Закон Тейлора

Не путать с законом Тейлора или правилом Тейлора .

Степенной закон Тейлора - это эмпирический закон экологии , который связывает дисперсию числа особей вида на единицу площади среды обитания с соответствующим средним значением по степенному закону . Он назван в честь эколога, который впервые предложил его в 1961 году, Лайонела Роя Тейлора (1924–2007). Первоначальное название этих отношений, данное Тейлором, было «закон середины». Название «Закон Тейлора» было предложено Саутвудом в 1966 году.

Определение

Этот закон изначально был определен для экологических систем, в частности, для оценки пространственной кластеризации организмов. Для подсчета населения $Y$ со средним $\mu$ и дисперсия $\operatorname {var} (Y)$, закон Тейлора записан

$\operatorname {var} (Y)=a\mu ^{b},$

где a и b — положительные константы. Тейлор предложил эту взаимосвязь в 1961 году, предложив считать показатель степени b видоспецифичным индексом агрегации. Этот степенной закон впоследствии был подтвержден для многих сотен видов.

Закон Тейлора также применялся для оценки зависящих от времени изменений распределения населения. Связанное с этим отклонение от законов средней степени также было продемонстрировано в нескольких неэкологических системах:

• метастазы рака
• количество домов, построенных на равнине Тонами в Японии.
• эпидемиология кори
• ВИЧ , эпидемиология
• географическая группировка детской лейкемии
• неоднородность кровотока
• геномное распределение однонуклеотидных полиморфизмов (SNP)
• генные структуры
• в теории чисел с последовательными значениями функции Мертенса а также с распределением простых чисел
• из отклонений собственных значений гауссовых ортогональных и унитарных ансамблей случайных матриц теории

История

Впервые двойной логарифмический график был использован Рейнольдсом в 1879 году в области тепловой аэродинамики. Парето использовал аналогичный график для изучения доли населения и его доходов.

Термин «дисперсия» был введен Фишером в 1918 году.

Биология

Пирсон в 1921 году предложил уравнение (также изученное Нейманом )

$s^{2}=am+bm^{2}$

Смит в 1938 году, изучая урожайность сельскохозяйственных культур, предложил зависимость, аналогичную зависимости Тейлора. Эти отношения были

$\log V_{x}=\log V_{1}+b\log x\,$

где V _x — дисперсия урожайности для участков площадью x единиц, V ₁ — дисперсия урожайности на единицу площади, а x — размер участков. Наклон ( b ) является показателем неоднородности. Значение b в этом отношении лежит между 0 и 1. Там, где доходность сильно коррелирует, b стремится к 0; когда они некоррелированы, b стремится к 1.

Блаженство в 1941 году Фрекер и Бришл в 1941 году и Хейман и Лоу в 1961 году также описал то, что сейчас известно как закон Тейлора, но в контексте данных по отдельным видам.

В статье Тейлора 1961 года использовались данные из 24 статей, опубликованных между 1936 и 1960 годами, в которых рассматривались различные биологические условия: вирусные поражения, макрозоопланктон , черви и симфилиды в почве , насекомые в почве, на растениях и в воздухе, клещи на листьях. , клещей на овцах и рыбе в море .; значение b лежало между 1 и 3. Тейлор предложил степенной закон как общую особенность пространственного распределения этих видов. Он также предложил механистическую гипотезу для объяснения этого закона.

Первоначальные попытки объяснить пространственное распределение животных были основаны на таких подходах, как Бартлетта стохастические популяционные модели и отрицательное биномиальное распределение , которое могло возникнуть в результате процессов рождения и смерти . Объяснение Тейлора основывалось на предположении о сбалансированном миграционном и стайном поведении животных. Его гипотеза изначально была качественной, но по мере развития она стала полуколичественной и подтверждалась моделированием.

Было выдвинуто множество альтернативных гипотез степенного закона. Хански предложил модель случайного блуждания, модулируемую предполагаемым мультипликативным эффектом воспроизводства. Модель Хански предсказывала, что показатель степени степенного закона будет ограничен в пределах значения 2, что казалось несовместимым со многими зарегистрированными значениями.

Андерсон и др. сформулировали простую стохастическую модель рождения, смерти, иммиграции и эмиграции, которая привела к квадратичной функции дисперсии. В ответ на эту модель Тейлор утверждал, что такой марковский процесс будет предсказывать, что показатель степени будет значительно различаться между повторными наблюдениями, и что такая изменчивость не наблюдалась.

Кемп рассмотрел ряд дискретных стохастических моделей, основанных на отрицательном биномиальном распределении, распределении Неймана типа A и Пойя-Эппли, которые при соответствующей настройке параметров могут привести к отклонению от среднего степенного закона. Кемп, однако, не объяснил параметризацию своих моделей с механистической точки зрения. Затем последовали другие относительно абстрактные модели закона Тейлора.

Статистические опасения были высказаны в отношении закона Тейлора, основанные на сложности с реальными данными в различении закона Тейлора и других отклонений от средних функций, а также неточности стандартных методов регрессии.

Закон Тейлора был применен к данным временных рядов, и Перри с помощью моделирования показал, что теория хаоса может привести к закону Тейлора.

Закон Тейлора был применен к пространству распределения растений. и бактериальные популяции Как и в случае с упомянутыми ранее наблюдениями за вирусом некроза табака, эти наблюдения не соответствовали модели поведения животных Тейлора.

Отклонение средней степенной функции применялось к неэкологическим системам в соответствии с законом Тейлора. Более общее объяснение диапазона проявлений степенного закона была предложена гипотезой, основанной на распределениях Твиди , семейство вероятностных моделей, которые выражают внутреннюю зависимость степенной функции между дисперсией и средним значением.

Было предложено несколько альтернативных гипотез степенного закона. Хански предложил модель случайного блуждания, модулируемую предполагаемым мультипликативным эффектом воспроизводства. Модель Хански предсказывала, что показатель степени степенного закона будет ограничен в пределах значения 2, что казалось несовместимым со многими зарегистрированными значениями. Андерсон и др. сформулировали простую стохастическую модель рождения, смерти, иммиграции и эмиграции, которая дала квадратичную функцию дисперсии. Модель Левонтина Коэна роста . это еще одно предлагаемое объяснение. Была поднята возможность того, что наблюдения за степенным законом могут отражать скорее математический артефакт, чем механистический процесс. Однако изменение показателей закона Тейлора, применимого к экологическим популяциям, не может быть объяснено или предсказано исключительно на статистических основаниях. Исследования показали, что изменение показателей закона Тейлора для рыбного сообщества Северного моря зависит от внешней среды, что позволяет предположить, что экологические процессы, по крайней мере частично, определяют форму закона Тейлора.

Физика

В физической литературе закон Тейлора называют флуктуационным масштабированием . Эйслер и др . в дальнейшей попытке найти общее объяснение масштабирования флуктуаций предложили процесс, который они назвали неоднородностью воздействия , при котором частые события связаны с более сильными воздействиями. Однако в приложении B к статье Эйслера авторы отметили, что уравнения ударной неоднородности дают те же математические зависимости, что и распределения Твиди.

