Среднее геометрическо-гармоническое

В математике среднее геометрическое гармоническое M( x , y ) двух положительных действительных чисел x и y определяется следующим образом: мы формируем среднее геометрическое g 0 ₌ x и h 0 ₌ y и называем его g ₁ , т. е. g ₁ — это квадратный корень из xy . Мы также формируем среднее гармоническое значение x h и y и называем его 1 _, т.е. h ₁ является обратной величиной среднего арифметического обратных величин x и y . Это можно делать последовательно (в любом порядке) или одновременно.

Теперь мы можем повторить эту операцию, используя g ₁ вместо x и h ₁ вместо y . Таким образом две взаимозависимые последовательности ( g _n ) и ( h _n определяются ):

$g_{n+1}={\sqrt {g_{n}h_{n}}}$

и

$h_{n+1}={\frac {2}{{\frac {1}{g_{n}}}+{\frac {1}{h_{n}}}}}$

Обе эти последовательности сходятся к одному и тому же числу, которое мы называем геометрическо-гармоническим средним M( x , y ) x и y . Среднее геометрическое-гармоническое также обозначается как среднее гармоническое-геометрическое . (см. Wolfram MathWorld ниже.)

Существование предела можно доказать с помощью теоремы Больцано–Вейерштрасса способом, почти идентичным доказательству существования среднего арифметико-геометрического .

Характеристики

M( x , y ) — число между средним геометрическим и гармоническим средним значением x и y ; в частности, это между x и y . M( x , y ) также является однородным , т.е. если r > 0, то M( rx , ry ) = r M( x , y ).

Если AG( x , y ) — среднее арифметико-геометрическое , то мы также имеем

$M(x,y)={\frac {1}{AG({\frac {1}{x}},{\frac {1}{y}})}}$

Неравенства

У нас есть следующее неравенство, включающее средние Пифагора { H , G , A } и итерированные средние Пифагора { HG , HA , GA }:

$\min(x,y)\leq H(x,y)\leq HG(x,y)\leq G(x,y)\leq GA(x,y)\leq A(x,y)\leq \max(x,y)$

где итерированные пифагорейские средние были отождествлены с их частями { H , G , A } в возрастающем порядке:

• H ( x , y ) — среднее гармоническое,
• HG ( x , y ) — среднее гармонико-геометрическое,
• G ( x , y ) = HA ( x , y ) — среднее геометрическое (которое также является средним гармоническим и арифметическим),
• GA ( x , y ) — среднее геометрическое и арифметическое,
• A ( x , y ) — среднее арифметическое.

См. также

• Среднее арифметико-геометрическое
• Среднее арифметико-гармоническое
• Иметь в виду

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Гармонно-геометрическое среднее» . Математический мир .