Дискретно-стабильное распределение

Дискретно -устойчивые распределения представляют собой класс вероятностных распределений , обладающий тем свойством, что сумма нескольких случайных величин из такого распределения при соответствующем масштабировании распределяется согласно одному и тому же семейству. Они являются дискретным аналогом непрерывно-устойчивых распределений .

Дискретно-стабильные распределения использовались во многих областях, в частности в безмасштабных сетях, таких как Интернет , социальные сети. или даже семантические сети .

И дискретные, и непрерывные классы стабильного распределения обладают такими свойствами, как бесконечная делимость , степенные хвосты и унимодальность .

Наиболее известным дискретным стабильным распределением является распределение Пуассона , которое представляет собой частный случай. Это единственное дискретно-устойчивое распределение, для которого среднее значение и все моменты высшего порядка конечны.

Определение

Определены дискретно-устойчивые распределения через их функцию, генерирующую вероятность

$G(s|\nu ,a)=\sum _{n=0}^{\infty }P(N|\nu ,a)(1-s)^{N}=\exp(-as^{\nu }).$

В приведенном выше $a>0$ является параметром масштаба и $0<\nu \leq 1$ описывает степенное поведение, такое, что когда $0<\nu <1$,

$\lim _{N\to \infty }P(N|\nu ,a)\sim {\frac {1}{N^{\nu +1}}}.$

Когда $\nu =1$ распределение становится знакомым распределением Пуассона со средним значением $a$.

Характеристическая функция дискретно-устойчивого распределения имеет вид:

$\varphi (t;a,\nu )=\exp \left[a\left(e^{it}-1\right)^{\nu }\right]$, с $a>0$ и $0<\nu \leq 1$.

Опять же, когда $\nu =1$ распределение становится распределением Пуассона со средним значением $a$.

Исходное распределение восстанавливается повторным дифференцированием производящей функции:

$P(N|\nu ,a)=\left.{\frac {(-1)^{N}}{N!}}{\frac {d^{N}G(s|\nu ,a)}{ds^{N}}}\right|_{s=1}.$

Выражение в замкнутой форме с использованием элементарных функций для распределения вероятностей дискретно-устойчивых распределений неизвестно, за исключением случая Пуассона, в котором

$\!P(N|\nu =1,a)={\frac {a^{N}e^{-a}}{N!}}.$

Однако выражения существуют, используя специальные функции для случая $\nu =1/2$ (в терминах функций Бесселя ) и $\nu =1/3$ (в терминах гипергеометрических функций ).

Как составные распределения вероятностей

Весь класс дискретно-устойчивых распределений может быть сформирован как составные распределения Пуассона , где среднее значение $\lambda$, распределения Пуассона определяется как случайная величина с функцией плотности вероятности (PDF). Когда PDF среднего представляет собой одностороннее непрерывное устойчивое распределение с параметром устойчивости $0<\alpha <1$ и параметр масштабирования $c$ результирующее распределение дискретно-стабильный с индексом $\nu =\alpha$ и параметр масштабирования $a=c\sec(\alpha \pi /2)$.

Формально это пишется:

$P(N|\alpha ,c\sec(\alpha \pi /2))=\int _{0}^{\infty }P(N|1,\lambda )p(\lambda ;\alpha ,1,c,0)\,d\lambda$

где $p(x;\alpha ,1,c,0)$ это PDF-файл одностороннего непрерывно-стабильного распределения с параметром симметрии $\beta =1$ и параметр местоположения $\mu =0$.

Более общий результат утверждает, что формирование составного распределения из любого дискретно-устойчивого распределения с индексом $\nu$ с односторонним непрерывно-устойчивым распределением с индексом $\alpha$ приводит к дискретно-устойчивому распределению с индексом $\nu \cdot \alpha$, уменьшая степенной индекс исходного распределения в раз $\alpha$.

Другими словами,

$P(N|\nu \cdot \alpha ,c\sec(\pi \alpha /2))=\int _{0}^{\infty }P(N|\alpha ,\lambda )p(\lambda ;\nu ,1,c,0)\,d\lambda .$

В пределе Пуассона

В пределе $\nu \rightarrow 1$дискретно-устойчивые распределения ведут себя как распределение Пуассона со средним значением $a\sec(\nu \pi /2)$ для маленьких $N$, однако для $N\gg 1$, степенной хвост доминирует.

Сходимость случайных величин iid со степенными хвостами $P(N)\sim 1/N^{1+\nu }$ к дискретно-стабильному распределению происходит чрезвычайно медленно когда $\nu \approx 1$ - пределом является распределение Пуассона, когда $\nu >1$ и $P(N|\nu ,a)$ когда $\nu \leq 1$.

См. также

• Стабильное распространение
• Распределение Пуассона

Дальнейшее чтение

• Феллер, В. (1971) Введение в теорию вероятностей и ее приложения , том 2. Уайли. ISBN   0-471-25709-5
• Гнеденко Б.В.; Колмогоров А.Н. (1954). Предельные распределения сумм независимых случайных величин . Аддисон-Уэсли.
• Ибрагимов И.; Линник, Ю (1971). Независимые и стационарные последовательности случайных величин . Издательство Wolters-Noordhoff, Гронинген, Нидерланды.