Другая группа физиков, Фрончак и Фрончак, вывели степенной закон Тейлора для масштабирования флуктуаций из принципов равновесной и неравновесной статистической физики . Их вывод был основан на предположениях о физических величинах, таких как свободная энергия и внешнее поле , вызывающее скопление биологических организмов. Однако прямая экспериментальная демонстрация этих постулируемых физических величин в отношении агрегации животных или растений еще не достигнута. Вскоре после этого был представлен анализ модели Фрончака и Фрончака, который показал, что их уравнения напрямую приводят к распределениям Твиди, и это открытие позволило предположить, что Фрончак и Фрончак, возможно, обеспечили с максимальной энтропией . вывод этих распределений

Математика

Было показано, что закон Тейлора справедлив для простых чисел, не превышающих заданного действительного числа. Было показано, что этот результат справедлив для первых 11 миллионов простых чисел. Если гипотеза Харди-Литтлвуда о простых числах-близнецах верна, то этот закон справедлив и для простых чисел-близнецов.

Гипотеза Твиди

Примерно в то время, когда Тейлор обосновывал свои экологические наблюдения, MCK Tweedie , британский статистик и медицинский физик, исследовал семейство вероятностных моделей, которые теперь известны как распределения Твиди . Как упоминалось выше, все эти распределения характеризуются отклонением от среднего степенного закона, математически идентичного закону Тейлора.

Распределение Твиди, наиболее применимое для экологических наблюдений, представляет собой составное гамма-распределение Пуассона , которое представляет собой сумму N независимых и одинаково распределенных случайных величин с гамма-распределением, где N — случайная величина, распределенная в соответствии с распределением Пуассона. В аддитивной форме его кумулянтная производящая функция (CGF) равна:

$K_{b}^{*}(s;\theta ,\lambda )=\lambda \kappa _{b}(\theta )\left[\left(1+{s \over \theta }\right)^{\alpha }-1\right],$

где κ _b ( θ ) — кумулянтная функция,

$\kappa _{b}(\theta )={\frac {\alpha -1}{\alpha }}\left({\frac {\theta }{\alpha -1}}\right)^{\alpha },$

показатель Твиди

$\alpha ={\frac {b-2}{b-1}},$

s — переменная производящей функции, а θ и λ — канонический и индексный параметры соответственно.

Эти последние два параметра аналогичны параметрам масштаба и формы, используемым в теории вероятностей. Кумулянты в этого распределения можно определить путем последовательного дифференцирования CGF и последующей подстановки s=0 полученные уравнения. Первый и второй кумулянты представляют собой среднее значение и дисперсию соответственно, и, таким образом, составной CGF Пуассона-гамма дает закон Тейлора с константой пропорциональности.

$a=\lambda ^{1/(\alpha -1)}.$

Составная кумулятивная функция распределения Пуассона-гамма была проверена на ограниченных экологических данных путем сравнения теоретической функции распределения с эмпирической функцией распределения. Ряд других систем, демонстрирующих дисперсию законов средней степени, связанных с законом Тейлора, были аналогичным образом протестированы для составного гамма-распределения Пуассона.

Основное обоснование гипотезы Твиди основано на математических свойствах сходимости распределений Твиди. Теорема о сходимости Твиди требует, чтобы распределения Твиди действовали как фокусы сходимости для широкого спектра статистических процессов. Как следствие этой теоремы о сходимости, процессы, основанные на сумме множества независимых небольших скачков, будут иметь тенденцию выражать закон Тейлора и подчиняться распределению Твиди. Предельная теорема для независимых и одинаково распределенных переменных, как и теорема о сходимости Твиди, может тогда рассматриваться как фундаментальная по сравнению со специальными популяционными моделями или моделями, предлагаемыми на основе моделирования или аппроксимации.

Эта гипотеза остается спорной; более традиционные подходы к популяционной динамике , несмотря на то, что сложное распределение Пуассона Твиди может быть непосредственно применено к механизмам популяционной динамики. экологи предпочитают

Одна из трудностей гипотезы Твиди заключается в том, что значение b не находится в диапазоне от 0 до 1. Значения b <1 редки, но о них сообщалось.

Математическая формулировка

В символах

$s_{i}^{2}=am_{i}^{b},$

где я _​ ² — дисперсия плотности i- го образца, m _i — средняя плотность i- го образца, a и b — константы.

В логарифмической форме

$\log s_{i}^{2}=\log a+b\log m_{i}$

Масштабная инвариантность

Показатель степени в законе Тейлора инвариантен к масштабу: если единица измерения изменяется на постоянный коэффициент $c$, показатель ( $b$) остается неизменным.

Чтобы убедиться в этом, пусть y = cx . Затем

$\mu _{1}=\operatorname {E} (x)$

$\mu _{2}=\operatorname {E} (y)=\operatorname {E} (cx)=c\operatorname {E} (x)=c\mu _{1}$

$\sigma _{1}^{2}=\operatorname {E} ((x-\mu _{1})^{2})$

$\sigma _{2}^{2}=\operatorname {E} ((y-\mu _{2})^{2})=\operatorname {E} ((cx-c\mu _{1})^{2})=c^{2}\operatorname {E} ((x-\mu _{1})^{2})=c^{2}\sigma _{1}^{2}$

Закон Тейлора, выраженный в исходной переменной ( x ), равен

$\sigma _{1}^{2}=a\mu _{1}^{b}$

и в масштабированной переменной ( y ) это

$\sigma _{2}^{2}=c^{2}\sigma _{1}^{2}=c^{2}a\mu _{1}^{b}=c^{2-b}a(c\mu _{1})^{b}=c^{2-b}a\mu _{2}^{b}$

Таким образом, $\sigma _{2}^{2}$ все еще пропорционален $\mu _{2}^{b}$ (хотя константа пропорциональности изменилась).

Было показано, что закон Тейлора - единственная связь между средним значением и дисперсией, которая является масштабно-инвариантной.

Расширения и уточнения

Уточнение оценки наклона b было предложено Рейнером.

$b={\frac {f-\varphi +{\sqrt {(f-\varphi )^{2}-4r^{2}f\varphi }}}{2r{\sqrt {f}}}}$

где $r$ - коэффициент корреляции момента Пирсона между $\log(s^{2})$ и $\log m$, $f$ – это отношение выборочных дисперсий в $\log(s^{2})$ и $\log m$ и $\varphi$ это отношение ошибок в $\log(s^{2})$ и $\log m$.

Обычная регрессия наименьших квадратов предполагает, что φ = ∞. Это имеет тенденцию недооценивать значение b, поскольку оценки обоих $\log(s^{2})$ и $\log m$ подвержены ошибкам.

Расширение закона Тейлора было предложено Феррисом и др., когда берется несколько образцов.

$s^{2}=cn^{d}m^{b},$

где с ² и m — дисперсия и среднее значение соответственно, b , c и d — константы, а n — количество взятых выборок. На сегодняшний день не подтверждено, что это предложенное расширение так же применимо, как первоначальная версия закона Тейлора.

Небольшие образцы

Распространение этого закона на небольшие выборки было предложено Хански. Для небольших выборок вариация Пуассона ( P ) — вариация, которую можно приписать вариациям выборки — может быть значительной. Пусть S — общая дисперсия, а V — биологическая (реальная) дисперсия. Затем

$S=V+P$

Предполагая справедливость закона Тейлора, имеем

$V=am^{b}$

Поскольку в распределении Пуассона среднее значение равно дисперсии, мы имеем

$P=m$

Это дает нам

$S=V+P=am^{b}+m$

Это очень похоже на первоначальное предложение Барлетта.

Интерпретация

Значения наклона ( b ) значительно > 1 указывают на скопление организмов.

