Сферическое среднее

В математике сферическое среднее функции вокруг точки — это среднее всех значений этой функции на сфере заданного радиуса с центром в этой точке.

Определение

Рассмотрим открытое множество U в евклидовом пространстве R ^н и непрерывная функция u, определенная на U с действительными или комплексными значениями. Пусть x — точка в U и r > 0 таково, что замкнутый шар B ( x , r ) с центром и радиусом r содержится в U. x Среднее сферическое значение по сфере радиуса r с центром в точке x определяется как

{\frac {1}{\omega _{n-1}(r)}}\int \limits _{\partial B(x,r)}\!u(y)\,\mathrm {d} S(y)

где ∂ B ( x , r ) — ( n − 1)-сфера образующая границу B r ( x , r ), d S обозначает интегрирование по сферической мере , а ω _{n −1} ( , ) — «площадь поверхности " этой ( n − 1)-сферы.

Эквивалентно, сферическое среднее определяется выражением

{\frac {1}{\omega _{n-1}}}\int \limits _{\|y\|=1}\!u(x+ry)\,\mathrm {d} S(y)

где ω _{n −1} — площадь ( n − 1)-сферы радиуса 1.

Среднее сферическое часто обозначается как

\int \limits _{\partial B(x,r)}\!\!\!\!\!\!\!\!\!-\,u(y)\,\mathrm {d} S(y).

Сферическое среднее также определяется естественным образом для римановых многообразий.

Свойства и использование

Из преемственности $u$ следует, что функция $r\to \int \limits _{\partial B(x,r)}\!\!\!\!\!\!\!\!\!-\,u(y)\,\mathrm {d} S(y)$ непрерывна и что ее предел как $r\to 0$ является $u(x).$
Сферические средства можно использовать для решения задачи Коши для волнового уравнения. $\partial _{t}^{2}u=c^{2}\,\Delta u$ в нечетном пространственном измерении. Результат, известный как формула Кирхгофа, получается с помощью сферических средств для сведения волнового уравнения к $\mathbb {R} ^{n}$ (для нечетных $n$ ) к волновому уравнению в $\mathbb {R}$ , а затем по формуле Даламбера . Само выражение представлено в статье о волновых уравнениях .
Если $U$ представляет собой открытый набор в $\mathbb {R} ^{n}$ и $u$ это буква С ² функция, определенная на $U$ , затем $u$ гармонична тогда и только тогда , когда для всех $x$ в $U$ и все $r>0$ такой, что закрытый шар $B(x,r)$ содержится в $U$ у одного есть $u(x)=\int \limits _{\partial B(x,r)}\!\!\!\!\!\!\!\!\!-\,u(y)\,\mathrm {d} S(y).$ Этот результат можно использовать для доказательства принципа максимума для гармонических функций.