Закон средних чисел

Закон средних чисел — это широко распространенное убеждение, что конкретный результат или событие в течение определенных периодов времени будет происходить с частотой , аналогичной его вероятности . ^[1]^[2] В зависимости от контекста или применения это можно считать действительным наблюдением здравого смысла или непониманием вероятности. Это представление может привести к ошибке игрока , когда он убеждается, что конкретный результат должен наступить в ближайшее время просто потому, что он не произошел в последнее время (например, полагая, что, поскольку три последовательных подбрасывания монеты дали орел , следующее подбрасывание монеты должно практически гарантированно выпасть решкой ). .

В повседневной жизни «закон» обычно отражает принятие желаемого за действительное или плохое понимание статистики, а не какой-либо математический принцип. Хотя существует реальная теорема о том, что случайная величина будет отражать ее основную вероятность в очень большой выборке, закон средних чисел обычно предполагает, что должен возникнуть неестественный краткосрочный «баланс». ^[3] Типичные приложения также обычно предполагают отсутствие смещения в основном распределении вероятностей, что часто противоречит эмпирическим данным . ^[4]

Примеры

Заблуждение игрока

— Заблуждение игрока это особое неправильное применение закона средних чисел, при котором игрок полагает, что конкретный результат более вероятен, поскольку он не произошел недавно, или (наоборот), что, поскольку конкретный результат произошел недавно, он будет менее вероятен в будущем. ближайшее будущее. ^[5]

В качестве примера рассмотрим колесо рулетки , на котором в трех последовательных вращениях выпал красный цвет. Наблюдатель может применить закон средних чисел и прийти к выводу, что при следующем вращении он гарантированно (или, по крайней мере, с гораздо большей вероятностью) выпадет на черное. Конечно, у колеса нет памяти, и его вероятности не меняются в зависимости от прошлых результатов. Таким образом, даже если колесо выпало на красное в десяти или сотне последовательных вращений, вероятность того, что следующее вращение будет черным, все равно не превышает 48,6% (при условии, что на честном европейском колесе есть только один зеленый ноль; это будет ровно 50). %, если бы не было зеленого нуля и колесо было бы чистым, и 47,4% для честного американского колеса с одним зеленым «0» и одним зеленым «00»). Точно так же нет никаких статистических оснований полагать, что лотерейные номера, которые не появлялись в последнее время, должны вскоре появиться. (Есть определенная ценность в выборе лотерейных номеров, которые, как правило, менее популярны , чем другие — не потому, что они с большей или меньшей вероятностью выпадут, а потому, что самые крупные призы обычно делятся между всеми людьми, выбравшими выигрыш. Непопулярные числа выпадут с такой же вероятностью, как и популярные, и в случае крупного выигрыша, скорее всего, придется поделиться им с меньшим количеством людей. См. паримутальная ставка .)

Ожидаемые значения

Еще одним применением закона средних чисел является убеждение, что поведение выборки должно соответствовать ожидаемому значению, основанному на статистике населения. Например, предположим, что честную монету подбрасывают 100 раз. Используя закон средних чисел, можно предсказать, что будет 50 орлов и 50 решок. Хотя это единственный наиболее вероятный результат, вероятность его наступления составляет всего 8%. $P(X=50\mid n=100,p=0.5)$ биномиального распределения . Прогнозы, основанные на законе средних чисел, еще менее полезны, если выборка не отражает совокупность населения .

Повторение испытаний

В этом примере мы пытаемся увеличить вероятность того, что редкое событие произойдет хотя бы один раз, проводя больше испытаний. Например, соискатель может возразить: «Если я отправлю свое резюме в достаточное количество мест, закон средних чисел гласит, что кто-то в конечном итоге меня наймет». Если предположить, что вероятность не равна нулю, это правда, что проведение большего количества испытаний увеличивает общую вероятность желаемого результата. Однако не существует определенного количества испытаний, гарантирующего такой результат; скорее, вероятность того, что это уже произошло, приближается, но никогда не достигает 100%.

Чикаго Кабс

В песне Стива Гудмана « Последний запрос фаната Dying Cub » упоминается закон средних чисел в отношении «Чикаго Кабс» отсутствия успехов в чемпионате. На момент записи песни Гудманом в 1981 году «Кабс» не выигрывали чемпионаты Национальной лиги с 1945 года и не выигрывали Мировую серию с 1908 года . Эта тщетность будет продолжаться до тех пор, пока «Кабс», наконец, не выиграют оба турнира в 2016 году .

См. также

Ссылки

^ «Закон средних чисел» . Кембриджский словарь.
^ «Закон средних чисел» . Мерриам Вебстер .
^ Рис, DG (2001) Основная статистика , 4-е издание, Chapman & Hall/CRC. ISBN 1-58488-007-4 (стр. 48)
^ «Что такое закон средних чисел? - Определение с сайта WhatIs.com» . WhatIs.com .
^ Шварц, Дэвид Г. «Как казино используют математику, чтобы зарабатывать деньги, когда вы играете в игровые автоматы» . Форбс . Проверено 12 сентября 2018 г.

[1] «Закон средних чисел» . Кембриджский словарь.

[2] «Закон средних чисел» . Мерриам Вебстер .

[Rees-3] Рис, DG (2001) Основная статистика , 4-е издание, Chapman & Hall/CRC. ISBN 1-58488-007-4 (стр. 48)

[4] «Что такое закон средних чисел? - Определение с сайта WhatIs.com» . WhatIs.com .

[5] Шварц, Дэвид Г. «Как казино используют математику, чтобы зарабатывать деньги, когда вы играете в игровые автоматы» . Форбс . Проверено 12 сентября 2018 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]