Иметь в виду
Среднее значение — это числовая величина, представляющая центр набора чисел и промежуточная по отношению к крайним значениям набора чисел. [1] , существует несколько видов средств (или «мер центральной тенденции ») В математике , особенно в статистике . Каждый из них пытается суммировать или типизировать данную группу данных , иллюстрируя величину и знак набора данных . Какой из этих показателей является наиболее информативным, зависит от того, что измеряется, а также от контекста и цели.
Среднее арифметическое , также известное как «среднее арифметическое», представляет собой сумму значений, разделенную на количество значений. Среднее арифметическое набора чисел x 1 , x 2 , ..., x n обычно обозначается с помощью верхней черты , . [примечание 1] Если числа получены из наблюдения за выборкой большей группы , среднее арифметическое называется выборочным средним ( ), чтобы отличить его от группового среднего (или ожидаемого значения ) основного распределения, обозначаемого или . [примечание 2] [2]
часто используется широкий спектр других понятий среднего значения Помимо вероятности и статистики, в геометрии и математическом анализе ; примеры приведены ниже.
Виды средств
[ редактировать ]Пифагорейские средства
[ редактировать ]Среднее арифметическое (AM)
[ редактировать ]Среднее арифметическое (или просто среднее или среднее ) списка чисел — это сумма всех чисел, деленная на количество чисел. Аналогично, среднее значение выборки , обычно обозначается , представляет собой сумму выборочных значений, деленную на количество элементов в выборке.
Например, среднее арифметическое пяти значений: 4, 36, 45, 50, 75 равно:
Среднее геометрическое (GM)
[ редактировать ]Среднее геометрическое — это среднее значение, которое полезно для наборов положительных чисел, которые интерпретируются в соответствии с их произведением (как в случае с темпами роста), а не их суммой (как в случае со средним арифметическим):
Например, среднее геометрическое пяти значений: 4, 36, 45, 50, 75 равно:
Среднее гармоническое (HM)
[ редактировать ]Среднее гармоническое — это среднее значение, которое полезно для наборов чисел, определенных относительно некоторой единицы , как в случае скорости (т. е. расстояния в единицу времени):
Например, среднее гармоническое пяти значений: 4, 36, 45, 50, 75 равно
Если у нас есть пять насосов, которые могут опорожнить резервуар определенного размера соответственно за 4, 36, 45, 50 и 75 минут, то среднее гармоническое значение говорит нам, что эти пять разных насосов, работающих вместе, будут перекачивать с той же скоростью, что и пять насосов, каждый из которых может опорожнить резервуар за минут.
Отношения между AM, GM и HM
[ редактировать ]AM, GM и HM удовлетворяют этим неравенствам:
Равенство имеет место, если все элементы данной выборки равны.
Статистическое местоположение
[ редактировать ]В описательной статистике среднее значение можно спутать с медианой , модой или средним диапазоном , поскольку любое из них может быть неправильно названо «средним» (более формально, мерой центральной тенденции ). Среднее значение набора наблюдений представляет собой среднее арифметическое значений; однако для асимметричных распределений среднее значение не обязательно совпадает со средним значением (медианой) или наиболее вероятным значением (режимом). Например, средний доход обычно искажается вверх из-за небольшого числа людей с очень высокими доходами, так что у большинства доход ниже среднего. Напротив, медианный доход — это уровень, на котором половина населения находится ниже, а половина — выше. Режим дохода является наиболее вероятным доходом и благоприятствует большему числу людей с более низкими доходами. Хотя медиана и мода часто являются более интуитивными мерами для таких асимметричных данных, многие асимметричные распределения на самом деле лучше всего описываются их средним значением, включая экспоненциальное распределение и распределение Пуассона .
Среднее значение распределения вероятностей
[ редактировать ]Среднее значение распределения вероятностей — это долгосрочное среднее арифметическое значение случайной величины , имеющей это распределение. Если случайную величину обозначить , то среднее значение также известно как ожидаемое значение (обозначается ). Для дискретного распределения вероятностей среднее значение определяется выражением , где сумма берется по всем возможным значениям случайной величины и — функция массы вероятности . Для непрерывного распределения среднее значение равно , где – функция плотности вероятности . [4] Во всех случаях, включая те, в которых распределение не является ни дискретным, ни непрерывным, среднее значение представляет собой интеграл Лебега случайной величины по ее вероятностной мере . Среднее значение не обязательно должно существовать или быть конечным; для некоторых распределений вероятностей среднее значение бесконечно ( +∞ или −∞ ), а для других среднее значение не определено .
Обобщенные средства
[ редактировать ]Мощность означает
[ редактировать ]Обобщенное среднее , также известное как среднее степенное или среднее Гельдера, представляет собой абстракцию квадратичных , арифметических, геометрических и гармонических средних. Он определяется для набора из n положительных чисел x i формулой
Путем выбора различных значений параметра m получаются следующие типы средних:
- максимум
- квадратичное среднее
- среднее арифметическое
- среднее геометрическое
- гармоническое среднее
- минимум
f -среднее
[ редактировать ]Это можно обобщить дальше как обобщенное f -среднее
и снова подходящий выбор обратимого f даст
Средневзвешенное арифметическое
[ редактировать ]Средневзвешенное арифметическое (или средневзвешенное) используется, если нужно объединить средние значения из выборок разного размера одной и той же совокупности:
Где и среднее значение и размер выборки соответственно. В других приложениях они представляют собой меру надежности влияния соответствующих значений на среднее значение.
