Комплексное нормальное распределение

Сложный нормальный

Параметры	$\mathbf {\mu } \in \mathbb {C} ^{n}$ - расположение $\Gamma \in \mathbb {C} ^{n\times n}$ — ковариационная матрица ( положительная полуопределенная матрица ) $C\in \mathbb {C} ^{n\times n}$ — матрица отношений ( комплексная симметричная матрица )
Поддерживать	$\mathbb {C} ^{n}$
PDF	сложно, см. текст
Иметь в виду	$\mathbf {\mu }$
Режим	$\mathbf {\mu }$
Дисперсия	$\Gamma$
CF	$\exp \!{\big \{}i\operatorname {Re} ({\overline {w}}'\mu )-{\tfrac {1}{4}}{\big (}{\overline {w}}'\Gamma w+\operatorname {Re} ({\overline {w}}'C{\overline {w}}){\big )}{\big \}}$

В теории вероятностей семейство комплексных нормальных распределений , обозначаемое ${\mathcal {CN}}$ или ${\mathcal {N}}_{\mathcal {C}}$, характеризует комплексные случайные величины , действительная и мнимая части которых совместно нормальны . Комплексное нормальное семейство имеет три параметра: местоположения параметр μ , ковариационная матрица. $\Gamma$и отношений матрица $C$. Стандартная комплексная норма – это одномерное распределение с $\mu =0$, $\Gamma =1$, и $C=0$.

Важный подкласс комплексного нормального семейства называется циклически-симметричным (центральным) комплексным нормалем и соответствует случаю нулевой матрицы отношений и нулевого среднего: $\mu =0$ и $C=0$. Этот случай широко используется в обработке сигналов его иногда называют просто комплексным нормальным , где в литературе .

Определения

Комплексная стандартная нормальная случайная величина

Стандартная комплексная нормальная случайная величина или стандартная комплексная гауссова случайная величина является комплексной случайной величиной. $Z$ чьи действительная и мнимая части являются независимыми нормально распределенными случайными величинами со средним нулевым значением и дисперсией $1/2$. Формально,

$Z\sim {\mathcal {CN}}(0,1)\quad \iff \quad \Re (Z)\perp \!\!\!\perp \Im (Z){\text{ and }}\Re (Z)\sim {\mathcal {N}}(0,1/2){\text{ and }}\Im (Z)\sim {\mathcal {N}}(0,1/2)$ ( Уравнение 1 )

где $Z\sim {\mathcal {CN}}(0,1)$ означает, что $Z$ — стандартная комплексная нормальная случайная величина.

Комплексная нормальная случайная величина

Предполагать $X$ и $Y$ являются действительными случайными величинами такими, что $(X,Y)^{\mathrm {T} }$ — двумерный нормальный случайный вектор . Тогда комплексная случайная величина $Z=X+iY$ называется комплексной нормальной случайной величиной или комплексной гауссовой случайной величиной .

$Z{\text{ complex normal random variable}}\quad \iff \quad (\Re (Z),\Im (Z))^{\mathrm {T} }{\text{ real normal random vector}}$ ( Уравнение 2 )

Комплексный стандартный нормальный случайный вектор

n-мерный комплексный случайный вектор $\mathbf {Z} =(Z_{1},\ldots ,Z_{n})^{\mathrm {T} }$ представляет собой комплексный стандартный нормальный случайный вектор или комплексный стандартный гауссовский случайный вектор, если его компоненты независимы и все они являются стандартными комплексными нормальными случайными величинами, как определено выше. Что $\mathbf {Z}$ – стандартный комплексный нормальный случайный вектор, обозначается $\mathbf {Z} \sim {\mathcal {CN}}(0,{\boldsymbol {I}}_{n})$.