В с распределением Пуассона данных b = 1. Если популяция соответствует логнормальному или гамма-распределению , то b = 2.

Для популяций, которые испытывают постоянную изменчивость окружающей среды на душу населения, регрессия log(дисперсия) против log(средняя численность) должна иметь линию с b = 2.

Большинство изученных популяций имеют b < 2 (обычно 1,5–1,6), но сообщалось о значениях 2. о случаях с b > 2. Иногда сообщалось Значения b ниже 1 встречаются редко, но также сообщалось ( b = 0,93).

Было высказано предположение, что показатель степени закона ( b ) пропорционален асимметрии основного распределения. Это предложение подверглось критике: кажется, требуется дополнительная работа.

Примечания

Происхождение наклона ( b ) в этой регрессии остается неясным. Для объяснения этого были предложены две гипотезы. Один предполагает, что b возникает из-за поведения вида и является константой для этого вида. Альтернатива предполагает, что это зависит от выборки населения. Несмотря на значительное количество исследований, проведенных по этому закону (более 1000), этот вопрос остается открытым.

Известно, что как a, так и b могут меняться из-за возрастного рассредоточения, смертности и размера единицы выборки.

Этот закон может плохо подходить, если значения малы. предложил расширение закона Тейлора По этой причине Хански , которое улучшает соответствие закона Тейлора при низких плотностях.

Расширение кластерной выборки двоичных данных

форма закона Тейлора, применимая к двоичным данным в кластерах (например, квадратах). Была предложена В биномиальном распределении теоретическая дисперсия равна

${\text{var}}_{\text{bin}}=np(1-p),$

где (var _bin ) — биномиальная дисперсия, n — размер выборки на кластер, а p — доля людей с определенным признаком (например, заболеванием), оценка вероятности наличия у человека этого признака.

Одна из трудностей с двоичными данными заключается в том, что среднее значение и дисперсия, как правило, имеют определенную взаимосвязь: по мере того, как средняя доля инфицированных людей увеличивается выше 0,5, дисперсия уменьшается.

Теперь известно, что наблюдаемая дисперсия (var _obs ) изменяется как степенная функция от (var _bin ).

Хьюз и Мэдден отметили, что если распределение является Пуассоновым, среднее значение и дисперсия равны. Поскольку во многих наблюдаемых выборках пропорций это явно не так, вместо этого они предположили биномиальное распределение. Они заменили среднее значение в законе Тейлора биномиальной дисперсией, а затем сравнили эту теоретическую дисперсию с наблюдаемой дисперсией. Для биномиальных данных они показали, что var _obs = var _bin с избыточной дисперсией, var _obs > var _bin .

В символах модификация закона Тьялора, предложенная Хьюзом и Мэдденом, была

${\text{var}}_{\text{obs}}=a({\text{var}}_{\text{bin}})^{b}.$

В логарифмической форме это соотношение имеет вид

$\log({\text{var}}_{\text{obs}})=\log a+b\log({\text{var}}_{\text{bin}}).$

Эта последняя версия известна как бинарный степенной закон.

Ключевым шагом в выводе Хьюза и Мэддена бинарного степенного закона стало наблюдение Патила и Стателя. что отношение дисперсии к среднему, используемое для оценки чрезмерной дисперсии неограниченных чисел в одной выборке, на самом деле представляет собой соотношение двух дисперсий: наблюдаемой дисперсии и теоретической дисперсии для случайного распределения. Для неограниченного числа случайным распределением является распределение Пуассона. Таким образом, степенной закон Тейлора для набора выборок можно рассматривать как связь между наблюдаемой дисперсией и дисперсией Пуассона.

В более широком смысле, Мэдден и Хьюз рассматривал степенной закон как связь между двумя дисперсиями: наблюдаемой дисперсией и теоретической дисперсией для случайного распределения. В случае двоичных данных случайное распределение является биномиальным (не пуассоновским). Таким образом, степенной закон Тейлора и бинарный степенной закон представляют собой два частных случая общих степенных отношений неоднородности.

Когда и a, и b равны 1, предполагается мелкомасштабная случайная пространственная структура, которая лучше всего описывается биномиальным распределением. Когда b = 1 и a > 1, имеет место чрезмерная дисперсия (мелкомасштабная агрегация). Когда b > 1, степень агрегации зависит от p . Туречек и др. показали, что двоичный степенной закон описывает многочисленные наборы данных по патологии растений. В общем случае b больше 1 и меньше 2.

Соответствие этого закона было проверено с помощью моделирования. Эти результаты показывают, что вместо одной линии регрессии для набора данных сегментная регрессия может быть лучшей моделью для действительно случайных распределений. Однако эта сегментация происходит только на очень коротких расстояниях рассеяния и больших размерах квадратов. Разрыв линии происходит только при p, очень близком к 0.

Было предложено расширить действие этого закона. Первоначальная форма этого закона симметрична, но ее можно расширить до асимметричной формы. Используя моделирование, симметричная форма соответствует данным, когда существует положительная корреляция статуса заболевания соседей. Там, где существует отрицательная корреляция между вероятностью заражения соседей, асимметричная версия лучше соответствует данным.

Приложения

Из-за повсеместного распространения закона Тейлора в биологии он нашел множество применений, некоторые из которых перечислены здесь.

Рекомендации по использованию

Это было рекомендовано на основе исследований моделирования. в приложениях, проверяющих справедливость закона Тейлора на выборке данных, которая:

(1) общее количество изученных организмов > 15
(2) минимальное количество изучаемых групп организмов должно быть > 5
(3) плотность организмов должна варьироваться в пределах пробы не менее чем на 2 порядка.

Случайно распределенные популяции

Обычно предполагается (по крайней мере, на начальном этапе), что популяция распределена в окружающей среде случайным образом. Если популяция распределена случайным образом, то среднее значение ( m ) и дисперсия ( s ² ) популяции равны, а доля выборок, содержащих хотя бы одну особь ( p ), равна

$p=1-e^{-m}$

Когда вид с комковатым характером распределения сравнивается с видом, который распределен случайным образом с одинаковой общей плотностью, p будет меньше для вида, имеющего комковатый характер распределения. И наоборот, при сравнении равномерно и случайно распределенных видов, но при одинаковой общей плотности, p будет больше для случайно распределенной популяции. Это можно проверить графически, построив график зависимости p от m .

Уилсон и Роум разработали биномиальную модель, включающую закон Тейлора. Основное отношение – это

$p=1-e^{-m\log(s^{2}/m)(s^{2}/m-1)^{-1}}$

где журнал берется по основанию e .

С учетом закона Тейлора это соотношение становится

$p=1-e^{-m\log(am^{b-1})(am^{b-1}-1)^{-1}}$

Средство оценки параметров дисперсии

Общий параметр дисперсии ( k ) отрицательного биномиального распределения равен

$k={\frac {m^{2}}{s^{2}-m}}$

где $m$ это выборочное среднее и $s^{2}$ это дисперсия. Если 1/ k > 0, совокупность считается агрегированной; 1/ к = 0 ( с ² = m ) популяция считается распределенной случайным образом (по Пуассону), и если 1/ k < 0, популяция считается равномерно распределенной. Никакие комментарии по поводу распределения невозможны, если k = 0.

Уилсон и Роум, предполагая, что закон Тейлора применим к совокупности, дали альтернативную оценку k :

$k={\frac {m}{am^{b-1}-1}}$

где a и b — константы из закона Тейлора.

