Многомерное распределение Парето

В статистике многомерное распределение Парето является многомерным расширением одномерного распределения Парето .

Существует несколько различных типов одномерных распределений Парето, включая типы Парето I-IV и Феллера-Парето . Для многих из этих типов были определены многомерные распределения Парето.

Двумерные распределения Парето

Двумерное распределение Парето первого рода

Мардия (1962) определило двумерное распределение с кумулятивной функцией распределения (CDF), заданной формулой

$F(x_{1},x_{2})=1-\sum _{i=1}^{2}\left({\frac {x_{i}}{\theta _{i}}}\right)^{-a}+\left(\sum _{i=1}^{2}{\frac {x_{i}}{\theta _{i}}}-1\right)^{-a},\qquad x_{i}>\theta _{i}>0,i=1,2;a>0,$

и функция плотности суставов

$f(x_{1},x_{2})=(a+1)a(\theta _{1}\theta _{2})^{a+1}(\theta _{2}x_{1}+\theta _{1}x_{2}-\theta _{1}\theta _{2})^{-(a+2)},\qquad x_{i}\geq \theta _{i}>0,i=1,2;a>0.$

Маргинальные распределения относятся к типу 1 по Парето с функциями плотности.

$f(x_{i})=a\theta _{i}^{a}x_{i}^{-(a+1)},\qquad x_{i}\geq \theta _{i}>0,i=1,2.$

Средние значения и дисперсии предельных распределений равны

$E[X_{i}]={\frac {a\theta _{i}}{a-1}},a>1;\quad Var(X_{i})={\frac {a\theta _{i}^{2}}{(a-1)^{2}(a-2)}},a>2;\quad i=1,2,$

а для a > 2 X ₁ и X ₂ положительно коррелируют с

$\operatorname {cov} (X_{1},X_{2})={\frac {\theta _{1}\theta _{2}}{(a-1)^{2}(a-2)}},{\text{ and }}\operatorname {cor} (X_{1},X_{2})={\frac {1}{a}}.$

Двумерное распределение Парето второго рода

Арнольд предлагает представлять двумерный дополнительный CDF Парето типа I как

${\overline {F}}(x_{1},x_{2})=\left(1+\sum _{i=1}^{2}{\frac {x_{i}-\theta _{i}}{\theta _{i}}}\right)^{-a},\qquad x_{i}>\theta _{i},i=1,2.$

Если параметру местоположения и масштаба разрешено различаться, дополнительный CDF

${\overline {F}}(x_{1},x_{2})=\left(1+\sum _{i=1}^{2}{\frac {x_{i}-\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{-a},\qquad x_{i}>\mu _{i},i=1,2,$

который имеет одномерное предельное распределение Парето типа II. назвал это распределение многомерным распределением Парето типа II . Арнольд (Это определение не эквивалентно двумерному распределению Парето Мардиа второго рода.)

Для a > 1 предельные средние равны

$E[X_{i}]=\mu _{i}+{\frac {\sigma _{i}}{a-1}},\qquad i=1,2,$

а при а > 2 дисперсии, ковариации и корреляции такие же, как и для многомерной Парето первого рода.

Многомерные распределения Парето

Многомерное распределение Парето первого рода.

Мардии Многомерное распределение Парето первого рода имеет совместную функцию плотности вероятности, определяемую выражением

$f(x_{1},\dots ,x_{k})=a(a+1)\cdots (a+k-1)\left(\prod _{i=1}^{k}\theta _{i}\right)^{-1}\left(\sum _{i=1}^{k}{\frac {x_{i}}{\theta _{i}}}-k+1\right)^{-(a+k)},\qquad x_{i}>\theta _{i}>0,a>0,\qquad (1)$

Маргинальные распределения имеют ту же форму, что и (1), а одномерные маргинальные распределения имеют распределение Парето типа I. Дополнительный CDF

${\overline {F}}(x_{1},\dots ,x_{k})=\left(\sum _{i=1}^{k}{\frac {x_{i}}{\theta _{i}}}-k+1\right)^{-a},\qquad x_{i}>\theta _{i}>0,i=1,\dots ,k;a>0.\quad (2)$

Предельные средние значения и дисперсии определяются выражением

$E[X_{i}]={\frac {a\theta _{i}}{a-1}},{\text{ for }}a>1,{\text{ and }}Var(X_{i})={\frac {a\theta _{i}^{2}}{(a-1)^{2}(a-2)}},{\text{ for }}a>2.$

Если a > 2, ковариации и корреляции положительны с

$\operatorname {cov} (X_{i},X_{j})={\frac {\theta _{i}\theta _{j}}{(a-1)^{2}(a-2)}},\qquad \operatorname {cor} (X_{i},X_{j})={\frac {1}{a}},\qquad i\neq j.$

Многомерное распределение Парето второго рода.

Арнольд предлагает представлять многомерный дополнительный CDF Парето типа I как

${\overline {F}}(x_{1},\dots ,x_{k})=\left(1+\sum _{i=1}^{k}{\frac {x_{i}-\theta _{i}}{\theta _{i}}}\right)^{-a},\qquad x_{i}>\theta _{i}>0,\quad i=1,\dots ,k.$

Если параметру местоположения и масштаба разрешено различаться, дополнительный CDF

${\overline {F}}(x_{1},\dots ,x_{k})=\left(1+\sum _{i=1}^{k}{\frac {x_{i}-\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{-a},\qquad x_{i}>\mu _{i},\quad i=1,\dots ,k,\qquad (3)$

который имеет однотипные маргинальные распределения (3) и одномерные маргинальные распределения Парето типа II . назвал это распределение многомерным распределением Парето типа II . Арнольд

Для a > 1 предельные средние равны

$E[X_{i}]=\mu _{i}+{\frac {\sigma _{i}}{a-1}},\qquad i=1,\dots ,k,$

а при а > 2 дисперсии, ковариации и корреляции такие же, как и для многомерной Парето первого рода.

Многомерное распределение Парето четвертого рода.

Случайный вектор X имеет k -мерное многомерное распределение Парето четвертого рода. если его совместная функция выживания равна

${\overline {F}}(x_{1},\dots ,x_{k})=\left(1+\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {x_{i}-\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{1/\gamma _{i}}\right)^{-a},\qquad x_{i}>\mu _{i},\sigma _{i}>0,i=1,\dots ,k;a>0.\qquad (4)$

k ) имеют тот же тип , ₁ -мерные маргинальные распределения ( k ₁ < k что и (4), а одномерные маргинальные распределения относятся к типу Парето IV.

Многомерное распределение Феллера – Парето

Случайный вектор X имеет k -мерное распределение Феллера – Парето, если

$X_{i}=\mu _{i}+(W_{i}/Z)^{\gamma _{i}},\qquad i=1,\dots ,k,\qquad (5)$

где

$W_{i}\sim \Gamma (\beta _{i},1),\quad i=1,\dots ,k,\qquad Z\sim \Gamma (\alpha ,1),$

являются независимыми гамма-переменными. Маргинальные распределения и условные распределения однотипны (5); то есть это многомерные распределения Феллера – Парето. Одномерные маргинальные распределения имеют тип Феллера-Парето .