$\mathbf {Z} \sim {\mathcal {CN}}(0,{\boldsymbol {I}}_{n})\quad \iff (Z_{1},\ldots ,Z_{n}){\text{ independent}}{\text{ and for }}1\leq i\leq n:Z_{i}\sim {\mathcal {CN}}(0,1)$ ( Уравнение 3 )

Комплексный нормальный случайный вектор

Если $\mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{n})^{\mathrm {T} }$ и $\mathbf {Y} =(Y_{1},\ldots ,Y_{n})^{\mathrm {T} }$ являются случайными векторами в $\mathbb {R} ^{n}$ такой, что $[\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]$ — нормальный случайный вектор с $2n$ компоненты. Тогда мы говорим, что комплексный случайный вектор

$\mathbf {Z} =\mathbf {X} +i\mathbf {Y} \,$

— комплексный нормальный случайный вектор или комплексный гауссовский случайный вектор .

$\mathbf {Z} {\text{ complex normal random vector}}\quad \iff \quad (\Re (\mathbf {Z} ^{\mathrm {T} }),\Im (\mathbf {Z} ^{\mathrm {T} }))^{\mathrm {T} }=(\Re (Z_{1}),\ldots ,\Re (Z_{n}),\Im (Z_{1}),\ldots ,\Im (Z_{n}))^{\mathrm {T} }{\text{ real normal random vector}}$ ( Уравнение 4 )

Среднее значение, ковариация и отношение

Сложное распределение Гаусса можно описать тремя параметрами:

$\mu =\operatorname {E} [\mathbf {Z} ],\quad \Gamma =\operatorname {E} [(\mathbf {Z} -\mu )({\mathbf {Z} }-\mu )^{\mathrm {H} }],\quad C=\operatorname {E} [(\mathbf {Z} -\mu )(\mathbf {Z} -\mu )^{\mathrm {T} }],$

где $\mathbf {Z} ^{\mathrm {T} }$ обозначает матрицы транспонирование $\mathbf {Z}$, и $\mathbf {Z} ^{\mathrm {H} }$ обозначает сопряженное транспонирование .

Здесь параметр местоположения $\mu$ — n-мерный комплексный вектор; ковариационная матрица $\Gamma$ является эрмитовым и неотрицательно определенным ; и матрица отношений или матрица псевдоковариации $C$ является симметричным . Комплексный нормальный случайный вектор $\mathbf {Z}$ теперь можно обозначить как $$\mathbf {Z} \ \sim \ {\mathcal {CN}}(\mu ,\ \Gamma ,\ C).$$Более того, матрицы $\Gamma$ и $C$ таковы, что матрица

$P={\overline {\Gamma }}-{C}^{\mathrm {H} }\Gamma ^{-1}C$

также неотрицательно определен, где ${\overline {\Gamma }}$ обозначает комплексно-сопряженное число $\Gamma$.

Отношения между ковариационными матрицами

Основная статья: Комплексный случайный вектор § Ковариационная матрица и псевдоковариационная матрица

Как и для любого комплексного случайного вектора, матрицы $\Gamma$ и $C$ могут быть связаны с ковариационными матрицами $\mathbf {X} =\Re (\mathbf {Z} )$ и $\mathbf {Y} =\Im (\mathbf {Z} )$ через выражения

${\begin{aligned}&V_{XX}\equiv \operatorname {E} [(\mathbf {X} -\mu _{X})(\mathbf {X} -\mu _{X})^{\mathrm {T} }]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Re} [\Gamma +C],\quad V_{XY}\equiv \operatorname {E} [(\mathbf {X} -\mu _{X})(\mathbf {Y} -\mu _{Y})^{\mathrm {T} }]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Im} [-\Gamma +C],\\&V_{YX}\equiv \operatorname {E} [(\mathbf {Y} -\mu _{Y})(\mathbf {X} -\mu _{X})^{\mathrm {T} }]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Im} [\Gamma +C],\quad \,V_{YY}\equiv \operatorname {E} [(\mathbf {Y} -\mu _{Y})(\mathbf {Y} -\mu _{Y})^{\mathrm {T} }]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Re} [\Gamma -C],\end{aligned}}$

и наоборот

${\begin{aligned}&\Gamma =V_{XX}+V_{YY}+i(V_{YX}-V_{XY}),\\&C=V_{XX}-V_{YY}+i(V_{YX}+V_{XY}).\end{aligned}}$

Функция плотности

Функцию плотности вероятности для комплексного нормального распределения можно вычислить как

