Логарифмическая средняя разница температур

В теплотехнике средняя логарифмическая разница температур ( LMTD ) используется для определения температурной движущей силы теплопередачи проточных в системах , особенно в теплообменниках . LMTD представляет собой среднее логарифмическое значение разницы температур между горячей и холодной подачей на каждом конце двухтрубного теплообменника. Для данного теплообменника с постоянной площадью и коэффициентом теплопередачи , чем больше LMTD, тем больше тепла передается. Использование LMTD напрямую связано с анализом теплообменника с постоянным расходом и тепловыми свойствами жидкости.

Определение

Мы предполагаем, что обычный теплообменник имеет два конца (которые мы называем «А» и «В»), через которые горячие и холодные потоки входят или выходят с обеих сторон; тогда LMTD определяется средним логарифмическим значением следующим образом:

LMTD проиллюстрирован противоточным температурным профилем.

$\mathrm {LMTD} ={\frac {\Delta T_{A}-\Delta T_{B}}{\ln \left({\frac {\Delta T_{A}}{\Delta T_{B}}}\right)}}={\frac {\Delta T_{A}-\Delta T_{B}}{\ln \Delta T_{A}-\ln \Delta T_{B}}}$

где ΔTA ΔTB _— температур между двумя потоками на конце A , а — разница _{температур между} двумя потоками на конце B. разница Когда две разности температур равны, эта формула не дает прямого решения, поэтому LMTD обычно считается равным ее предельному значению, которое в этом случае тривиально равно двум разностям.

С помощью этого определения LMTD можно использовать для определения теплоты, передаваемой в теплообменнике:

$Q=U\times A\times \mathrm {LMTD}$

где (в единицах СИ ):

• Q — обменная тепловая мощность ( Вт ),
• U – коэффициент теплопередачи (ватты на кельвин на квадратный метр),
• А — зона обмена.

Обратите внимание, что оценка коэффициента теплопередачи может быть весьма сложной задачей.

Это справедливо как для прямотока, когда потоки входят с одного конца, так и для противотока , когда они входят с разных концов.

В поперечном потоке, в котором одна система, обычно радиатор, имеет одинаковую номинальную температуру во всех точках поверхности теплопередачи, сохраняется аналогичная связь между обменным теплом и LMTD, но с поправочным коэффициентом. Поправочный коэффициент также необходим для других, более сложных геометрических форм, таких как кожухотрубный теплообменник с перегородками.

Вывод

Предположим, передача тепла происходит в теплообменнике вдоль оси z , от общей координаты A до B , между двумя жидкостями, обозначенными как 1 и 2 , чьи температуры вдоль оси z равны T ₁ ( z ) и T ₂ ( z ) .

Локальный обменный тепловой поток в точке z пропорционален разности температур:

$q(z)=U(T_{2}(z)-T_{1}(z))=U\;\Delta T(z)$

Тепло, покидающее жидкости, вызывает температурный градиент в соответствии с законом Фурье :

${\begin{aligned}{\frac {d\,T_{1}}{dz}}&=k_{a}(T_{1}(z)-T_{2}(z))=-k_{a}\,\Delta T(z)\\[4pt]{\frac {d\,T_{2}}{dz}}&=k_{b}(T_{2}(z)-T_{1}(z))=k_{b}\,\Delta T(z)\end{aligned}}$

где k _a , k _b — теплопроводность промежуточного материала в точках A и B соответственно. В сумме это становится

${\frac {d\Delta T}{dz}}={\frac {d(T_{2}-T_{1})}{dz}}={\frac {d\,T_{2}}{dz}}-{\frac {d\,T_{1}}{dz}}=K\Delta T(z)$ ( 1 )

где K знак равно k _а + k _б .

Полная обменная энергия находится путем интегрирования локальной теплопередачи q от A к B :

$Q=D\int _{A}^{B}q(z)dz=UD\int _{A}^{B}\Delta T(z)dz=UD\int _{A}^{B}\Delta T\,dz,$

Обратите внимание, что B — A — это, очевидно, длина трубы, то есть расстояние по z , а D — это длина окружности. Умножив эти значения, получим Ar площадь теплообменника трубы, и используйте этот факт:

$Q={\frac {UAr}{B-A}}\int _{A}^{B}\Delta T\,dz={\frac {UAr\displaystyle \int _{A}^{B}\Delta T\,dz}{\displaystyle \int _{A}^{B}\,dz}}$

В обоих интегралах сделайте замену переменных с z на Δ T :

$Q={\frac {UAr\displaystyle \int _{\Delta T(A)}^{\Delta T(B)}\Delta T{\frac {dz}{d\Delta T}}\,d(\Delta T)}{\displaystyle \int _{\Delta T(A)}^{\Delta T(B)}{\frac {dz}{d\Delta T}}\,d(\Delta T)}}$

С учетом соотношения для Δ T (уравнение 1 ) это становится

$Q={\frac {UAr\displaystyle \int _{\Delta T(A)}^{\Delta T(B)}{\frac {1}{K}}\,d(\Delta T)}{\displaystyle \int _{\Delta T(A)}^{\Delta T(B)}{\frac {1}{K\Delta T}}\,d(\Delta T)}}$

Интегрирование на этом этапе тривиально и, наконец, дает:

$Q=U\times Ar\times {\frac {\Delta T(B)-\Delta T(A)}{\ln \left({\frac {\Delta T(B)}{\Delta T(A)}}\right)}}$,

откуда следует определение LMTD.

Предположения и ограничения

• Предполагалось, что скорость изменения температуры обеих жидкостей пропорциональна разности температур; это предположение справедливо для жидкостей с постоянной удельной теплоемкостью , что является хорошим описанием изменения температуры жидкостей в относительно небольшом диапазоне. Однако если удельная теплоемкость изменится, подход LMTD перестанет быть точным.
• Частным случаем LMTD являются конденсаторы и ребойлеры , где скрытое тепло, связанное с фазовым переходом, является частным случаем гипотезы. Для конденсатора температура горячей жидкости на входе эквивалентна температуре горячей жидкости на выходе.
• Также предполагалось, что коэффициент теплопередачи ( U ) постоянен и не является функцией температуры. Если это не так, подход LMTD снова будет менее действенным.
• LMTD представляет собой концепцию устойчивого состояния и не может использоваться в динамическом анализе. В частности, если бы LMTD применялся к переходному процессу, в котором в течение короткого времени разница температур имела разные знаки на двух сторонах теплообменника, аргумент функции логарифма был бы отрицательным, что недопустимо.
• Отсутствие фазового перехода во время теплопередачи
• Изменениями кинетической и потенциальной энергии пренебрегают.

Логарифмическая средняя разница давлений

Соответствующая величина, логарифмическая средняя разница давлений или LMPD , часто используется в массообмене для застойных растворителей с разбавленными растворенными веществами, чтобы упростить проблему объемного потока.

Ссылки

• Кей Дж. М. и Неддерман Р. М. (1985) Механика жидкости и процессы переноса , издательство Кембриджского университета