Столарский средний

В математике среднее Столарского является обобщением среднего логарифмического . Он был представлен Кеннетом Б. Столарски в 1975 году.

Определение

Для двух положительных действительных чисел x , y среднее Столярского определяется как:

${\begin{aligned}S_{p}(x,y)&=\lim _{(\xi ,\eta )\to (x,y)}\left({\frac {\xi ^{p}-\eta ^{p}}{p(\xi -\eta )}}\right)^{1/(p-1)}\\[10pt]&={\begin{cases}x&{\text{if }}x=y\\\left({\frac {x^{p}-y^{p}}{p(x-y)}}\right)^{1/(p-1)}&{\text{else}}\end{cases}}\end{aligned}}$

Вывод

Оно выведено из теоремы о среднем значении , которая гласит, что секущая линия , разрезающая график дифференцируемой функции $f$ в $(x,f(x))$ и $(y,f(y))$, имеет тот же наклон линия в некоторой точке , что и касательная к графику $\xi$ в интервале $[x,y]$.

$\exists \xi \in [x,y]\ f'(\xi )={\frac {f(x)-f(y)}{x-y}}$

Среднее Столярского получается по формуле

$\xi =\left[f'\right]^{-1}\left({\frac {f(x)-f(y)}{x-y}}\right)$

при выборе $f(x)=x^{p}$.

Особые случаи

• $\lim _{p\to -\infty }S_{p}(x,y)$ это минимум .
• $S_{-1}(x,y)$ является средним геометрическим .
• $\lim _{p\to 0}S_{p}(x,y)$ это среднее логарифмическое . Его можно получить из теоремы о среднем значении, выбрав $f(x)=\ln x$.
• $S_{\frac {1}{2}}(x,y)$ с среднее значение степени показателем ${\frac {1}{2}}$.
• $\lim _{p\to 1}S_{p}(x,y)$ является тождественным средним значением . Его можно получить из теоремы о среднем значении, выбрав $f(x)=x\cdot \ln x$.
• $S_{2}(x,y)$ это среднее арифметическое .
• $S_{3}(x,y)=QM(x,y,GM(x,y))$ является связью со средним квадратичным и средним геометрическим .
• $\lim _{p\to \infty }S_{p}(x,y)$ является максимальным .

Обобщения

Можно обобщить среднее значение на n + 1 переменную, рассмотрев теорему о среднем значении для разделенных разностей для n -й производной .Получается

$S_{p}(x_{0},\dots ,x_{n})={f^{(n)}}^{-1}(n!\cdot f[x_{0},\dots ,x_{n}])$ для $f(x)=x^{p}$.

См. также

• Иметь в виду