Джонс используя оценку k, приведенную выше, а также соотношение, полученное Уилсоном и Роомом для вероятности обнаружения выборки, содержащей хотя бы одного человека

$p=1-e^{-m\log(am^{b-1})(am^{b-1}-1)^{-1}}$

получил оценку вероятности того, что выборка будет содержать x особей на единицу выборки. Формула Джонса

$P(x)=P(x-1){\frac {k+x-1}{x}}{\frac {mk^{-1}}{mk^{-1}-1}}$

где P ( x ) — вероятность найти x особей на единицу выборки, k оценивается по уравнению Вилона и Рума, а m — выборочное среднее. Вероятность обнаружения нулевых особей P ( 0 ) оценивается с помощью отрицательного биномиального распределения

$P(0)=\left(1+{\frac {m}{k}}\right)^{-k}$

Джонс также дает доверительные интервалы для этих вероятностей.

$\mathrm {CI} =t\left({\frac {P(x)(1-P(x))}{N}}\right)^{1/2}$

где CI — доверительный интервал, t — критическое значение, взятое из распределения t, а N — общий размер выборки.

Семейство дистрибутивов Каца

Кац предложил семейство распределений ( Каца параметрами ( w1 _{) с двумя} , w2 _{семейство} ). Это семейство распределений включает в себя распределения Бернулли , геометрическое , Паскаля и Пуассона как особые случаи. Среднее значение и дисперсия распределения Каца равны

$m={\frac {w_{1}}{1-w_{2}}}$

$s^{2}={\frac {w_{1}}{(1-w_{2})^{2}}}$

где m — среднее значение, а s ² – это дисперсия выборки. Параметры можно оценить методом моментов, из которого имеем

${\frac {w_{1}}{1-w_{2}}}=m$

${\frac {w_{2}}{1-w_{2}}}={\frac {s^{2}-m}{m}}$

Для распределения Пуассона w ₂ = 0 и w ₁ = λ — параметр распределения Поссиона. Это семейство дистрибутивов также иногда называют семейством дистрибутивов Панджера.

Семейство Каца связано с семейством распределений Сундта-Джевела:

$p_{n}=\left(a+{\frac {b}{n}}\right)p_{n-1}$

Единственными членами семейства Сундта-Джевела являются распределения Пуассона, биномиальные, отрицательные биномиальные (Паскаля), расширенные усеченные отрицательные биномиальные и логарифмические распределения .

Если популяция подчиняется распределению Каца, то коэффициенты закона Тейлора равны

$a=-\log(1-w_{2})$

$b=1$

Кац также представил статистический тест

$J_{n}={\sqrt {\frac {n}{2}}}{\frac {s^{2}-m}{m}}$

где J _n – тестовая статистика, с ² — дисперсия выборки, m — среднее значение выборки, а n — размер выборки. J _n имеет асимптотически нормальное распределение с нулевым средним значением и единичной дисперсией. Если выборка распределена по Пуассону, J _n = 0; значения J _n < 0 и > 0 указывают на недостаточную и повышенную дисперсию соответственно. Чрезмерная дисперсия часто вызвана скрытой гетерогенностью – наличием нескольких субпопуляций внутри популяции, из которой формируется выборка.

Эта статистика связана со статистикой Неймана – Скотта.

$NS={\sqrt {\frac {n-1}{2}}}\left({\frac {s^{2}}{m}}-1\right)$

которая, как известно, асимптотически нормальна, и условная статистика хи-квадрат (критерий дисперсии Пуассона)

$T={\frac {(n-1)s^{2}}{m}}$

которое, как известно, имеет асимптотическое распределение хи-квадрат с n - 1 степенями свободы, когда популяция распределена по Пуассону.

Если население подчиняется закону Тейлора, то

$J_{n}={\sqrt {\frac {n}{2}}}(am^{b-1}-1)$

Время вымирания

Если предположить, что применим закон Тейлора, можно определить среднее время до локального вымирания. Эта модель предполагает простое случайное блуждание во времени и отсутствие регулирования численности населения в зависимости от плотности.

Позволять $N_{t+1}=rN_{t}$ где N _{t +1} и N _t — размеры популяции в момент времени t + 1 и t соответственно, а r — параметр, равный ежегодному приросту (уменьшению численности населения). Затем

$\operatorname {var} (r)=s^{2}\log r$

где ${\text{var}}(r)$ это дисперсия $r$.

Позволять $K$ быть мерой численности вида (организмов на единицу площади). Затем

$T_{E}={\frac {2\log N}{\operatorname {Var} (r)}}\left(\log K-{\frac {\log N}{2}}\right)$

где T _E — среднее время до локального затухания.

Вероятность вымирания к моменту t равна

$P(t)=1-e^{t/T_{E}}$

Минимальный размер популяции, необходимый, чтобы избежать вымирания

Если популяция распределена логнормально , то среднее гармоническое размера популяции ( H ) связано со средним арифметическим ( m ).

$H=m-am^{b-1}$

Учитывая, что H должно быть > 0, чтобы популяция сохранялась, тогда мы имеем перестановку

$m>a^{1/(2-b)}$

— минимальный размер популяции, при котором вид может сохраниться.

Предположение о логнормальном распределении, по-видимому, применимо примерно к половине выборки из 544 видов. предполагая, что это, по крайней мере, правдоподобное предположение.

Оценщики размера выборки

Степень точности ( D ) определяется как s / m, где s — стандартное отклонение , а m — среднее значение. Степень точности известна как коэффициент вариации в других контекстах. В экологических исследованиях рекомендуется, чтобы D находилась в пределах 10–25%. Желаемая степень точности важна при оценке необходимого размера выборки, когда исследователь хочет проверить, применим ли к данным закон Тейлора. Требуемый размер выборки был оценен для ряда простых распределений, но если распределение генеральной совокупности неизвестно или его нельзя предположить, для определения требуемого размера выборки могут потребоваться более сложные формулы.

Если совокупность распределена по Пуассону, размер выборки ( n необходимый ) равен

$n={\frac {(t/D)^{2}}{m}}$

где t — критический уровень распределения t для ошибки 1-го типа со степенями свободы среднее значение ( m , с которыми было рассчитано ).

Если совокупность распределена как отрицательное биномиальное распределение , то требуемый размер выборки равен

$n={\frac {(t/D)^{2}(m+k)}{mk}}$

где k — параметр отрицательного биномиального распределения.

Также была предложена более общая оценка размера выборки.

$n=\left({\frac {t}{D}}\right)^{2}am^{b-2}$

где a и b получены из закона Тейлора.

Альтернативу предложил Саутвуд.

$n=a{\frac {m^{b}}{D^{2}}}\,$

где n — требуемый размер выборки, a и b — коэффициенты закона Тейлора, а D — желаемая степень точности.

Карандинос предложил две аналогичные оценки для n . Первый был модифицирован Рюсинком, чтобы включить в него закон Тейлора.

$n=\left({\frac {t}{d_{m}}}\right)^{2}am^{b-2}$

где d — отношение половины желаемого доверительного интервала ( CI ) к среднему значению. В символах

$d_{m}={\frac {CI}{2m}}$

Вторая оценка используется при биномиальной выборке (наличие-отсутствие). Желаемый размер выборки ( n ) равен

$n=\left(td_{p}\right)^{2}p^{-1}q$

где d _p — отношение половины желаемого доверительного интервала к доле единиц выборки с отдельными лицами, p — доля выборок, содержащих отдельных лиц, и q = 1 — p . В символах

$d_{p}={\frac {CI}{2p}}$

Для двоичной выборки (наличие/отсутствие) Шультесс и др. модифицировали уравнение Карандиноса.

