Проблема с урной

В теории вероятности и статистике — задача об урне это идеализированное умственное упражнение , в котором некоторые объекты, представляющие реальный интерес (например, атомы, люди, автомобили и т. д.), представлены в виде цветных шаров в урне или другом контейнере. Кто-то делает вид, что вынимает из урны один или несколько шаров; цель – определить вероятность выпадения того или иного цвета, или какие-то другие свойства. Ниже описан ряд важных вариаций.

Модель урны — это либо набор вероятностей, описывающих события в задаче с урной, либо распределение вероятностей или семейство таких распределений случайных величин , связанных с задачами с урной. ^[1]

История

В «Ars Conjectandi» (1713) Якоб Бернулли рассмотрел проблему определения пропорций разноцветных камешков внутри урны по количеству камешков, извлеченных из урны. Эта проблема была известна как проблема обратной вероятности и была темой исследований в восемнадцатом веке, привлекая внимание Авраама де Муавра и Томаса Байеса .

Бернулли использовал латинское слово urna , которое в первую очередь означает глиняный сосуд, но это также термин, используемый в Древнем Риме для обозначения любого сосуда для сбора бюллетеней или жребия; Современное итальянское или испанское слово, обозначающее урну для голосования , по-прежнему — urna . Вдохновением Бернулли, возможно, были лотереи , выборы или азартные игры , которые включали вытягивание шаров из контейнера, и утверждалось, что выборы в средневековой и ренессансной Венеции , в том числе выборы дожа , часто включали выбор избирателей по жребию , используя шарики разных цветов, извлеченные из урны. ^[2]

Базовая модель урны

В этой базовой модели урны в теории вероятностей урна содержит x белых и y черных шаров, хорошо перемешанных друг с другом. Из урны случайным образом вынимают один шар и наблюдают за его цветом; Затем его помещают обратно в урну (или нет), и процесс выбора повторяется. ^[3]

Возможные вопросы, на которые можно ответить в этой модели:

Могу ли я вывести соотношение белых и черных шаров на основе n наблюдений? С какой степенью уверенности?
Зная x и y , какова вероятность нарисовать определенную последовательность (например, один белый, а затем один черный)?
Если я наблюдаю только n шаров, насколько я могу быть уверен, что черных шаров нет? (Вариант как первого, так и второго вопроса)

Примеры проблем с урной

бета-биномиальное распределение : как указано выше, за исключением того, что каждый раз, когда наблюдается шар, в урну добавляется дополнительный шар того же цвета. Следовательно, общее количество шаров в урне растет. См. модель урны Pólya .
биномиальное распределение : распределение количества успешных розыгрышей (испытаний), т.е. извлечение белых шаров при заданных n розыгрышах с заменой в урне черными и белыми шарами. ^[3]
Урна Хоппе : урна Полиа с дополнительным шаром, называемым мутатором . Когда мутатор нарисован, он заменяется дополнительным шаром совершенно нового цвета.
гипергеометрическое распределение : шары не возвращаются в урну после извлечения. Следовательно, общее количество шариков в урне уменьшается. Это называется «рисованием без замены» в отличие от «рисования с заменой».
многомерное гипергеометрическое распределение : в урну возвращаются не однажды извлеченные шары, а шары более двух цветов. ^[3]
геометрическое распределение : количество розыгрышей до первого успешного (правильно окрашенного) розыгрыша. ^[3]
Смешанная замена/незамена: в урне черные и белые шары. Если черные шары после розыгрыша (незамены) откладываются в сторону, то белые шары после ничьей (замены) возвращаются в урну. Как распределяется количество вытянутых черных шаров после m розыгрышей?
полиномиальное распределение : существуют шары более двух цветов. Каждый раз, когда шар извлекается, он возвращается перед тем, как вытащить другой шар. ^[3] Это также известно как « Шарики в мусорные ведра ».
отрицательное биномиальное распределение : количество розыгрышей до того, как произойдет определенное количество неудач (розыгрышей неправильного цвета).
Проблема занятости : распределение количества занятых урн после случайного распределения k шаров по n урнам, связанное с проблемой коллекционера купонов и проблемой дня рождения .
Урна Pólya : каждый раз, когда вытягивается шар определенного цвета, он заменяется дополнительным шаром того же цвета.
Статистическая физика : вывод распределений энергии и скорости.
Эллсберга Парадокс .

См. также

Ссылки

^ Додж, Ядола (2003) Оксфордский словарь статистических терминов , OUP. ISBN 0-19-850994-4
^ Моубрей, Миранда и Голлманн, Дитер. «Избрание дожа Венеции: анализ протокола 13 века» . Проверено 12 июля 2007 г.
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Модель урны: простое определение, примеры и применение. Базовая модель урны.

Дальнейшее чтение

Джонсон, Норман Л.; и Коц, Сэмюэл (1977); Модели урн и их применение: подход к современной дискретной теории вероятностей , Уайли ISBN 0-471-44630-0
Махмуд, Хосам М. (2008); Модели урн Pólya , Chapman & Hall/CRC. ISBN 1-4200-5983-1

[1] Додж, Ядола (2003) Оксфордский словарь статистических терминов , OUP. ISBN 0-19-850994-4

[dogeelection-2] Моубрей, Миранда и Голлманн, Дитер. «Избрание дожа Венеции: анализ протокола 13 века» . Проверено 12 июля 2007 г.

[StatisticsHowTo-3] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Модель урны: простое определение, примеры и применение. Базовая модель урны.

[1]

[2]

[3]