Стабильное распределение количества

Стабильный счет

Функция плотности вероятности
Кумулятивная функция распределения
Параметры	$\alpha$ ∈ (0, 1) — параметр устойчивости $\theta$ ∈ (0, ∞) — параметр масштаба $\nu _{0}$ ∈ (−∞, ∞) — параметр местоположения
Поддерживать	х € R и х € [ $\nu _{0}$, ∞)
PDF	${\mathfrak {N}}_{\alpha }(x;\nu _{0},\theta )={\frac {1}{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }}+1)}}{\frac {1}{x-\nu _{0}}}L_{\alpha }({\frac {\theta }{x-\nu _{0}}})$
CDF	целая форма существует
Иметь в виду	${\frac {\Gamma ({\frac {2}{\alpha }})}{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }})}}$
медиана	аналитически не выражаемый
Режим	аналитически не выражаемый
Дисперсия	${\frac {\Gamma ({\frac {3}{\alpha }})}{2\Gamma ({\frac {1}{\alpha }})}}-\left[{\frac {\Gamma ({\frac {2}{\alpha }})}{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }})}}\right]^{2}$
асимметрия	подлежит уточнению
Избыточный эксцесс	подлежит уточнению
МГФ	Представление Фокса-Райта существует

В теории вероятностей устойчивое распределение количества является сопряженным априором одностороннего стабильного распределения . Это распределение было обнаружено Стивеном Лином (китайский: 藺鴻圖) в его исследовании дневных распределений S&P 500 и VIX в 2017 году . Семейство стабильных распределений также иногда называют альфа-стабильным распределением Леви в честь Поля Леви , первого математика, изучившего его.

Из трех параметров, определяющих распределение, параметр устойчивости $\alpha$ является наиболее важным. Стабильные распределения количества имеют $0<\alpha <1$. Известный аналитический случай $\alpha =1/2$ связано с распределением VIX (см. раздел 7 ). Все моменты для распределения конечны.

Определение

Его стандартное распределение определяется как

${\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu )={\frac {1}{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }}+1)}}{\frac {1}{\nu }}L_{\alpha }\left({\frac {1}{\nu }}\right),$

где $\nu >0$ и $0<\alpha <1.$

Его семейство в масштабе местоположения определяется как

${\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu ;\nu _{0},\theta )={\frac {1}{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }}+1)}}{\frac {1}{\nu -\nu _{0}}}L_{\alpha }\left({\frac {\theta }{\nu -\nu _{0}}}\right),$

где $\nu >\nu _{0}$, $\theta >0$, и $0<\alpha <1.$

В приведенном выше выражении $L_{\alpha }(x)$ представляет собой одностороннее стабильное распределение , который определяется следующим образом.

Позволять $X$ — стандартная стабильная случайная величина , распределение которой характеризуется $f(x;\alpha ,\beta ,c,\mu )$, тогда мы имеем

$L_{\alpha }(x)=f(x;\alpha ,1,\cos \left({\frac {\pi \alpha }{2}}\right)^{1/\alpha },0),$

где $0<\alpha <1$.

Рассмотрим сумму Леви $Y=\sum _{i=1}^{N}X_{i}$ где $X_{i}\sim L_{\alpha }(x)$, затем $Y$ имеет плотность ${\textstyle {\frac {1}{\nu }}L_{\alpha }\left({\frac {x}{\nu }}\right)}$ где ${\textstyle \nu =N^{1/\alpha }}$. Набор $x=1$, мы приходим к ${\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu )$ без константы нормировки.

Причину, по которой это распределение называется «стабильным счетом», можно понять из соотношения $\nu =N^{1/\alpha }$. Обратите внимание, что $N$ является «счетом» суммы Леви. Учитывая фиксированное $\alpha$, это распределение дает вероятность принятия $N$ шагов, чтобы преодолеть одну единицу расстояния.

Интегральная форма

На основе интегральной формы $L_{\alpha }(x)$ и $q=\exp(-i\alpha \pi /2)$, мы имеем целую форму ${\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu )$ как

${\begin{aligned}{\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu )&={\frac {2}{\pi \Gamma ({\frac {1}{\alpha }}+1)}}\int _{0}^{\infty }e^{-{\text{Re}}(q)\,t^{\alpha }}{\frac {1}{\nu }}\sin({\frac {t}{\nu }})\sin(-{\text{Im}}(q)\,t^{\alpha })\,dt,{\text{ or }}\\&={\frac {2}{\pi \Gamma ({\frac {1}{\alpha }}+1)}}\int _{0}^{\infty }e^{-{\text{Re}}(q)\,t^{\alpha }}{\frac {1}{\nu }}\cos({\frac {t}{\nu }})\cos({\text{Im}}(q)\,t^{\alpha })\,dt.\\\end{aligned}}$

На основе приведенного выше интеграла двойного синуса это приводит к интегральной форме стандартного CDF:

${\begin{aligned}\Phi _{\alpha }(x)&={\frac {2}{\pi \Gamma ({\frac {1}{\alpha }}+1)}}\int _{0}^{x}\int _{0}^{\infty }e^{-{\text{Re}}(q)\,t^{\alpha }}{\frac {1}{\nu }}\sin({\frac {t}{\nu }})\sin(-{\text{Im}}(q)\,t^{\alpha })\,dt\,d\nu \\&=1-{\frac {2}{\pi \Gamma ({\frac {1}{\alpha }}+1)}}\int _{0}^{\infty }e^{-{\text{Re}}(q)\,t^{\alpha }}\sin(-{\text{Im}}(q)\,t^{\alpha })\,{\text{Si}}({\frac {t}{x}})\,dt,\\\end{aligned}}$

где ${\text{Si}}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx$ – интегральная функция синуса.

