Теорема о среднем значении (разделенные разности)

В математическом анализе теорема о среднем значении для разделенных разностей обобщает теорему о среднем значении на более высокие производные.

Формулировка теоремы

Для любых n + 1 попарно различных точек x ₀ , ..., x _n в области определения n -кратно дифференцируемой функции f существует внутренняя точка

$\xi \in (\min\{x_{0},\dots ,x_{n}\},\max\{x_{0},\dots ,x_{n}\})\,$

где n- я производная f равна n ! умноженное на n- ю разделенную разность в этих точках:

$f[x_{0},\dots ,x_{n}]={\frac {f^{(n)}(\xi )}{n!}}.$

Для n = 1, то есть двух функциональных точек, получается простая теорема о среднем значении .

Доказательство

Позволять $P$ быть интерполяционным полиномом Лагранжа для f в точке x ₀ , ..., x _n . следует Ньютона Тогда из формы $P$ что член высшего порядка $P$ является $f[x_{0},\dots ,x_{n}]x^{n}$.

Позволять $g$ быть остатком интерполяции, определяемым формулой $g=f-P$. Затем $g$ имеет $n+1$ нули: x ₀ , ..., x _n .Применив сначала теорему Ролля к $g$, затем $g'$, и так далее, пока $g^{(n-1)}$, мы находим это $g^{(n)}$ имеет ноль $\xi$. Это означает, что

$0=g^{(n)}(\xi )=f^{(n)}(\xi )-f[x_{0},\dots ,x_{n}]n!$,

$f[x_{0},\dots ,x_{n}]={\frac {f^{(n)}(\xi )}{n!}}.$

Приложения

Теорему можно использовать для обобщения среднего значения Столарского на более чем две переменные.