Ноль степеней свободы

В статистике нецентральное распределение хи-квадрат с нулевыми степенями свободы можно использовать при проверке нулевой гипотезы о том, что выборка представляет собой равномерное распределение на интервале (0, 1). Это распределение было представлено Эндрю Ф. Сигелом в 1979 году.

Распределение хи-квадрат с n степенями свободы представляет собой распределение вероятностей суммы

$X_{1}^{2}+\cdots +X_{n}^{2}\,$

где

$X_{1},\ldots ,X_{n}\sim \operatorname {i.i.d.N} (0,1).\,$

Однако, если

$X_{k}\sim \operatorname {N} (\mu _{k},1)$

и $X_{1},\ldots ,X_{n}$ независимы, то сумма квадратов выше имеет нецентральное распределение хи-квадрат с n степенями свободы и «параметром нецентральности».

$\mu _{1}^{2}+\cdots +\mu _{n}^{2}.\,$

Тривиально, что «центральное» распределение хи-квадрат с нулевыми степенями свободы концентрирует всю вероятность на нуле.

Все это оставляет открытым вопрос, что происходит при нулевых степенях свободы, когда параметр нецентральности не равен нулю.

Нецентральное распределение хи-квадрат с нулевыми степенями свободы и параметром нецентральности μ представляет собой распределение

${\begin{aligned}&\sum _{k\,=\,1}^{2K}X_{k}^{2}\\{\text{where }}&K\sim \operatorname {Poisson} (\mu /2)\\{\text{and }}&X_{1},X_{2},X_{3},\ldots \sim \operatorname {i.i.d.N} (0,1).\end{aligned}}$

Это концентрирует вероятность e ^{− мкм /2} на нуле; таким образом, это смесь дискретных и непрерывных распределений