Представление Райта

В « Рядном представлении » показано, что устойчивое распределение счетчиков является частным случаем функции Райта (см. раздел 4 ):

${\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu )={\frac {1}{\Gamma \left({\frac {1}{\alpha }}+1\right)}}W_{-\alpha ,0}(-\nu ^{\alpha }),\,{\text{where}}\,\,W_{\lambda ,\mu }(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!\,\Gamma (\lambda n+\mu )}}.$

Это приводит к интегралу Ганкеля: (на основе (1.4.3) )

${\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu )={\frac {1}{\Gamma \left({\frac {1}{\alpha }}+1\right)}}{\frac {1}{2\pi i}}\int _{Ha}e^{t-(\nu t)^{\alpha }}\,dt,\,$где Ha представляет собой контур Ганкеля .

Альтернативный вывод – лямбда-разложение

Другой подход к получению стабильного распределения количества состоит в использовании преобразования Лапласа одностороннего стабильного распределения (раздел 2.4 книги). )

$\int _{0}^{\infty }e^{-zx}L_{\alpha }(x)\,dx=e^{-z^{\alpha }},$где $0<\alpha <1$.

Позволять $x=1/\nu$, и можно разложить интеграл в левой части как распределение произведений стандартного распределения Лапласа и стандартного стабильного распределения счетчиков:

${\frac {1}{2}}{\frac {1}{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }}+1)}}e^{-|z|^{\alpha }}=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\nu }}\left({\frac {1}{2}}e^{-|z|/\nu }\right)\left({\frac {1}{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }}+1)}}{\frac {1}{\nu }}L_{\alpha }\left({\frac {1}{\nu }}\right)\right)\,d\nu =\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\nu }}\left({\frac {1}{2}}e^{-|z|/\nu }\right){\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu )\,d\nu ,$

где $z\in {\mathsf {R}}$.

Это называется «лямбда-разложением» (см. раздел 4 ), поскольку в прежних работах Лина LHS называлось «симметричным лямбда-распределением». Однако у него есть несколько более популярных названий, таких как « экспоненциальное распределение степени » или «обобщенное распределение ошибок/нормальное распределение», часто упоминаемое при $\alpha >1$. Это также функция выживания Вейбулла в технике надежности .

Лямбда-разложение является основой концепции Лина о доходности активов в соответствии со стабильным законом. LHS – это распределение доходности активов. На правой шкале распределение Лапласа представляет собой лепкуртотический шум, а распределение стабильного количества представляет волатильность.

Стабильное распределение Vol

Вариант стабильного распределения количества называется стабильным распределением объема. $V_{\alpha }(s)$. Преобразование Лапласа $e^{-|z|^{\alpha }}$ может быть перевыражено через гауссову смесь $V_{\alpha }(s)$ (См. раздел 6 ).Он получается из приведенного выше лямбда-разложения путем замены переменной так, что

${\frac {1}{2}}{\frac {1}{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }}+1)}}e^{-|z|^{\alpha }}={\frac {1}{2}}{\frac {1}{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }}+1)}}e^{-(z^{2})^{\alpha /2}}=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{s}}\left({\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}(z/s)^{2}}\right)V_{\alpha }(s)\,ds,$

где

${\begin{aligned}V_{\alpha }(s)&=\displaystyle {\frac {{\sqrt {2\pi }}\,\Gamma ({\frac {2}{\alpha }}+1)}{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }}+1)}}\,{\mathfrak {N}}_{\frac {\alpha }{2}}(2s^{2}),\,\,0<\alpha \leq 2\\&=\displaystyle {\frac {\sqrt {2\pi }}{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }}+1)}}\,W_{-{\frac {\alpha }{2}},0}\left(-{({\sqrt {2}}s)}^{\alpha }\right)\end{aligned}}$

Это преобразование называется обобщенной трансмутацией Гаусса, поскольку оно обобщает преобразование Гаусса-Лапласа , что эквивалентно $V_{1}(s)=2{\sqrt {2\pi }}\,{\mathfrak {N}}_{\frac {1}{2}}(2s^{2})=s\,e^{-s^{2}/2}$.