$N=\left({\frac {t}{D_{pi}}}\right)^{2}{\frac {1-p}{p}}$

где N — требуемый размер выборки, p — доля единиц, содержащих интересующие организмы, t — выбранный уровень значимости, а D _ip — параметр, полученный на основе закона Тейлора.

Последовательный отбор проб

Последовательный анализ — это метод статистического анализа , при котором размер выборки не фиксируется заранее. Вместо этого пробы отбираются в соответствии с заранее заданным правилом остановки . Закон Тейлора использовался для вывода ряда правил остановки.

Формула фиксированной точности серийной выборки для проверки закона Тейлора была выведена Грином в 1970 году.

$\log T={\frac {\log(D^{2})-a}{b-2}}+(\log n){\frac {b-1}{b-2}}$

где T — общая совокупная выборка, D — уровень точности, n — размер выборки, а a и b получены из закона Тейлора.

В качестве помощи в борьбе с вредителями Wilson и др. разработали тест, включающий пороговый уровень, при котором следует предпринять действия. Требуемый размер выборки составляет

$n=t|m-T|^{-2}am^{b}$

где a и b — коэффициенты Тейлора, || — абсолютное значение , m — выборочное среднее, T — пороговый уровень, а t — критический уровень распределения t. Авторы также предоставили аналогичный тест для биномиальной (наличия-отсутствия) выборки.

$n=t|m-T|^{-2}pq$

где p — вероятность обнаружения образца с присутствием вредителей и q = 1 — p .

Грин вывел еще одну формулу последовательной выборки, основанную на законе Тейлора.

$D=(an^{1-b}T^{b-2})^{1/2}$

где D — степень точности, a и b — коэффициенты закона Тейлора, n — размер выборки, а T — общее количество отобранных лиц.

Серра и др. предложили правило остановки, основанное на законе Тейлора.

$T_{n}\geq \left({\frac {an^{1-b}}{D^{2}}}\right)^{1/(2-b)}$

где a и b — параметры закона Тейлора, D — желаемый уровень точности, а T _n — общий размер выборки.

Серра и др. также предложили второе правило остановки, основанное на регрессии Ивоа.

$T_{n}\geq {\frac {\alpha -1}{D^{2}-{\frac {\beta -1}{n}}}}$

где α и β — параметры линии регрессии, D — желаемый уровень точности, а T _n — общий размер выборки.

Авторы рекомендовали установить D на уровне 0,1 для изучения динамики популяций и D = 0,25 для борьбы с вредителями.

Связанные анализы

Считается хорошей практикой провести хотя бы один дополнительный анализ агрегирования (кроме закона Тейлора), поскольку использование только одного индекса может ввести в заблуждение. Хотя был предложен ряд других методов обнаружения взаимосвязей между дисперсией и средним значением в биологических образцах, ни один из них на сегодняшний день не достиг такой популярности, как закон Тейлора. Самым популярным анализом, используемым в сочетании с законом Тейлора, вероятно, является регрессионный тест Ивао на неоднородность, но все перечисленные здесь методы использовались в литературе.

Модель Барлетта – Ивао

Барлетт в 1936 году а затем Ивао независимо в 1968 году. оба предложили альтернативную связь между дисперсией и средним значением. В символах

$s_{i}^{2}=am_{i}+bm_{i}^{2}\,$

где s — дисперсия в i- й выборке, а m _i — среднее значение i -й выборки.

Когда популяция следует отрицательному биномиальному распределению , a = 1 и b = k (показатель отрицательного биномиального распределения).

В большинстве исследований эта альтернативная формулировка не оказалась столь же подходящей, как закон Тейлора.

Модель Нахмана

Нахман предложил взаимосвязь между средней плотностью и долей образцов с нулевым подсчетом:

$p_{0}=\exp(-am^{b})$

где p ₀ — доля выборки с нулевым количеством отсчетов, m — средняя плотность, a — параметр масштаба и b — параметр дисперсии. Если a = b = 1, распределение является случайным. Это соотношение обычно проверяется в логарифмической форме.

$\log m=c+d\log p_{0}$

Олсоп использовал это соотношение вместе с законом Тейлора, чтобы получить выражение для доли зараженных единиц в выборке.

$P_{1}=1-\exp \left(-\exp \left({\frac {{\frac {\log _{e}\left({\frac {A^{2}}{a}}\right)}{b-2}}+\log _{e}(n)\left({\frac {b-1}{b-2}}-1\right)-c}{d}}\right)\right)$

$N=nP_{1}$

где

$A^{2}={\frac {D^{2}}{z_{\alpha /2}^{2}}}$

где Д ² — желаемая степень точности, z _α/2 — верхнее значение α/2 нормального распределения, a и b — коэффициенты закона Тейлора, c и d — коэффициенты Нахмана, n — размер выборки и N — количество зараженные единицы.

Уравнение Коно – Сугино

Бинарная выборка нередко используется в экологии. В 1958 году Коно и Сугино вывели уравнение, которое связывает долю выборок без особей со средней плотностью выборок.

$\log(m)=\log(a)+b\log(-\log(p_{0}))$

где p ₀ — доля выборки без особей, m — средняя плотность выборки, a и b — константы. Было обнаружено, что, как и закон Тейлора, это уравнение подходит для различных групп населения, включая те, которые подчиняются закону Тейлора. В отличие от отрицательного биномиального распределения эта модель не зависит от средней плотности.

Вывод этого уравнения прост. Пусть доля пустых единиц равна p ₀ и предположим, что они распределены экспоненциально. Затем

$p_{0}=\exp(-Am^{B})$

Дважды взяв бревна и переставив их, мы получаем приведенное выше уравнение. Эта модель аналогична модели, предложенной Нахманом.

Преимущество этой модели в том, что она требует не подсчета особей, а их присутствия или отсутствия. Во многих случаях подсчет особей может быть невозможен, особенно когда объектом изучения являются насекомые.

Примечание

Уравнение было получено при исследовании взаимосвязи между долей P в ряде заражённых рисовых холмов и средней тяжестью заражения m . Изучаемая модель была

$P=1-ae^{bm}$

где a и b — эмпирические константы. На основе этой модели были выведены константы a и b и составлена ​​таблица, связывающая значения P и m.

Использование

Прогнозируемые оценки m из этого уравнения подвержены смещению. и вместо этого рекомендуется скорректированное среднее значение ( m _{a )} использовать

$m_{a}=m\left(1-{\frac {\operatorname {var} (\log(m_{i}))}{2}}\right)$

где var — дисперсия среднего значения единицы выборки m _i , а m — общее среднее значение.

Альтернативная корректировка средних оценок:

$m_{a}=me^{({\text{MSE}}/2)}$

где MSE — среднеквадратическая ошибка регрессии.