Усеченное среднее
[ редактировать ]Иногда набор чисел может содержать выбросы (т. е. значения данных, которые намного ниже или намного выше, чем другие). Часто выбросы представляют собой ошибочные данные, вызванные артефактами . В этом случае можно использовать усеченное среднее . Он включает в себя отбрасывание заданных частей данных на верхнем или нижнем конце, обычно равное количество на каждом конце, а затем взятие среднего арифметического оставшихся данных. Количество удаленных значений указывается в процентах от общего количества значений.
Межквартильное среднее
[ редактировать ]Интерквартильное среднее является конкретным примером усеченного среднего. Это просто среднее арифметическое после удаления самой низкой и самой высокой четверти значений.
если предположить, что значения упорядочены, то это просто конкретный пример средневзвешенного значения для определенного набора весов.
Среднее значение функции
[ редактировать ]В некоторых случаях математики могут вычислить среднее значение бесконечного (или даже неисчислимого ) набора значений. Это может произойти при вычислении среднего значения функции . Интуитивно среднее значение функции можно представить как вычисление площади под участком кривой и затем деление на длину этого участка. Это можно сделать грубо, посчитав квадраты на миллиметровой бумаге или, точнее, проинтегрировав . Формула интегрирования записывается как:
При этом необходимо позаботиться о том, чтобы интеграл сходился. Но среднее значение может быть конечным, даже если сама функция в некоторых точках стремится к бесконечности.
Среднее значение углов и циклических величин
[ редактировать ]Углы , время суток и другие циклические величины требуют модульной арифметики для сложения и иного объединения чисел. Во всех этих ситуациях не будет единственного средства. Например, время за час до и после полуночи равноудалено как от полуночи, так и от полудня. Также возможно, что никакого среднего не существует. Рассмотрим цветовой круг : набор всех цветов не имеет значения. В таких ситуациях вы должны решить, какое среднее значение является наиболее полезным. Вы можете сделать это, корректируя значения перед усреднением или используя специальный подход для среднего значения круговых величин .
Фреше означает
[ редактировать ]Среднее значение Фреше дает способ определить «центр» распределения массы на поверхности или, в более общем смысле, на римановом многообразии . В отличие от многих других средств, среднее значение Фреше определяется в пространстве, элементы которого не обязательно складываются или умножаются на скаляры.Иногда его также называют средним Керхером (в честь Германа Керхера).
Треугольные наборы
[ редактировать ]В геометрии существуют тысячи различныхопределения центра треугольника , которые можно интерпретировать как среднее значение треугольного набора точек на плоскости. [5]
Правило Свонсона
[ редактировать ]Это приближение к среднему значению для умеренно асимметричного распределения. [6] Он используется при разведке углеводородов и определяется как:
где , и представляют собой 10-й, 50-й и 90-й процентили распределения соответственно.
Другие средства
[ редактировать ]- Среднее арифметико-геометрическое
- Среднее арифметико-гармоническое
- Чезаро означает
- Кизини означает
- Контрагармоническое среднее
- Элементарное симметричное среднее
- Среднее геометрическо-гармоническое
- среднее значение
- Хайнц имеет в виду
- Героново среднее
- Идентичное среднее
- Лемер означает
- Среднее логарифмическое
- Скользящее среднее
- Среднее значение Ноймана – Шандора
- Среднее квазиарифметическое
- Среднеквадратичное (среднее квадратичное)
- Энтропия Реньи ( обобщенное f-среднее )
- Сферическое среднее
- Столарский средний
- Средневзвешенное геометрическое
- Взвешенное гармоническое среднее
См. также
[ редактировать ]- Статистическая дисперсия
- Центральная тенденция
- Описательная статистика
- Куртозис
- Закон средних чисел
- Теорема о среднем значении
- Момент (математика)
- Сводная статистика
- Закон Тейлора
Примечания
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- ^ Jump up to: а б с д «Среднее | математика» . Британская энциклопедия . Проверено 21 августа 2020 г.
- ^ Андерхилл, LG; Брэдфилд Д. (1998) Интростат , Юта и Компания Лтд. ISBN 0-7021-3838-X с. 181
- ^ «Обзор статистики AP - кривые плотности и нормальное распределение» . Архивировано из оригинала 2 апреля 2015 года . Проверено 16 марта 2015 г.
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Среднее население» . mathworld.wolfram.com . Проверено 21 августа 2020 г.
- ^ Нарбу, Жюльен; Браун, Дэвид (2016). «К сертифицированной версии энциклопедии центров треугольников». Математика в информатике . 10 (1): 57–73. дои : 10.1007/s11786-016-0254-4 . МР 3483261 .
под руководством Кларка Кимберлинга разработана электронная энциклопедия центров треугольников (ЭТЦ), содержащая более 7000 центров и множество свойств этих точек.
- ^ Херст А., Браун Г.К., Суонсон Р.И. (2000) Правило Суонсона 30-40-30. Бюллетень Американской ассоциации геологов-нефтяников 84 (12) 1883–1891 гг.