Подключение к гамма-распределениям и распределениям Пуассона

Параметр формы гамма-распределений и распределений Пуассона связан с обратным параметром устойчивости Леви. $1/\alpha$. Верхняя регуляризованная гамма-функция $Q(s,x)$ можно выразить как неполный интеграл от $e^{-{u^{\alpha }}}$ как

$$Q({\frac {1}{\alpha }},z^{\alpha })={\frac {1}{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }}+1)}}\displaystyle \int _{z}^{\infty }e^{-{u^{\alpha }}}\,du.$$

Заменив $e^{-{u^{\alpha }}}$ с разложением и проведением одного интеграла имеем:

$$Q({\frac {1}{\alpha }},z^{\alpha })=\displaystyle \int _{z}^{\infty }\,du\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\nu }}\left(e^{-u/\nu }\right)\,{\mathfrak {N}}_{\alpha }\left(\nu \right)\,d\nu =\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left(e^{-z/\nu }\right)\,{\mathfrak {N}}_{\alpha }\left(\nu \right)\,d\nu .$$

Возврат $({\frac {1}{\alpha }},z^{\alpha })$ вернуться к $(s,x)$, мы приходим к разложению $Q(s,x)$ в плане стабильного подсчета:

$$Q(s,x)=\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{\left(-{x^{s}}/{\nu }\right)}\,{\mathfrak {N}}_{{1}/{s}}\left(\nu \right)\,d\nu .\,\,(s>1)$$

Дифференцировать $Q(s,x)$ к $x$, придем к искомой формуле:

${\begin{aligned}{\frac {1}{\Gamma (s)}}x^{s-1}e^{-x}&=\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\nu }}\left[s\,x^{s-1}e^{\left(-{x^{s}}/{\nu }\right)}\right]\,{\mathfrak {N}}_{{1}/{s}}\left(\nu \right)\,d\nu \\&=\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{t}}\left[s\,{\left({\frac {x}{t}}\right)}^{s-1}e^{-{\left(x/t\right)}^{s}}\right]\,\left[{\mathfrak {N}}_{{1}/{s}}\left(t^{s}\right)\,s\,t^{s-1}\right]\,dt\,\,\,(\nu =t^{s})\\&=\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{t}}\,{\text{Weibull}}\left({\frac {x}{t}};s\right)\,\left[{\mathfrak {N}}_{{1}/{s}}\left(t^{s}\right)\,s\,t^{s-1}\right]\,dt\end{aligned}}$

Это в форме распределения продукта . Термин $\left[s\,{\left({\frac {x}{t}}\right)}^{s-1}e^{-{\left(x/t\right)}^{s}}\right]$ в правой части связана с распределением Вейбулла формы $s$. Следовательно, эта формула связывает устойчивое распределение количества с функцией плотности вероятности гамма-распределения ( здесь ) и функцией массы вероятности распределения Пуассона здесь ( $s\rightarrow s+1$). И параметр формы $s$ можно рассматривать как обратную величину параметра устойчивости Леви $1/\alpha$.

Связь с распределениями Хи и Хи-квадрат

Степени свободы $k$ в распределениях хи и хи-квадрат можно показать, что они связаны с $2/\alpha$. Отсюда и первоначальная идея просмотра $\lambda =2/\alpha$ здесь оправдан целочисленный индекс в лямбда-разложении.

Для распределения хи-квадрат это просто, поскольку распределение хи-квадрат является частным случаем гамма-распределения , в котором $\chi _{k}^{2}\sim {\text{Gamma}}\left({\frac {k}{2}},\theta =2\right)$. А сверху параметр формы гамма-распределения равен $1/\alpha$.

Что касается распределения хи , мы начинаем с его CDF. $P\left({\frac {k}{2}},{\frac {x^{2}}{2}}\right)$, где $P(s,x)=1-Q(s,x)$. Дифференцировать $P\left({\frac {k}{2}},{\frac {x^{2}}{2}}\right)$ к $x$ , мы имеем функцию плотности как

${\begin{aligned}\chi _{k}(x)={\frac {x^{k-1}e^{-x^{2}/2}}{2^{{\frac {k}{2}}-1}\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}&=\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\nu }}\left[2^{-{\frac {k}{2}}}\,k\,x^{k-1}e^{\left(-2^{-{\frac {k}{2}}}\,{x^{k}}/{\nu }\right)}\right]\,{\mathfrak {N}}_{\frac {2}{k}}\left(\nu \right)\,d\nu \\&=\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{t}}\left[k\,{\left({\frac {x}{t}}\right)}^{k-1}e^{-{\left(x/t\right)}^{k}}\right]\,\left[{\mathfrak {N}}_{\frac {2}{k}}\left(2^{-{\frac {k}{2}}}t^{k}\right)\,2^{-{\frac {k}{2}}}\,k\,t^{k-1}\right]\,dt,\,\,\,(\nu =2^{-{\frac {k}{2}}}t^{k})\\&=\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{t}}\,{\text{Weibull}}\left({\frac {x}{t}};k\right)\,\left[{\mathfrak {N}}_{\frac {2}{k}}\left(2^{-{\frac {k}{2}}}t^{k}\right)\,2^{-{\frac {k}{2}}}\,k\,t^{k-1}\right]\,dt\end{aligned}}$

Эта формула связывает $2/k$ с $\alpha$ через ${\mathfrak {N}}_{\frac {2}{k}}\left(\cdot \right)$ срок.