${\begin{aligned}f(z)&={\frac {1}{\pi ^{n}{\sqrt {\det(\Gamma )\det(P)}}}}\,\exp \!\left\{-{\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}({\overline {z}}-{\overline {\mu }})^{\intercal },&(z-\mu )^{\intercal }\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\Gamma &C\\{\overline {C}}&{\overline {\Gamma }}\end{pmatrix}}^{\!\!-1}\!{\begin{pmatrix}z-\mu \\{\overline {z}}-{\overline {\mu }}\end{pmatrix}}\right\}\\[8pt]&={\tfrac {\sqrt {\det \left({\overline {P^{-1}}}-R^{\ast }P^{-1}R\right)\det(P^{-1})}}{\pi ^{n}}}\,e^{-(z-\mu )^{\ast }{\overline {P^{-1}}}(z-\mu )+\operatorname {Re} \left((z-\mu )^{\intercal }R^{\intercal }{\overline {P^{-1}}}(z-\mu )\right)},\end{aligned}}$

где $R=C^{\mathrm {H} }\Gamma ^{-1}$ и $P={\overline {\Gamma }}-RC$.

Характеристическая функция

Характеристическая функция комплексного нормального распределения определяется выражением

$\varphi (w)=\exp \!{\big \{}i\operatorname {Re} ({\overline {w}}'\mu )-{\tfrac {1}{4}}{\big (}{\overline {w}}'\Gamma w+\operatorname {Re} ({\overline {w}}'C{\overline {w}}){\big )}{\big \}},$

где аргумент $w$ является n -мерным комплексным вектором.

Характеристики

• Если $\mathbf {Z}$ — комплексный нормальный n -вектор, ${\boldsymbol {A}}$ матрица m×n и $b$ постоянный m -вектор, то линейное преобразование ${\boldsymbol {A}}\mathbf {Z} +b$ будут распределяться также комплексно-нормально:

$Z\ \sim \ {\mathcal {CN}}(\mu ,\,\Gamma ,\,C)\quad \Rightarrow \quad AZ+b\ \sim \ {\mathcal {CN}}(A\mu +b,\,A\Gamma A^{\mathrm {H} },\,ACA^{\mathrm {T} })$

• Если $\mathbf {Z}$ — комплексный нормальный n -вектор, то

$2{\Big [}(\mathbf {Z} -\mu )^{\mathrm {H} }{\overline {P^{-1}}}(\mathbf {Z} -\mu )-\operatorname {Re} {\big (}(\mathbf {Z} -\mu )^{\mathrm {T} }R^{\mathrm {T} }{\overline {P^{-1}}}(\mathbf {Z} -\mu ){\big )}{\Big ]}\ \sim \ \chi ^{2}(2n)$

• Центральная предельная теорема . Если $Z_{1},\ldots ,Z_{T}$ являются независимыми и одинаково распределенными комплексными случайными величинами, то

${\sqrt {T}}{\Big (}{\tfrac {1}{T}}\textstyle \sum _{t=1}^{T}Z_{t}-\operatorname {E} [Z_{t}]{\Big )}\ {\xrightarrow {d}}\ {\mathcal {CN}}(0,\,\Gamma ,\,C),$

где $\Gamma =\operatorname {E} [ZZ^{\mathrm {H} }]$ и $C=\operatorname {E} [ZZ^{\mathrm {T} }]$.

• Модуль комплексной нормальной случайной величины подчиняется распределению Хойта .

Кругло-симметричный центральный корпус

Определение

Сложный случайный вектор $\mathbf {Z}$ называется кругово-симметричным, если для любого детерминированного $\varphi \in [-\pi ,\pi )$ распространение $e^{\mathrm {i} \varphi }\mathbf {Z}$ равно распределению $\mathbf {Z}$.

Основная статья: Комплексный случайный вектор § Круговая симметрия

Центральные нормальные комплексные случайные векторы, имеющие круговую симметрию, представляют особый интерес, поскольку они полностью определяются ковариационной матрицей. $\Gamma$.

