Морис Твиди

Морис Чарльз Кеннет Твиди
Внешний образ Морис Твиди
Рожденный	( 1919-09-30 ) 30 сентября 1919 г. Ридинг, Великобритания
Умер	14 марта 1996 г. (14 марта 1996 г.) (76 лет) Ливерпуль, Великобритания
Образование	Университет Рединга
Известный	Обратное распределение Гаусса Раздачи твиди
Научная карьера
Учреждения	Технологический институт Вирджинии Манчестерский университет Ливерпульский университет
Научные консультанты	Пол Уайт Бойд Харшбаргер

Морис Чарльз Кеннет Твиди (30 сентября 1919 — 14 марта 1996) — британский медицинский физик и статистик из Ливерпульского университета . Он был известен исследованиями экспоненциальных семейных вероятностных распределений .

Образование и карьера

Твиди изучал физику в Университете Рединга и получил степень бакалавра (общая) и бакалавра (специальная) по физике в 1939 году, а затем степень магистра по физике в 1941 году. Он сделал карьеру в области радиационной физики , но его основной интерес заключался в математической статистике , где его достижения намного превзошли его академические должности.

Взносы

Раздачи твиди

Вклад Твиди включал новаторскую работу с обратным распределением Гаусса . Возможно, его главное достижение связано с определением семейства моделей экспоненциальной дисперсии, характеризующихся замыканием при аддитивной и репродуктивной свертке , а также при преобразованиях масштаба , которые теперь известны как модели экспоненциальной дисперсии Твиди . Вследствие этих свойств модели экспоненциальной дисперсии Твиди характеризуются степенным соотношением между дисперсией и средним значением, что приводит к тому, что они становятся фокусами сходимости для эффекта, подобного центральному пределу , который действует на широкий спектр случайных данных. Спектр применения дистрибутивов Твиди широк и включает в себя:

• закон Тейлора ,
• масштабирование флуктуаций,
• 1/ ф шум ,
• теория случайных матриц ,
• гематогенные метастазы рака ,
• геномная структура и эволюция ,
• региональная неоднородность кровотока,
• мультифрактальность .
• самоорганизованная критичность

Формула Твиди

Твиди приписывают формулу, впервые опубликованную Роббинсом (1956). который предлагает «простой эмпирический байесовский подход к исправлению систематической ошибки отбора». Позволять $\mu$ быть скрытой переменной, которую мы не наблюдаем, но мы знаем, что она имеет определенное априорное распределение $p(\mu )$. Позволять $x=\mu +\epsilon$ быть наблюдаемой, где $\epsilon \sim N(0,\Sigma )$ является переменной гауссовского шума (поэтому $p(x|\mu )=N(x|\mu ,\Sigma )$) . Позволять $\rho (x)=\int p(x|\mu )p(\mu ){\text{d}}\mu$ быть плотностью вероятности $x$, затем апостериорное среднее и дисперсию $\mu$ учитывая наблюдаемое $x$ являются: $$E[\mu |x]=x+\Sigma {\frac {\nabla \rho (x)}{\rho (x)}};\quad Var[\mu |x]=E[\mu \mu ^{T}|x]-E[\mu |x]E[\mu |x]^{T}=\Sigma \left({\frac {\nabla ^{2}\rho (x)}{\rho (x)}}-{\frac {\nabla \rho (x)\nabla \rho (x)^{T}}{\rho (x)^{2}}}\right)\Sigma +\Sigma$$Задние моменты высшего порядка $\mu$ также можно получить как алгебраические выражения $\nabla \rho ,\rho ,\Sigma$.

Доказательство для первой части

С использованием $\nabla N(x|\mu ,\Sigma )=N(x|\mu ,\Sigma )\nabla \log N(x|\mu ,\Sigma )=-\Sigma ^{-1}(x-\mu )N(x|\mu ,\Sigma )$, мы получаем $$\Sigma \,{\frac {\nabla \rho (x)}{\rho (x)}}={\frac {\Sigma \int \nabla N(x|\mu ,\Sigma )\,p(\mu ){\text{d}}\,\mu }{\int N(x|\mu ,\Sigma )\,p(\mu )\,{\text{d}}\mu }}=-{\frac {\int (x-\mu )N(x|\mu ,\Sigma )\,p(\mu )\,{\text{d}}\mu }{\int N(x|\mu ,\Sigma )\,p(\mu )\,{\text{d}}\mu }}=-\int (x-\mu )p(\mu |x)\,{\text{d}}\mu =-x+E[\mu |x],$$ где мы использовали теорему Байеса, чтобы написать $$p(\mu |x)={\frac {p(x|\mu )p(\mu )}{p(x)}}={\frac {N(x|\mu ,\Sigma )\,p(\mu )}{\int N(x|\mu ,\Sigma )\,p(\mu )\,{\text{d}}\mu }}.$$

Формула Твиди используется в эмпирическом методе Байеса и моделях диффузии .