Подключение к обобщенным гамма-распределениям

Обобщенное гамма-распределение представляет собой распределение вероятностей с двумя параметрами формы и представляет собой супермножество гамма -распределения , распределения Вейбулла , экспоненциального распределения и полунормального распределения . Его CDF имеет форму $P(s,x^{c})=1-Q(s,x^{c})$.(Примечание: мы используем $s$ вместо $a$ для единообразия и во избежание путаницы с $\alpha$.)Дифференцировать $P(s,x^{c})$ к $x$, мы приходим к формуле распределения продукта:

${\begin{aligned}{\text{GenGamma}}(x;s,c)&=\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{t}}\,{\text{Weibull}}\left({\frac {x}{t}};sc\right)\,\left[{\mathfrak {N}}_{\frac {1}{s}}\left(t^{sc}\right)\,sc\,t^{sc-1}\right]\,dt\,\,(s\geq 1)\end{aligned}}$

где ${\text{GenGamma}}(x;s,c)$ обозначает PDF обобщенного гамма-распределения, CDF которого параметризован как $P(s,x^{c})$. Эта формула связывает $1/s$ с $\alpha$ через ${\mathfrak {N}}_{\frac {1}{s}}\left(\cdot \right)$ срок. $sc$ термин представляет собой показатель степени, представляющий вторую степень свободы в пространстве параметров формы.

Эта формула является сингулярной для случая распределения Вейбулла, поскольку $s$ должен быть один для ${\text{GenGamma}}(x;1,c)={\text{Weibull}}(x;c)$;но для ${\mathfrak {N}}_{\frac {1}{s}}\left(\nu \right)$ существовать, $s$ должно быть больше единицы. Когда $s\rightarrow 1$, ${\mathfrak {N}}_{\frac {1}{s}}\left(\nu \right)$ является дельта-функцией, и эта формула становится тривиальной.Распределение Вейбулла имеет свой особый способ разложения следующим образом.

Подключение к дистрибутиву Weibull

Для распределения Вейбулла, CDF которого равен $F(x;k,\lambda )=1-e^{-(x/\lambda )^{k}}\,\,(x>0)$, его параметр формы $k$ эквивалентно параметру устойчивости Леви $\alpha$.

Можно получить аналогичное выражение распределения продукта, например, ядром является либо одностороннее распределение Лапласа $F(x;1,\sigma )$ или распределение Рэлея $F(x;2,{\sqrt {2}}\sigma )$. Он начинается с дополнительного CDF, который получается в результате лямбда-разложения :

$1-F(x;k,1)={\begin{cases}\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\nu }}\,(1-F(x;1,\nu ))\left[\Gamma \left({\frac {1}{k}}+1\right){\mathfrak {N}}_{k}(\nu )\right]\,d\nu ,&1\geq k>0;{\text{or }}\\\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{s}}\,(1-F(x;2,{\sqrt {2}}s))\left[{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\,\Gamma \left({\frac {1}{k}}+1\right)V_{k}(s)\right]\,ds,&2\geq k>0.\end{cases}}$

Взяв производную от $x$, мы получаем форму распределения продуктов распределения Вейбулла PDF ${\text{Weibull}}(x;k)$ как

${\text{Weibull}}(x;k)={\begin{cases}\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\nu }}\,{\text{Laplace}}({\frac {x}{\nu }})\left[\Gamma \left({\frac {1}{k}}+1\right){\frac {1}{\nu }}{\mathfrak {N}}_{k}(\nu )\right]\,d\nu ,&1\geq k>0;{\text{or }}\\\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{s}}\,{\text{Rayleigh}}({\frac {x}{s}})\left[{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\,\Gamma \left({\frac {1}{k}}+1\right){\frac {1}{s}}V_{k}(s)\right]\,ds,&2\geq k>0.\end{cases}}$

где ${\text{Laplace}}(x)=e^{-x}$ и ${\text{Rayleigh}}(x)=xe^{-x^{2}/2}$.ясно, что $k=\alpha$ из ${\mathfrak {N}}_{k}(\nu )$ и $V_{k}(s)$ условия.

Асимптотические свойства

Для стабильного семейства распределений важно понять его асимптотическое поведение. От, для маленьких $\nu$,

${\begin{aligned}{\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu )&\rightarrow B(\alpha )\,\nu ^{\alpha },{\text{ for }}\nu \rightarrow 0{\text{ and }}B(\alpha )>0.\\\end{aligned}}$

Это подтверждает ${\mathfrak {N}}_{\alpha }(0)=0$.

Для больших $\nu$,

${\begin{aligned}{\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu )&\rightarrow \nu ^{\frac {\alpha }{2(1-\alpha )}}e^{-A(\alpha )\,\nu ^{\frac {\alpha }{1-\alpha }}},{\text{ for }}\nu \rightarrow \infty {\text{ and }}A(\alpha )>0.\\\end{aligned}}$

Это показывает, что хвост ${\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu )$ экспоненциально затухает на бесконечности. Чем больше $\alpha$ то есть, тем сильнее распад.

Этот хвост имеет форму обобщенного гамма-распределения , где в его $f(x;a,d,p)$ параметризация, $p={\frac {\alpha }{1-\alpha }}$, $a=A(\alpha )^{-1/p}$, и $d=1+{\frac {p}{2}}$. Следовательно, это эквивалентно ${\text{GenGamma}}({\frac {x}{a}};s={\frac {1}{\alpha }}-{\frac {1}{2}},c=p)$, CDF которого параметризован как $P\left(s,\left({\frac {x}{a}}\right)^{c}\right)$.

