Среднее логарифмическое

В математике — среднее логарифмическое это функция двух неотрицательных чисел , равная их разнице, деленной на логарифм их частного . Этот расчет применим в инженерных задачах, связанных с тепло- и массопереносом .

Определение

Среднее логарифмическое определяется как:

{\begin{aligned}M_{\text{lm}}(x,y)&=\lim _{(\xi ,\eta )\to (x,y)}{\frac {\eta -\xi }{\ln(\eta )-\ln(\xi )}}\\[6pt]&={\begin{cases}x&{\text{if }}x=y,\\[2pt]{\dfrac {y-x}{\ln y-\ln x}}&{\text{otherwise,}}\end{cases}}\end{aligned}}

для положительных чисел $x, y$ .

Неравенства

Среднее логарифмическое значение двух чисел меньше среднего арифметического и обобщенного среднего с показателем степени больше 1. Однако оно больше среднего геометрического и среднего гармонического соответственно. Неравенства являются строгими, если оба числа не равны.

${\frac {2}{\displaystyle {\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}}}\leq {\sqrt {xy}}\leq {\frac {x-y}{\ln x-\ln y}}\leq {\frac {x+y}{2}}\leq \left({\frac {x^{2}+y^{2}}{2}}\right)^{1/2}\qquad {\text{ for all }}x>0{\text{ and }}y>0.$ ^[1]^[2]^[3]^[4]Тойеш Пракаш Шарма обобщает арифметическое логарифмическое среднее геометрическое неравенство для любого $n$ принадлежит целому числу как ${\sqrt {xy}}\ \left(\ln {\sqrt {xy}}\right)^{n-1}\left(n+\ln {\sqrt {xy}}\right)\leq {\frac {x(\ln x)^{n}-y(\ln y)^{n}}{\ln x-\ln y}}\leq {\frac {x(\ln x)^{n-1}(n+\ln x)+y(\ln y)^{n-1}(n+\ln y)}{2}}$

Теперь для $n = 0$ : ${\begin{array}{ccccc}{\sqrt {xy}}\left(\ln {\sqrt {xy}}\right)^{-1}\ln {\sqrt {xy}}&\leq &{\dfrac {x-y}{\ln x-\ln y}}&\leq &{\dfrac {x(\ln x)^{-1}\ln x+y(\ln y)^{-1}\ln y}{2}}\\[4pt]{\sqrt {xy}}&\leq &{\dfrac {x-y}{\ln x-\ln y}}&\leq &{\dfrac {x+y}{2}}\end{array}}$

Это арифметическое логарифмическое среднее геометрическое неравенство. Аналогично, можно также получить результаты, указав разные значения $n,$ как показано ниже.

Для $n = 1$ : ${\sqrt {xy}}\left(1+\ln {\sqrt {xy}}\right)\leq {\frac {x\ln x-y\ln y}{\ln x-\ln y}}\leq {\frac {x(1+\ln x)+y(1+\ln y)}{2}}$

для доказательства просмотрите библиографию.

Вывод

Теорема о среднем дифференциальном исчислении

Из о среднем значении теоремы существует значение $ξ$ в интервале между $x$ и $y$ , где производная $f '$ равна наклону секущей линии :

\exists \xi \in (x,y):\ f'(\xi )={\frac {f(x)-f(y)}{x-y}}

Среднее логарифмическое значение получается как значение $ξ$ путем замены $ln$ на $f$ и аналогичным образом для его соответствующей производной :

{\frac {1}{\xi }}={\frac {\ln x-\ln y}{x-y}}

и решение для $ξ$ :

\xi ={\frac {x-y}{\ln x-\ln y}}

Интеграция

Среднее логарифмическое значение также можно интерпретировать как площадь под экспоненциальной кривой . ${\begin{aligned}L(x,y)={}&\int _{0}^{1}x^{1-t}y^{t}\ \mathrm {d} t={}\int _{0}^{1}\left({\frac {y}{x}}\right)^{t}x\ \mathrm {d} t={}x\int _{0}^{1}\left({\frac {y}{x}}\right)^{t}\mathrm {d} t\\[3pt]={}&\left.{\frac {x}{\ln {\frac {y}{x}}}}\left({\frac {y}{x}}\right)^{t}\right|_{t=0}^{1}={}{\frac {x}{\ln {\frac {y}{x}}}}\left({\frac {y}{x}}-1\right)={}{\frac {y-x}{\ln {\frac {y}{x}}}}\\[3pt]={}&{\frac {y-x}{\ln y-\ln x}}\end{aligned}}$

Интерпретация площади позволяет легко вывести некоторые основные свойства среднего логарифмического значения. Поскольку показательная функция монотонна , интеграл по интервалу длины 1 ограничен значениями $x$ и $y$ . Однородность интегрального оператора переносится на оператор среднего, т.е. $L(cx,cy)=cL(x,y)$ .

Два других полезных интегральных представления: ${1 \over L(x,y)}=\int _{0}^{1}{\operatorname {d} \!t \over tx+(1-t)y}$ и ${1 \over L(x,y)}=\int _{0}^{\infty }{\operatorname {d} \!t \over (t+x)\,(t+y)}.$

Обобщение

Теорема о среднем дифференциальном исчислении

Можно обобщить среднее значение на $n + 1$ переменную, рассмотрев теорему о среднем значении для разделенных разностей для $n$ -й производной логарифма.

