мартином Мехлером и членами основной команды Rmetrics. Вычисляет стабильную плотность, вероятность, квантили и случайные числа.
• Реализация Python находится в scipy.stats.levy_stable в пакете SciPy .
• Джулия предоставляет пакет StableDistributions.jl , который содержит методы генерации, подгонки, плотности вероятности, кумулятивной функции распределения, характеристических и моментных производящих функций, квантильных и связанных с ними функций, свертки и аффинных преобразований устойчивых распределений. Он использует модернизированные алгоритмы, усовершенствованные Джоном П. Ноланом.