Моменты

n -й момент $m_{n}$ из ${\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu )$ это $-(n+1)$-й момент $L_{\alpha }(x)$. Все положительные моменты конечны. Это в некотором смысле решает сложную проблему расхождения моментов в стабильном распределении. (См. раздел 2.4 )

${\begin{aligned}m_{n}&=\int _{0}^{\infty }\nu ^{n}{\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu )d\nu ={\frac {1}{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }}+1)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{t^{n+1}}}L_{\alpha }(t)\,dt.\\\end{aligned}}$

Аналитическое решение моментов получается через функцию Райта:

${\begin{aligned}m_{n}&={\frac {1}{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }}+1)}}\int _{0}^{\infty }\nu ^{n}W_{-\alpha ,0}(-\nu ^{\alpha })\,d\nu \\&={\frac {\Gamma ({\frac {n+1}{\alpha }})}{\Gamma (n+1)\Gamma ({\frac {1}{\alpha }})}},\,n\geq -1.\\\end{aligned}}$

где $\int _{0}^{\infty }r^{\delta }W_{-\nu ,\mu }(-r)\,dr={\frac {\Gamma (\delta +1)}{\Gamma (\nu \delta +\nu +\mu )}},\,\delta >-1,0<\nu <1,\mu >0.$(См. (1.4.28) )

Таким образом, среднее значение ${\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu )$ является

$m_{1}={\frac {\Gamma ({\frac {2}{\alpha }})}{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }})}}$

Дисперсия

$\sigma ^{2}={\frac {\Gamma ({\frac {3}{\alpha }})}{2\Gamma ({\frac {1}{\alpha }})}}-\left[{\frac {\Gamma ({\frac {2}{\alpha }})}{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }})}}\right]^{2}$

И самый низкий момент $m_{-1}={\frac {1}{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }}+1)}}$ применяя $\Gamma ({\frac {x}{y}})\to y\Gamma (x)$ когда $x\to 0$.

n -й момент устойчивого распределения объема $V_{\alpha }(s)$ является

${\begin{aligned}m_{n}(V_{\alpha })&=2^{-{\frac {n}{2}}}{\sqrt {\pi }}\,{\frac {\Gamma ({\frac {n+1}{\alpha }})}{\Gamma ({\frac {n+1}{2}})\Gamma ({\frac {1}{\alpha }})}},\,n\geq -1.\end{aligned}}$

Функция генерации момента

MGF может быть выражен функцией Фокса-Райта или H-функцией Фокса :

${\begin{aligned}M_{\alpha }(s)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {m_{n}\,s^{n}}{n!}}={\frac {1}{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }})}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Gamma ({\frac {n+1}{\alpha }})\,s^{n}}{\Gamma (n+1)^{2}}}\\&={\frac {1}{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }})}}{}_{1}\Psi _{1}\left[({\frac {1}{\alpha }},{\frac {1}{\alpha }});(1,1);s\right],\,\,{\text{or}}\\&={\frac {1}{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }})}}H_{1,2}^{1,1}\left[-s{\bigl |}{\begin{matrix}(1-{\frac {1}{\alpha }},{\frac {1}{\alpha }})\\(0,1);(0,1)\end{matrix}}\right]\\\end{aligned}}$

В качестве проверки в $\alpha ={\frac {1}{2}}$, $M_{\frac {1}{2}}(s)=(1-4s)^{-{\frac {3}{2}}}$ (см. ниже) можно расширить по Тейлору до ${}_{1}\Psi _{1}\left[(2,2);(1,1);s\right]=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Gamma (2n+2)\,s^{n}}{\Gamma (n+1)^{2}}}$ с помощью $\Gamma ({\frac {1}{2}}-n)={\sqrt {\pi }}{\frac {(-4)^{n}n!}{(2n)!}}$.

Известный аналитический случай - стабильный счет четвертой степени

Когда $\alpha ={\frac {1}{2}}$, $L_{1/2}(x)$ — это распределение Леви , которое является обратным гамма-распределением. Таким образом ${\mathfrak {N}}_{1/2}(\nu ;\nu _{0},\theta )$ представляет собой смещённое гамма-распределение формы 3/2 и масштаба $4\theta$,

${\mathfrak {N}}_{\frac {1}{2}}(\nu ;\nu _{0},\theta )={\frac {1}{4{\sqrt {\pi }}\theta ^{3/2}}}(\nu -\nu _{0})^{1/2}e^{-(\nu -\nu _{0})/4\theta },$

где $\nu >\nu _{0}$, $\theta >0$.