Мы получаем

L_{\text{MV}}(x_{0},\,\dots ,\,x_{n})={\sqrt[{-n}]{(-1)^{n+1}n\ln \left(\left[x_{0},\,\dots ,\,x_{n}\right]\right)}}

где $\ln \left(\left[x_{0},\,\dots ,\,x_{n}\right]\right)$ обозначает разделенную разность логарифма.

Для $n = 2$ это приводит к

L_{\text{MV}}(x,y,z)={\sqrt {\frac {(x-y)(y-z)(z-x)}{2{\bigl (}(y-z)\ln x+(z-x)\ln y+(x-y)\ln z{\bigr )}}}}.

Интеграл

Интегральную интерпретацию также можно обобщить на большее количество переменных, но это приводит к другому результату. Учитывая симплекс ${\textstyle S}$ с $S=\{\left(\alpha _{0},\,\dots ,\,\alpha _{n}\right):\left(\alpha _{0}+\dots +\alpha _{n}=1\right)\land \left(\alpha _{0}\geq 0\right)\land \dots \land \left(\alpha _{n}\geq 0\right)\}$ и соответствующая мера ${\textstyle \mathrm {d} \alpha }$ что присваивает симплексу объем, равный 1, получаем

L_{\text{I}}\left(x_{0},\,\dots ,\,x_{n}\right)=\int _{S}x_{0}^{\alpha _{0}}\cdot \,\cdots \,\cdot x_{n}^{\alpha _{n}}\ \mathrm {d} \alpha

Это можно упростить, используя разделенные разности экспоненциальной функции, чтобы

L_{\text{I}}\left(x_{0},\,\dots ,\,x_{n}\right)=n!\exp \left[\ln \left(x_{0}\right),\,\dots ,\,\ln \left(x_{n}\right)\right]

.

Пример $n = 2$ :

L_{\text{I}}(x,y,z)=-2{\frac {x(\ln y-\ln z)+y(\ln z-\ln x)+z(\ln x-\ln y)}{(\ln x-\ln y)(\ln y-\ln z)(\ln z-\ln x)}}.

Подключение к другим средствам

Среднее арифметическое : ${\frac {L\left(x^{2},y^{2}\right)}{L(x,y)}}={\frac {x+y}{2}}$

Среднее геометрическое : ${\sqrt {\frac {L\left(x,y\right)}{L\left({\frac {1}{x}},{\frac {1}{y}}\right)}}}={\sqrt {xy}}$

Гармоническое среднее : ${\frac {L\left({\frac {1}{x}},{\frac {1}{y}}\right)}{L\left({\frac {1}{x^{2}}},{\frac {1}{y^{2}}}\right)}}={\frac {2}{{\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}}}$

См. также

Другое среднее значение, связанное с логарифмами, — это среднее геометрическое .
Среднее логарифмическое является частным случаем среднего Столярского .
Логарифмическая средняя разница температур
Бревенчатое полукольцо

Ссылки

Цитаты

^ Б.К. Карлсон (1966). «Некоторые неравенства для гипергеометрических функций» . Учеб. амер. Математика. Соц . 17 : 32–39. дои : 10.1090/s0002-9939-1966-0188497-6 .
^ Б. Остле и Х. Л. Тервиллигер (1957). «Сравнение двух средств». Учеб. Монтана Акад. Наука . 17 :69–70.
^ Тунг-По Лин (1974). «Среднее степенное и среднее логарифмическое». Американский математический ежемесячник . 81 (8): 879–883. дои : 10.1080/00029890.1974.11993684 .
^ Фрэнк Берк (1987). «Геометрическое, логарифмическое и среднее арифметическое неравенство». Американский математический ежемесячник . 94 (6): 527–528. дои : 10.2307/2322844 . JSTOR 2322844 .

Библиография

Глоссарий нефтяного месторождения: термин «среднее логарифмическое».
Вайсштейн, Эрик В. «Арифметико-логарифмическое-геометрическое-среднее неравенство» . Математический мир .
Столарский, Кеннет Б.: Обобщения среднего логарифмического значения , Журнал Mathematics, Vol. 48, № 2, март 1975 г., стр. 87–92.
Тойеш Пракаш Шарма.: https://www.parabola.unsw.edu.au/files/articles/2020-2029/volume-58-2022/issue-2/vol58_no2_3.pdf «Обобщение арифметико-логарифмически-геометрического Среднее неравенство , журнал Parabola, том 58, № 2, 2022 г., стр. 1–5.

[1] Б.К. Карлсон (1966). «Некоторые неравенства для гипергеометрических функций» . Учеб. амер. Математика. Соц . 17 : 32–39. дои : 10.1090/s0002-9939-1966-0188497-6 .

[2] Б. Остле и Х. Л. Тервиллигер (1957). «Сравнение двух средств». Учеб. Монтана Акад. Наука . 17 :69–70.

[3] Тунг-По Лин (1974). «Среднее степенное и среднее логарифмическое». Американский математический ежемесячник . 81 (8): 879–883. дои : 10.1080/00029890.1974.11993684 .

[4] Фрэнк Берк (1987). «Геометрическое, логарифмическое и среднее арифметическое неравенство». Американский математический ежемесячник . 94 (6): 527–528. дои : 10.2307/2322844 . JSTOR 2322844 .

[1]

[2]

[3]

[4]