Эту модель также можно использовать для оценки стоп-линий при счетной (последовательной) выборке. Дисперсия расчетных средних равна

$\operatorname {var} (m)=m^{2}(c_{1}+c_{2}-c_{3}+{\text{MSE}})$

где

$c_{1}={\frac {\beta ^{2}(1-p_{0})}{np_{0}\log _{e}(p_{0})^{2}}}$

$c_{2}={\frac {\text{MSE}}{N}}+s_{\beta }^{2}(\log _{e}(\log _{e}(p_{0}))-p^{2})$

$c_{3}={\frac {\exp(a+(b-2)[\alpha -\beta \log _{e}(p_{0})])}{n}}$

где MSE — среднеквадратическая ошибка регрессии, α и β — константа и наклон регрессии соответственно, s _β ² — дисперсия наклона регрессии, N — количество точек в регрессии, — количество единиц выборки, а p — среднее значение p0 _n в регрессии. Параметры a и b оцениваются по закону Тейлора:

$s^{2}=a+b\log _{e}(m)$

Уравнение Хьюза – Мэддена

Хьюз и Мэдден предложили проверить аналогичную зависимость, применимую к двойным наблюдениям в кластере, где каждый кластер содержит от 0 до n особей.

$var_{\text{obs}}=ap^{b}(1-p)^{c}$

где a , b и c — константы, var _obs — наблюдаемая дисперсия, а p — доля людей с признаком (например, заболеванием), оценка вероятности появления человека с признаком. В логарифмической форме это соотношение имеет вид

$\log(\operatorname {var} _{\text{obs}})=\log(a)+b\log(p)+c\log(1-p).$

В большинстве случаев предполагается, что b = c , что приводит к простой модели.

$\operatorname {var} _{\text{obs}}=a(p(1-p))^{b}$

Это соотношение подвергалось менее тщательному тестированию, чем закон Тейлора. Однако он точно описал более 100 наборов данных, и нет опубликованных примеров, сообщающих о том, что он не работает.

Вариант этого уравнения был предложен Шиёми и др. ( ), который предложил протестировать регрессию

$\log(\operatorname {var} _{\text{obs}}/n^{2})=a+b\log {\frac {p(1-p)}{n}}$

где var _obs — дисперсия, a и b — константы регрессии, n — здесь размер выборки (не выборка на кластер), а p — вероятность того, что выборка будет содержать хотя бы одного человека.

Модель отрицательного биномиального распределения

Также была предложена отрицательная биномиальная модель. Параметр дисперсии ( k ) по методу моментов равен m ² / ( с ² – m ), а pi _– доля выборок с числом > 0. s ² при расчете k используются значения, предсказанные законом Тейлора. p _i отображается в зависимости от 1 - ( k ( k + m ) ⁻¹ ) ^к и соответствие данных проверяют визуально.

Перри и Тейлор предложили альтернативную оценку k , основанную на законе Тейлора.

${\frac {1}{k}}={\frac {am^{b-2}-1}{m}}$

Более точную оценку параметра дисперсии можно сделать с помощью метода максимального правдоподобия . Для отрицательного бинома его можно оценить из уравнения

$\sum {\frac {A_{x}}{k+x}}=N\log \left(1+{\frac {m}{k}}\right)$

где A _x — общее количество выборок с более чем x особями, N — общее количество особей, x — количество особей в выборке, m — среднее количество особей в выборке, а k — показатель степени. Значение k необходимо оценить численно.

Степень соответствия этой модели можно проверить несколькими способами, в том числе с помощью теста хи-квадрат. Поскольку они могут быть смещены из-за небольших выборок, альтернативой является статистика U – разница между дисперсией, ожидаемой при отрицательном биномиальном распределении, и дисперсией выборки. Ожидаемая дисперсия этого распределения равна m + m. ² / к и

$U=s^{2}-m+{\frac {m^{2}}{k}}$

где с ² — выборочная дисперсия, m — выборочное среднее, а k — отрицательный биномиальный параметр.

Дисперсия U равна

$\operatorname {var} (U)=2mp^{2}q\left({\frac {1-R^{2}}{-\log(1-R)-R}}\right)+p^{4}{\frac {(1-R)^{-k}-1-kR}{N(-\log(1-R)-R)^{2}}}$

где p = m / k , q = 1 + p , R = p / q и N — общее количество особей в выборке. Ожидаемое значение U равно 0. Для больших размеров выборки U распределяется нормально.

Примечание. Отрицательный бином на самом деле представляет собой семейство распределений, определяемое отношением среднего значения к дисперсии.

$\sigma ^{2}=\mu +a\mu ^{p}$

где a и p — константы. Когда a = 0, это определяет распределение Пуассона. При p = 1 и p = 2 распределение известно как распределение NB1 и NB2 соответственно.

Эта модель представляет собой версию предложенной ранее Барлеттом.

Тесты на общий параметр дисперсии

Параметр дисперсии ( k ) является

$k={\frac {m^{2}}{s^{2}-m}}$

где m — выборочное среднее значение, а s ² это дисперсия. Если к ⁻¹ > 0 популяция считается агрегированной; к ⁻¹ = 0 популяция считается случайной; и если к ⁻¹ < 0 популяция считается распределенной равномерно.

Саутвуд рекомендовал регрессию k по отношению к среднему и постоянному значению.

$k_{i}=a+bm_{i}$

где ki _{параметр дисперсии и} и mi _— среднее значение i-го образца соответственно для проверки существования общего параметра дисперсии ( k _c ). Значение наклона ( b ) значительно > 0 указывает на зависимость k от средней плотности.

Альтернативный метод был предложен Эллиотом, который предложил построить график ( s ² − м ) против ( м ² − с ² / н ). k _c равен 1/наклон этой регрессии.

Коэффициент Шарлье

Этот коэффициент ( C ) определяется как

$C={\frac {100(s^{2}-m)^{0.5}}{m}}$

Если можно предположить, что совокупность распределена отрицательным биномиальным образом, то C = 100 (1/ k ) ^0.5 где k — дисперсионный параметр распределения.

Индекс дисперсии Коула

Этот индекс ( I _c ) определяется как

$I_{c}={\frac {\sum x^{2}}{(\sum x)^{2}}}$

Обычная интерпретация этого индекса следующая: значения I _c < 1, = 1, > 1 означают равномерное распределение, случайное распределение или агрегированное распределение.

Потому что с ² = Σ х ² − (Σx) ² , индекс также можно записать

$I_{c}={\frac {s^{2}+(nm)^{2}}{(nm)^{2}}}={\frac {1}{n^{2}}}{\frac {s^{2}}{m^{2}}}+1$

Если можно предположить, что закон Тейлора выполняется, то

$I_{c}={\frac {am^{b-2}}{n^{2}}}+1$

Индексы Ллойда

Индекс средней скученности Ллойда ( IMC ) — это среднее количество других точек, содержащихся в единице выборки, содержащей случайно выбранную точку.

$\mathrm {IMC} =m+{\frac {s^{2}}{m-1}}$

где m — выборочное среднее значение, а s ² это дисперсия.

Индекс неоднородности Ллойда ( IP ) является

$\mathrm {IP} ={\text{IMC}}/m$

Это мера интенсивности рисунка, на которую не влияет прореживание (произвольное удаление точек). Этот индекс также был предложен Пьелу в 1988 году и иногда также известен под этим названием.

Поскольку оценку дисперсии IP чрезвычайно сложно оценить по самой формуле, ЛЛиод предложил подогнать к данным отрицательное биномиальное распределение. Этот метод дает параметр k

$s^{2}=m+{\frac {m^{2}}{k}}$

Затем

$SE(IP)={\frac {1}{k^{2}}}\left[\operatorname {var} (k)+{\frac {k(k+1)(k+m)}{mq}}\right]$

где $SE(IP)$ — стандартная ошибка индекса неоднородности, ${\text{var}}(k)$ — дисперсия параметра k , а q — количество выбранных квадратов .