Его среднее значение $\nu _{0}+6\theta$ и его стандартное отклонение равно ${\sqrt {24}}\theta$. Это называется «четвертичное стабильное распределение количества». Слово «квартика» происходит от прежней работы Лина по лямбда-распределению. где $\lambda =2/\alpha =4$. В таких условиях многие аспекты стабильного распределения количества имеют элегантные аналитические решения.

p -ые центральные моменты равны ${\frac {2\Gamma (p+3/2)}{\Gamma (3/2)}}4^{p}\theta ^{p}$. CDF – это ${\textstyle {\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\gamma \left({\frac {3}{2}},{\frac {\nu -\nu _{0}}{4\theta }}\right)}$ где $\gamma (s,x)$ — нижняя неполная гамма-функция . И МГФ есть $M_{\frac {1}{2}}(s)=e^{s\nu _{0}}(1-4s\theta )^{-{\frac {3}{2}}}$. (См. раздел 3 )

Особый случай, когда α → 1

Как $\alpha$ становится больше, пик распределения становится острее. Особый случай ${\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu )$ это когда $\alpha \rightarrow 1$. Распределение ведет себя как дельта-функция Дирака :

${\mathfrak {N}}_{\alpha \to 1}(\nu )\to \delta (\nu -1),$

где $\delta (x)={\begin{cases}\infty ,&{\text{if }}x=0\\0,&{\text{if }}x\neq 0\end{cases}}$, и $\int _{0_{-}}^{0_{+}}\delta (x)dx=1$.

Аналогично, стабильное распределение объемов при $\alpha \to 2$ также становится дельта-функцией,

$V_{\alpha \to 2}(s)\to \delta (s-{\frac {1}{\sqrt {2}}}).$

Представление серии

На основании серийного представления одностороннего устойчивого распределения имеем:

${\begin{aligned}{\mathfrak {N}}_{\alpha }(x)&={\frac {1}{\pi \Gamma ({\frac {1}{\alpha }}+1)}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {-\sin(n(\alpha +1)\pi )}{n!}}{x}^{\alpha n}\Gamma (\alpha n+1)\\&={\frac {1}{\pi \Gamma ({\frac {1}{\alpha }}+1)}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}\sin(n\alpha \pi )}{n!}}{x}^{\alpha n}\Gamma (\alpha n+1)\\\end{aligned}}$.

Это представление серии имеет две интерпретации:

• Впервые подобная форма этого ряда была дана Поллардом (1948): и в « Отношении к функции Миттаг-Леффлера » утверждается, что ${\mathfrak {N}}_{\alpha }(x)={\frac {\alpha ^{2}x^{\alpha }}{\Gamma \left({\frac {1}{\alpha }}\right)}}H_{\alpha }(x^{\alpha }),$ где $H_{\alpha }(k)$ — преобразование Лапласа функции Миттаг-Леффлера. $E_{\alpha }(-x)$ .
• Во-вторых, этот ряд является частным случаем функции Райта $W_{\lambda ,\mu }(z)$: (См. раздел 1.4 )

${\begin{aligned}{\mathfrak {N}}_{\alpha }(x)&={\frac {1}{\pi \Gamma ({\frac {1}{\alpha }}+1)}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}{x}^{\alpha n}}{n!}}\,\sin((\alpha n+1)\pi )\Gamma (\alpha n+1)\\&={\frac {1}{\Gamma \left({\frac {1}{\alpha }}+1\right)}}W_{-\alpha ,0}(-x^{\alpha }),\,{\text{where}}\,\,W_{\lambda ,\mu }(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!\,\Gamma (\lambda n+\mu )}},\lambda >-1.\\\end{aligned}}$

Доказательство получено с помощью формулы отражения гамма-функции: $\sin((\alpha n+1)\pi )\Gamma (\alpha n+1)=\pi /\Gamma (-\alpha n)$, допускающий отображение: $\lambda =-\alpha ,\mu =0,z=-x^{\alpha }$ в $W_{\lambda ,\mu }(z)$. Представление Райта приводит к аналитическим решениям для многих статистических свойств устойчивого распределения количества и устанавливает еще одну связь с дробным исчислением.

Приложения

Стабильное распределение количества может достаточно хорошо отражать ежедневное распределение VIX. Предполагается, что VIX распространяется следующим образом: ${\mathfrak {N}}_{\frac {1}{2}}(\nu ;\nu _{0},\theta )$ с $\nu _{0}=10.4$ и $\theta =1.6$ (См. раздел 7 ). Таким образом, стабильное распределение количества является маргинальным распределением первого порядка процесса волатильности. В этом контексте $\nu _{0}$ называется «нижней волатильностью». На практике VIX редко опускается ниже 10. Это явление оправдывает концепцию «минимальной волатильности». Пример подгонки показан ниже:

Ежедневное распределение VIX и соответствие стабильному количеству

Одна из форм СДУ с возвратом к среднему для ${\mathfrak {N}}_{\frac {1}{2}}(\nu ;\nu _{0},\theta )$ основан на модифицированной модели Кокса-Ингерсолла-Росса (CIR) . Предполагать $S_{t}$ это процесс волатильности, мы имеем

$dS_{t}={\frac {\sigma ^{2}}{8\theta }}(6\theta +\nu _{0}-S_{t})\,dt+\sigma {\sqrt {S_{t}-\nu _{0}}}\,dW,$

где $\sigma$ это так называемый «вол из вол». «Объем объема» для VIX называется VVIX , типичное значение которого составляет около 85.

Это СДУ аналитически разрешимо и удовлетворяет условию Феллера , таким образом $S_{t}$ никогда бы не опустился ниже $\nu _{0}$. Но между теорией и практикой есть тонкая проблема. Вероятность того, что VIX действительно опустился ниже, составляла около 0,6%. $\nu _{0}$. Это называется «перелив». Чтобы решить эту проблему, можно заменить квадратный корень на ${\sqrt {\max(S_{t}-\nu _{0},\delta \nu _{0})}}$, где $\delta \nu _{0}\approx 0.01\,\nu _{0}$ обеспечивает небольшой канал утечки для $S_{t}$ дрейфовать немного ниже $\nu _{0}$.

