Идентичное среднее

Среднее тождественное двух положительных действительных чисел x , y определяется как:

${\begin{aligned}I(x,y)&={\frac {1}{e}}\cdot \lim _{(\xi ,\eta )\to (x,y)}{\sqrt[{\xi -\eta }]{\frac {\xi ^{\xi }}{\eta ^{\eta }}}}\\[8pt]&=\lim _{(\xi ,\eta )\to (x,y)}\exp \left({\frac {\xi \cdot \ln \xi -\eta \cdot \ln \eta }{\xi -\eta }}-1\right)\\[8pt]&={\begin{cases}x&{\text{if }}x=y\\[8pt]{\frac {1}{e}}{\sqrt[{x-y}]{\frac {x^{x}}{y^{y}}}}&{\text{else}}\end{cases}}\end{aligned}}$

Его можно получить из теоремы о среднем значении , рассматривая секущую графика функции $x\mapsto x\cdot \ln x$. Его можно обобщить на большее количество переменных в соответствии с теоремой о среднем значении для разделенных разностей . Идентическое среднее является частным случаем среднего Столярского .

См. также

• Иметь в виду
• Среднее логарифмическое

Ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Идентичное среднее» . Математический мир .