Если население подчиняется закону Тейлора, то

$\mathrm {IMC} =m+a^{-1}m^{1-b}-1$

$\mathrm {IP} =1+a^{-1}m^{-b}-{\frac {1}{m}}$

Регрессионный тест неоднородности

Ивао предложил регрессию пятнистости для проверки комкования.

Позволять

$y_{i}=m_{i}+{\frac {s^{2}}{m_{i}}}-1$

А _вот индекс средней скученности Ллойда. Выполните обычную регрессию m _i по методу наименьших квадратов y .

В этой регрессии значение наклона ( b ) является индикатором сгущения: наклон = 1, если данные распределены по Пуассону. Константа ( a ) — это количество особей, которые разделяют единицу среды обитания с бесконечно малой плотностью и может быть <0, 0 или> 0. Эти значения представляют регулярность, случайность и агрегацию популяций в пространственных структурах соответственно. Значение a < 1 означает, что базовой единицей распределения является одна особь.

статистика Где ² / m не является постоянным, вместо этого рекомендуется использовать его для регрессии индекса Ллойда против am + bm. ² где a и b — константы.

Размер выборки ( n ) для заданной степени точности ( D ) для этой регрессии определяется выражением

$n=\left({\frac {t}{D}}\right)^{2}\left({\frac {a+1}{m}}+b-1\right)$

где a — константа в этой регрессии, b — наклон, m — среднее значение, а t — критическое значение распределения t.

Ивао предложил последовательный выборочный тест, основанный на этой регрессии. Верхний и нижний пределы этого испытания основаны на критической плотности m _c , когда борьба с вредителем требует принятия мер.

$N_{u}=im_{c}+t(i(a+1)m_{c}+(b-1)m_{c}^{2})^{1/2}$

$N_{l}=im_{c}-t(i(a+1)m_{c}+(b-1)m_{c}^{2})^{1/2}$

где N _u и N _l — верхняя и нижняя границы соответственно, a — константа регрессии, b — наклон, а i — количество выборок.

Куно предложил альтернативный тест последовательной остановки, также основанный на этой регрессии.

$T_{n}={\frac {a+1}{D^{2}-{\frac {b-1}{n}}}}$

где T _n — общий размер выборки, D — степень точности, n — количество единиц выборки, a — константа, а b — наклон регрессии соответственно.

Тест Куно подчиняется условию, что n ≥ ( b − 1) / D ²

Паррелла и Джонс предложили альтернативную, но связанную стоп-линию.

$T_{n}=\left(1-{\frac {n}{N}}\right){\frac {a+1}{D^{2}-\left(1-{\frac {n}{N}}\right){\frac {b-1}{n}}}}$

где a и b — параметры регрессии, N — максимальное количество единиц выборки, а n — индивидуальный размер выборки.

Индекс дисперсии Мориситы

Индекс дисперсии Мориситы ( I _m ) представляет собой масштабированную вероятность того, что две точки, выбранные случайным образом из всей совокупности, попадают в одну и ту же выборку. Более высокие значения указывают на более сгущенное распределение.

$I_{m}={\frac {\sum x(x-1)}{nm(m-1)}}$

Альтернативная формулировка

$I_{m}=n{\frac {\sum x^{2}-\sum x}{(\sum x)^{2}-\sum x}}$

где n — общий размер выборки, m — среднее значение выборки, а x — отдельные значения с суммой, взятой по всей выборке. Оно также равно

$I_{m}={\frac {n\operatorname {IMC} }{nm-1}}$

где IMC — индекс скученности Ллойда.

Этот индекс относительно не зависит от плотности населения, но зависит от размера выборки. Значения > 1 указывают на слипание; значения < 1 указывают на равномерность распределения, а значение 1 указывает на случайную выборку.

Морисита показал, что статистика

$I_{m}\left(\sum x-1\right)+n-\sum x$

распределяется как переменная хи-квадрат с n - 1 степенями свободы.

Альтернативный тест значимости этого индекса был разработан для больших выборок.

$z={\frac {I_{m}-1}{2/(nm^{2})}}$

где m — общее среднее значение выборки, n — количество единиц выборки, а z нормального распределения — абсцисса . Значимость проверяется путем сравнения значения z со значениями нормального распределения .

Функция для его расчета доступна на статистическом языке R в веганском пакете .

Обратите внимание: не путать с индексом перекрытия Мориситы .

Стандартизированный индекс Мориситы

Смит-Гилл разработал статистику, основанную на индексе Мориситы, который не зависит ни от размера выборки, ни от плотности населения и ограничен значениями -1 и +1. Эта статистика рассчитывается следующим образом

Сначала определите индекс Мориситы ( I _d ) обычным способом. Тогда пусть k — количество единиц, из которых была отобрана совокупность. Рассчитайте два критических значения

$M_{u}={\frac {\chi _{0.975}^{2}-k+\sum x}{\sum x-1}}$

$M_{c}={\frac {\chi _{0.025}^{2}-k+\sum x}{\sum x-1}}$

где х ² — значение хи-квадрат для n — 1 степеней свободы при уровнях достоверности 97,5% и 2,5%.

Стандартизированный индекс ( I _p ) затем рассчитывается по одной из формул, приведенных ниже.

Когда I _d ≥ M _c > 1

$I_{p}=0.5+0.5\left({\frac {I_{d}-M_{c}}{k-M_{c}}}\right)$

Когда M _c > I _d ≥ 1

$I_{p}=0.5\left({\frac {I_{d}-1}{M_{u}-1}}\right)$

Когда 1 > I _d ≥ M _u

$I_{p}=-0.5\left({\frac {I_{d}-1}{M_{u}-1}}\right)$

Когда 1 > M _u > I _d

$I_{p}=-0.5+0.5\left({\frac {I_{d}-M_{u}}{M_{u}}}\right)$

I _p находится в диапазоне от +1 до –1 с 95% доверительным интервалом ±0,5. I _p имеет значение 0, если шаблон случайный; если шаблон однородный, I _p < 0, а если шаблон демонстрирует агрегацию, I _p > 0.

Индекс пространственной агрегации Саутвуда

Индекс пространственной агрегации Саутвуда ( k ) определяется как

${\frac {1}{k}}={\frac {m^{*}}{m}}-1$

где m — среднее значение выборки, а m * — индекс скученности Ллойда.

Индекс дисперсии Фишера

Фишера Индекс дисперсии является

$\mathrm {ID} ={\frac {(n-1)s^{2}}{m}}$

Этот индекс можно использовать для проверки чрезмерной дисперсии населения. Рекомендуется, чтобы в приложениях n > 5 и что общее количество выборок, разделенное на количество выборок, составляет > 3. В символах

${\frac {\sum x}{n}}>3$

где x — значение отдельной выборки. Ожидание индекса равно n и распределяется как распределение хи-квадрат с n - 1 степенями свободы, когда популяция распределена по Пуассону. Он равен параметру масштаба, когда популяция подчиняется гамма-распределению .

Его можно применять как ко всей совокупности, так и к отдельным территориям, отобранным индивидуально. Использование этого теста на отдельных участках выборки должно также включать использование поправочного коэффициента Бонферрони.

Если население подчиняется закону Тейлора, то

$\mathrm {ID} =(n-1)am^{b-1}$

Индекс размера кластера

Индекс размера кластера ( ICS ) был создан Дэвидом и Муром. При случайном (Пуассоновом) распределении ICS ожидается, что будет равен 0. Положительные значения указывают на сгруппированное распределение; отрицательные значения указывают на равномерное распределение.