Чрезвычайно низкие значения индекса VIX указывают на очень самодовольный рынок. Таким образом, условие перелива, $S_{t}<\nu _{0}$, имеет определенное значение. Когда это происходит, это обычно указывает на затишье перед бурей в деловом цикле.

Генерация случайных величин

Как показывает приведенная выше модифицированная модель CIR, она принимает еще один входной параметр. $\sigma$ для моделирования последовательностей стабильных случайных величин. Случайный процесс, возвращающий среднее значение, принимает форму

$dS_{t}=\sigma ^{2}\mu _{\alpha }\left({\frac {S_{t}}{\theta }}\right)\,dt+\sigma {\sqrt {S_{t}}}\,dW,$

который должен производить $\{S_{t}\}$ который распределяется как ${\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu ;\theta )$ как $t\rightarrow \infty$. И $\sigma$ это определяемое пользователем предпочтение того, насколько быстро $S_{t}$ должно измениться.

Решив уравнение Фоккера-Планка , решение для $\mu _{\alpha }(x)$ с точки зрения ${\mathfrak {N}}_{\alpha }(x)$ является

${\begin{array}{lcl}\mu _{\alpha }(x)&=&\displaystyle {\frac {1}{2}}{\frac {\left(x{d \over dx}+1\right){\mathfrak {N}}_{\alpha }(x)}{{\mathfrak {N}}_{\alpha }(x)}}\\&=&\displaystyle {\frac {1}{2}}\left[x{d \over dx}\left(\log {\mathfrak {N}}_{\alpha }(x)\right)+1\right]\end{array}}$

Его также можно записать как отношение двух функций Райта:

${\begin{array}{lcl}\mu _{\alpha }(x)&=&\displaystyle -{\frac {1}{2}}{\frac {W_{-\alpha ,-1}(-x^{\alpha })}{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }}+1)\,{\mathfrak {N}}_{\alpha }(x)}}\\&=&\displaystyle -{\frac {1}{2}}{\frac {W_{-\alpha ,-1}(-x^{\alpha })}{W_{-\alpha ,0}(-x^{\alpha })}}\end{array}}$

Когда $\alpha =1/2$, этот процесс сводится к модифицированной модели CIR, где $\mu _{1/2}(x)={\frac {1}{8}}(6-x)$. Это единственный частный случай, когда $\mu _{\alpha }(x)$ представляет собой прямую линию.

Аналогично, если асимптотическое распределение $V_{\alpha }(s)$ как $t\rightarrow \infty$,тот $\mu _{\alpha }(x)$ решение, обозначенное как $\mu (x;V_{\alpha })$ ниже, это

${\begin{array}{lcl}\mu (x;V_{\alpha })&=&\displaystyle -{\frac {W_{-{\frac {\alpha }{2}},-1}(-{({\sqrt {2}}x)}^{\alpha })}{W_{-{\frac {\alpha }{2}},0}(-{({\sqrt {2}}x)}^{\alpha })}}-{\frac {1}{2}}\end{array}}$

Когда $\alpha =1$, он сводится к квадратичному многочлену: $\mu (x;V_{1})=1-{\frac {x^{2}}{2}}$.

Стабильное расширение модели CIR

Ослабляя жесткие отношения между $\sigma ^{2}$ срок и $\sigma$ термин выше,стабильное расширение модели CIR можно построить как

$dr_{t}=a\,\left[{\frac {8b}{6}}\,\mu _{\alpha }\left({\frac {6}{b}}r_{t}\right)\right]\,dt+\sigma {\sqrt {r_{t}}}\,dW,$

которая сведена к исходной модели CIRв $\alpha =1/2$: $dr_{t}=a\left(b-r_{t}\right)dt+\sigma {\sqrt {r_{t}}}\,dW$. Следовательно, параметр $a$ контролирует скорость возврата к среднему значению, параметр местоположения $b$ устанавливает среднее значение, $\sigma$ параметр волатильности, и $\alpha$ – параметр формы устойчивого закона.

Решив уравнение Фоккера-Планка , решение PDF $p(x)$ в $r_{\infty }$ является

${\begin{array}{lcl}p(x)&\propto &\displaystyle \exp \left[\int ^{x}{\frac {dx}{x}}\left(2D\,\mu _{\alpha }\left({\frac {6}{b}}x\right)-1\right)\right],{\text{ where }}D={\frac {4ab}{3\sigma ^{2}}}\\&=&\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\alpha }\left({\frac {6}{b}}x\right)^{D}\,x^{D-1}\end{array}}$

Чтобы понять смысл этого решения, рассмотрим асимптотически для больших $x$, $p(x)$хвост все еще имеет форму обобщенного гамма-распределения , где в своем $f(x;a',d,p)$ параметризация, $p={\frac {\alpha }{1-\alpha }}$, $a'={\frac {b}{6}}(D\,A(\alpha ))^{-1/p}$, и $d=D\left(1+{\frac {p}{2}}\right)$. Она уменьшена до исходной модели CIR.в $\alpha =1/2$ где $p(x)\propto x^{d-1}e^{-x/a'}$ с $d={\frac {2ab}{\sigma ^{2}}}$ и $A(\alpha )={\frac {1}{4}}$; следовательно ${\frac {1}{a'}}={\frac {6}{b}}\left({\frac {D}{4}}\right)={\frac {2a}{\sigma ^{2}}}$.

