Среднее значение функции

В исчислении , особенно в исчислении с несколькими переменными , среднее значение функции в общих чертах определяется как среднее значение функции в ее области определения . В одной переменной среднее значение функции f ( x ) на интервале ( a , b ) определяется следующим образом:

${\bar {f}}={\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx.$

Напомним, что определяющее свойство среднего значения ${\bar {y}}$ из конечного числа чисел $y_{1},y_{2},\dots ,y_{n}$это что $n{\bar {y}}=y_{1}+y_{2}+\cdots +y_{n}$. Другими словами, ${\bar {y}}$ — это постоянная величина, которая при добавлен $n$ раз равно результату сложения $n$ условия $y_{1},\dots ,y_{n}$. По аналогии,определяющее свойство средней стоимости ${\bar {f}}$ функции на интервале $[a,b]$ это что

$\int _{a}^{b}{\bar {f}}\,dx=\int _{a}^{b}f(x)\,dx.$

Другими словами, ${\bar {f}}$ — это постоянная величина, которая при интегрировании по $[a,b]$ равен результатуинтеграция $f(x)$ над $[a,b]$. Но интеграл от постоянной ${\bar {f}}$ это просто

$\int _{a}^{b}{\bar {f}}\,dx={\bar {f}}x{\bigr |}_{a}^{b}={\bar {f}}b-{\bar {f}}a=(b-a){\bar {f}}.$

См. также первую теорему о среднем значении для интегрирования , которая гарантируетчто если $f$ непрерывна , то существует точка $c\in (a,b)$ такой, что

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx=f(c)(b-a).$

Суть $f(c)$ называется средним значением $f(x)$ на $[a,b]$. Итак, мы пишем ${\bar {f}}=f(c)$ и переставим предыдущее уравнение, чтобы получить приведенное выше определение.

В нескольких переменных среднее значение в относительно компактной области U в евклидовом пространстве определяется формулой

${\bar {f}}={\frac {1}{{\hbox{Vol}}(U)}}\int _{U}f.$

Это обобщает среднее арифметическое . С другой стороны, также возможно обобщить среднее геометрическое на функции, определив среднее геометрическое f как

$\exp \left({\frac {1}{{\hbox{Vol}}(U)}}\int _{U}\log f\right).$

В более общем смысле, в теории меры и теории вероятностей любой тип среднего значения играет важную роль. В этом контексте неравенство Йенсена дает точную оценку взаимосвязи между этими двумя разными понятиями среднего значения функции.

Существует также гармоническое среднее функций и среднеквадратичное (или среднеквадратичное ) функций.

См. также

• Иметь в виду