Циркулярно -симметричное (центральное) комплексное нормальное распределение соответствует случаю нулевого среднего и нулевой матрицы отношений, т.е. $\mu =0$ и $C=0$. Обычно это обозначается

$\mathbf {Z} \sim {\mathcal {CN}}(0,\,\Gamma )$

Распределение действительных и мнимых частей

Если $\mathbf {Z} =\mathbf {X} +i\mathbf {Y}$ является кругосимметричной (центральной) комплексной нормалью, то вектор $[\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]$ является многомерным нормальным с ковариационной структурой

${\begin{pmatrix}\mathbf {X} \\\mathbf {Y} \end{pmatrix}}\ \sim \ {\mathcal {N}}{\Big (}{\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}},\ {\tfrac {1}{2}}{\begin{bmatrix}\operatorname {Re} \,\Gamma &-\operatorname {Im} \,\Gamma \\\operatorname {Im} \,\Gamma &\operatorname {Re} \,\Gamma \end{bmatrix}}{\Big )}$

где $\Gamma =\operatorname {E} [\mathbf {Z} \mathbf {Z} ^{\mathrm {H} }]$.

Функция плотности вероятности

Для невырожденной ковариационной матрицы $\Gamma$, его распределение также можно упростить как

$f_{\mathbf {Z} }(\mathbf {z} )={\tfrac {1}{\pi ^{n}\det(\Gamma )}}\,e^{-(\mathbf {z} -\mathbf {\mu } )^{\mathrm {H} }\Gamma ^{-1}(\mathbf {z} -\mathbf {\mu } )}$.

Следовательно, если ненулевое среднее $\mu$ и ковариационная матрица $\Gamma$ неизвестны, подходящая логарифмическая функция правдоподобия для одного вектора наблюдения $z$ было бы

$\ln(L(\mu ,\Gamma ))=-\ln(\det(\Gamma ))-{\overline {(z-\mu )}}'\Gamma ^{-1}(z-\mu )-n\ln(\pi ).$

Стандартная комплексная нормаль (определенная в уравнении 1 ) соответствует распределению скалярной случайной величины с $\mu =0$, $C=0$ и $\Gamma =1$. Таким образом, стандартное комплексное нормальное распределение имеет плотность

$f_{Z}(z)={\tfrac {1}{\pi }}e^{-{\overline {z}}z}={\tfrac {1}{\pi }}e^{-|z|^{2}}.$

Характеристики

Вышеприведенное выражение показывает, почему случай $C=0$, $\mu =0$ называется «кругосимметричным». Функция плотности зависит только от величины $z$ но не по своему аргументу . Таким образом, величина $|z|$ стандартной комплексной нормальной случайной величины будет иметь распределение Рэлея и квадрат величины $|z|^{2}$ будет иметь экспоненциальное распределение , тогда как аргумент будет распределен равномерно по $[-\pi ,\pi ]$.

Если $\left\{\mathbf {Z} _{1},\ldots ,\mathbf {Z} _{k}\right\}$ являются независимыми и одинаково распределенными n -мерными круговыми комплексными нормальными случайными векторами с $\mu =0$, то случайный квадрат нормы

$Q=\sum _{j=1}^{k}\mathbf {Z} _{j}^{\mathrm {H} }\mathbf {Z} _{j}=\sum _{j=1}^{k}\|\mathbf {Z} _{j}\|^{2}$

имеет обобщенное распределение хи-квадрат и случайную матрицу

$W=\sum _{j=1}^{k}\mathbf {Z} _{j}\mathbf {Z} _{j}^{\mathrm {H} }$

имеет сложный дистрибутив Wishart с $k$ степени свободы. Это распределение можно описать функцией плотности

$f(w)={\frac {\det(\Gamma ^{-1})^{k}\det(w)^{k-n}}{\pi ^{n(n-1)/2}\prod _{j=1}^{k}(k-j)!}}\ e^{-\operatorname {tr} (\Gamma ^{-1}w)}$

где $k\geq n$, и $w$ это $n\times n$ неотрицательно-определенная матрица.

См. также

• Распределение сложного нормального отношения
• Направленная статистика § Распределение среднего значения (полярная форма)
• Нормальное распределение
• Многомерное нормальное распределение (сложное нормальное распределение — это двумерное нормальное распределение)
• Обобщенное распределение хи-квадрат
• Распределение желаний
• Сложная случайная величина