Дробное исчисление

Связь с функцией Миттаг-Леффлера

Из раздела 4, обратное преобразование Лапласа $H_{\alpha }(k)$ функции Миттаг -Леффлера $E_{\alpha }(-x)$ является ( $k>0$)

$H_{\alpha }(k)={\mathcal {L}}^{-1}\{E_{\alpha }(-x)\}(k)={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\infty }E_{2\alpha }(-t^{2})\cos(kt)\,dt.$

С другой стороны, Поллард (1948) дал следующее соотношение:

$H_{\alpha }(k)={\frac {1}{\alpha }}{\frac {1}{k^{1+1/\alpha }}}L_{\alpha }\left({\frac {1}{k^{1/\alpha }}}\right).$

Таким образом, $k=\nu ^{\alpha }$, мы получаем связь между устойчивым распределением счетчиков и функцией Миттаг-Леффтера:

${\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu )={\frac {\alpha ^{2}\nu ^{\alpha }}{\Gamma \left({\frac {1}{\alpha }}\right)}}H_{\alpha }(\nu ^{\alpha }).$

Это соотношение можно быстро проверить на $\alpha ={\frac {1}{2}}$ где $H_{\frac {1}{2}}(k)={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\,e^{-k^{2}/4}$ и $k^{2}=\nu$. Это приводит к хорошо известному результату стабильного подсчета четвертой степени :

${\mathfrak {N}}_{\frac {1}{2}}(\nu )={\frac {\nu ^{1/2}}{4\,\Gamma (2)}}\times {\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\,e^{-\nu /4}={\frac {1}{4\,{\sqrt {\pi }}}}\nu ^{1/2}\,e^{-\nu /4}.$

Связь с дробным по времени уравнением Фоккера-Планка

Обычное уравнение Фоккера-Планка (УФУ) имеет вид ${\frac {\partial P_{1}(x,t)}{\partial t}}=K_{1}\,{\tilde {L}}_{FP}P_{1}(x,t)$, где ${\tilde {L}}_{FP}={\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {F(x)}{T}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}$ — космический оператор Фоккера-Планка, $K_{1}$ коэффициент диффузии , $T$ это температура, и $F(x)$ является внешним полем. Дробный по времени FPE вводит дополнительную дробную производную $\,_{0}D_{t}^{1-\alpha }$ такой, что ${\frac {\partial P_{\alpha }(x,t)}{\partial t}}=K_{\alpha }\,_{0}D_{t}^{1-\alpha }{\tilde {L}}_{FP}P_{\alpha }(x,t)$, где $K_{\alpha }$ – дробный коэффициент диффузии.

Позволять $k=s/t^{\alpha }$ в $H_{\alpha }(k)$, мы получаем ядро ​​для дробного по времени FPE (уравнение (16) )

$n(s,t)={\frac {1}{\alpha }}{\frac {t}{s^{1+1/\alpha }}}L_{\alpha }\left({\frac {t}{s^{1/\alpha }}}\right)$

откуда фракционная плотность $P_{\alpha }(x,t)$ можно вычислить из обычного решения $P_{1}(x,t)$ с помощью

$P_{\alpha }(x,t)=\int _{0}^{\infty }n\left({\frac {s}{K}},t\right)\,P_{1}(x,s)\,ds,{\text{ where }}K={\frac {K_{\alpha }}{K_{1}}}.$

С $n({\frac {s}{K}},t)\,ds=\Gamma \left({\frac {1}{\alpha }}+1\right){\frac {1}{\nu }}\,{\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu ;\theta =K^{1/\alpha })\,d\nu$ через замену переменной $\nu t=s^{1/\alpha }$, приведенный выше интеграл становится распределением продукта с ${\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu )$, аналогично концепции « лямбда-разложения » и масштабированию времени $t\Rightarrow (\nu t)^{\alpha }$:

$P_{\alpha }(x,t)=\Gamma \left({\frac {1}{\alpha }}+1\right)\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\nu }}\,{\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu ;\theta =K^{1/\alpha })\,P_{1}(x,(\nu t)^{\alpha })\,d\nu .$

Здесь ${\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu ;\theta =K^{1/\alpha })$ интерпретируется как распределение примеси, выраженное в единицах $K^{1/\alpha }$, что вызывает аномальную диффузию .

См. также

• полет Леви
• Процесс Леви
• Дробное исчисление
• Аномальная диффузия
• Неполная гамма-функция и гамма-распределение
• Распределение Пуассона

Внешние ссылки

• R пакета «Стаблдист» , созданный Дитхельмом Вюрцем, Мартином Мехлером и членами основной команды Rmetrics. Вычисляет стабильную плотность, вероятность, квантили и случайные числа. Обновлено 12 сентября 2016 г.