$\mathrm {ICS} ={\frac {s^{2}}{m-1}}$

где с ² — дисперсия, а m — среднее значение.

Если население подчиняется закону Тейлора

$\mathrm {ICS} =am^{b-1}-1$

ICS n также равен статистике теста Каца, разделенной на ( / 2 ). ^1/2 где n — размер выборки. Это также связано со статистикой теста Клэпхема. Его также иногда называют индексом сгущения.

индекс Грина

Индекс Грина ( GI ) — это модификация индекса размера кластера, которая не зависит от n количества единиц выборки.

$C_{x}={\frac {s^{2}/m-1}{nm-1}}$

Этот индекс равен 0, если распределение случайное, 1, если оно максимально агрегировано, и −1 / ( nm − 1 ), если оно равномерное.

Распределение индекса Грина в настоящее время неизвестно, поэтому для него сложно разработать статистические тесты.

Если население подчиняется закону Тейлора

$C_{x}={\frac {am^{b-1}-1}{nm-1}}$

Бинарный индекс дисперсии

Двоичная выборка (наличие/отсутствие) часто используется там, где трудно получить точные подсчеты. Индекс дисперсии ( D ) используется, когда исследуемая популяция делится на серию равных выборок (количество единиц = N : количество единиц в выборке = n : общий размер популяции = n x N ). Теоретическая дисперсия выборки из совокупности с биномиальным распределением равна

$s^{2}=np(1-p)$

где с ² - дисперсия, n - количество единиц выборки, а p - средняя доля единиц выборки, в которых присутствует хотя бы один человек. Индекс дисперсии ( D ) определяется как отношение наблюдаемой дисперсии к ожидаемой дисперсии. В символах

$D={\frac {{\text{var}}_{\text{obs}}}{{\text{var}}_{\text{bin}}}}={\frac {s^{2}}{np(1-p)}}$

где var _obs — наблюдаемая дисперсия, а var _bin — ожидаемая дисперсия. Ожидаемая дисперсия рассчитывается на основе общего среднего значения генеральной совокупности. Считается, что значения D > 1 предполагают агрегацию. D ( n - 1 ) распределяется как переменная хи-квадрат с n - 1 степенями свободы, где n - количество выбранных единиц.

Альтернативным тестом является C. тест

$C={\frac {D(nN-1)-nN}{(2N(n^{2}-n))^{1/2}}}$

где D — индекс дисперсии, n — количество единиц на образец, а N — количество образцов. C распространяется нормально. Статистически значимое значение C указывает на чрезмерную дисперсию населения.

D также связан с внутриклассовой корреляцией ( ρ ), которая определяется как

$\rho =1-{\frac {\sum x_{i}(T-x_{i})}{p(1-p)NT(T-1)}}$

где T — количество организмов в образце, p — вероятность того, что организм будет обладать искомым свойством (больной, свободный от вредителей и т. д. ), а xi _— количество организмов в i -й единице с этим свойством. T должен быть одинаковым для всех единиц выборки. В этом случае с n постоянным

$\rho ={\frac {D-1}{n-1}}$

Если данные можно аппроксимировать бета-биномиальным распределением , то

$D=1+{\frac {(n-1)\theta }{1+\theta }}$

где θ — параметр распределения.

Критическая плотность агрегации населения Ма

Ма предложил параметр ( m ₀ ) — критическую плотность скопления населения — чтобы связать плотность населения с законом Тейлора.

$m_{0}=\exp \left({\frac {\log a}{1-b}}\right)$

Связанная статистика

Известен ряд статистических тестов, которые могут быть использованы в приложениях.

статистика де Оливерии

Соответствующая статистика, предложенная де Оливерией. это разница дисперсии и среднего значения. Если совокупность распределена по Пуассону, то

$var(s^{2}-m)={\frac {2t^{2}}{n-1}}$

где t – параметр Пуассона, с ² — дисперсия, m — среднее значение, а n — размер выборки. Ожидаемое значение s ² - м равно нулю. Эта статистика распределяется нормально.

Если параметр Пуассона в этом уравнении оценить, положив t = m , после небольших манипуляций эту статистику можно записать

$O_{T}={\sqrt {\frac {n-1}{2}}}{\frac {s^{2}-m}{m}}$

Это почти идентично статистике Каца с на ( n - 1) заменой n . Опять же, обычно _OT распределяется со средним значением 0 и единичной дисперсией для больших n . Эта статистика аналогична статистике Неймана-Скотта.

Примечание

де Оливия фактически предположил, что дисперсия s ² - м было ( 1 - 2 т ^1/2 + 3 t ) / n где t — параметр Пуассона. Он предположил, что t можно оценить, приравняв его к среднему значению ( m ) выборки. Дальнейшее расследование Бонинга показали, что эта оценка дисперсии неверна. Поправка Бонинга приведена в приведенных выше уравнениях.

тест Клэпхема

В 1936 году Клэпхэм предложил использовать отношение дисперсии к среднему значению в качестве тестовой статистики (относительная дисперсия). В символах

$\theta ={\frac {s^{2}}{m}}$

Для распределения Поссиона это соотношение равно 1. Чтобы проверить отклонения от этого значения, он предложил проверить его значение по распределению хи-квадрат с n степенями свободы, где n - количество единиц выборки. Распределение этой статистики было дополнительно изучено Блэкманом. который отметил, что оно было примерно нормально распределено со средним значением 1 и дисперсией ( V _θ )

$V_{\theta }={\frac {2n}{(n-1)^{2}}}$

Вывод дисперсии был повторно проанализирован Бартлеттом. кто считал это

$V_{\theta }={\frac {2}{n-1}}$

Для больших выборок эти две формулы приблизительно совпадают. Этот тест связан с более поздней статистикой J _n Каца .

Если население подчиняется закону Тейлора, то

$\theta =am^{b-1}$

Примечание

Также была опубликована доработка этого теста. Эти авторы отметили, что первоначальный тест имеет тенденцию обнаруживать чрезмерную дисперсию в более высоких масштабах, даже если она не присутствовала в данных. Они отметили, что для таких данных использование полиномиального распределения может быть более подходящим, чем использование распределения Пуассона. Статистика θ распределяется

$\theta ={\frac {s^{2}}{m}}={\frac {1}{n}}\sum \left(x_{i}-{\frac {n}{N}}\right)^{2}$

где N — количество единиц выборки, n — общее количество исследованных образцов, а xi _— отдельные значения данных.

Ожидание и дисперсия θ равны

$\operatorname {E} (\theta )={\frac {N}{N-1}}$

$\operatorname {Var} (\theta )={\frac {(N-1)^{2}}{N^{3}}}-{\frac {2N-3}{nN^{2}}}$

Для больших N E( θ ) примерно равно 1 и

$\operatorname {Var} (\theta )\sim \ {\frac {2}{N}}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)$

Если количество отобранных особей ( n ) велико, эта оценка дисперсии согласуется с полученными ранее. Однако для меньших выборок эти последние оценки являются более точными и их следует использовать.

См. также

• Индекс перекрытия Мориситы
• Натуральное экспоненциальное семейство
• Схема масштабирования занятости
• Пространственная экология
• Степенной закон Ватсона
• Плотно-массовая аллометрия
• Дисперсионно-массовая аллометрия

Ссылки

Законы власти