Преобразование, стабилизирующее дисперсию

В прикладной статистике преобразование , стабилизирующее дисперсию, — это преобразование данных , которое специально выбрано либо для упрощения графического исследовательского анализа данных, либо для обеспечения возможности применения простых методов, основанных на регрессии или дисперсионном анализе . ^{[ 1 ]}

Обзор

Цель выбора преобразования, стабилизирующего дисперсию, состоит в том, чтобы найти простую функцию ƒ , которую можно применить к значениям x в наборе данных для создания новых значений $y = ƒ (x),$ таких, что изменчивость значений y не связана с их среднее значение. Например, предположим, что значения x являются реализациями различных распределений Пуассона : т.е. каждое из распределений имеет разные средние значения μ . Затем, поскольку для распределения Пуассона дисперсия идентична среднему значению, дисперсия изменяется вместе со средним значением. Однако если простое преобразование, стабилизирующее дисперсию,

y={\sqrt {x}}\,

применяется, дисперсия выборки, связанная с наблюдением, будет почти постоянной: в разделе Преобразование Анскомба подробности и некоторые альтернативные преобразования см. .

Хотя преобразования, стабилизирующие дисперсию, хорошо известны для определенных параметрических семейств распределений, таких как распределение Пуассона и биномиальное распределение , некоторые типы анализа данных выполняются более эмпирически: например, путем поиска среди степенных преобразований , чтобы найти подходящее фиксированное преобразование. Альтернативно, если анализ данных предлагает функциональную форму связи между дисперсией и средним значением, это можно использовать для вывода преобразования, стабилизирующего дисперсию. ^{[ 2 ]} если для среднего µ Таким образом ,

\operatorname {var} (X)=h(\mu ),\,

Подходящей основой для преобразования, стабилизирующего дисперсию, может быть

y\propto \int ^{x}{\frac {1}{\sqrt {h(\mu )}}}\,d\mu ,

где для удобства можно выбрать произвольную константу интегрирования и произвольный масштабный коэффициент.

Пример: относительная дисперсия

Если $X$ является положительной случайной величиной и для некоторой константы s, дисперсия задается как $h (µ) = s 2 м 2$ тогда стандартное отклонение пропорционально среднему значению, которое называется фиксированной относительной ошибкой . В этом случае преобразование, стабилизирующее дисперсию, имеет вид

y=\int ^{x}{\frac {d\mu }{\sqrt {s^{2}\mu ^{2}}}}={\frac {1}{s}}\ln(x)\propto \log(x)\,.

То есть преобразование, стабилизирующее дисперсию, является логарифмическим преобразованием.

Пример: абсолютная плюс относительная дисперсия.

Если дисперсия задана как $h (µ) = σ 2 + с 2 м 2$ тогда в дисперсии доминирует фиксированная дисперсия $σ 2$ когда $| | |$ достаточно мал, и в нем преобладает относительная дисперсия $s 2 м 2$ когда $| | |$ достаточно велик. В этом случае преобразование, стабилизирующее дисперсию, имеет вид

y=\int ^{x}{\frac {d\mu }{\sqrt {\sigma ^{2}+s^{2}\mu ^{2}}}}={\frac {1}{s}}\operatorname {asinh} {\frac {x}{\sigma /s}}\propto \operatorname {asinh} {\frac {x}{\lambda }}\,.

То есть преобразование, стабилизирующее дисперсию, представляет собой обратный гиперболический синус масштабированного значения $x / λ$ для $λ = σ / s$ .

Пример: корреляция Пирсона

Преобразование Фишера представляет собой преобразование, стабилизирующее дисперсию коэффициента корреляции Пирсона.

Связь с дельта-методом

Здесь дельта-метод представлен в общих чертах, но этого достаточно, чтобы увидеть связь с преобразованиями, стабилизирующими дисперсию. Чтобы увидеть более формальный подход, см. дельта-метод .

Позволять $X$ быть случайной величиной, причем $E[X]=\mu$ и $\operatorname {Var} (X)=\sigma ^{2}$ . Определять $Y=g(X)$ , где $g$ является регулярной функцией. Приближение Тейлора первого порядка для $Y=g(x)$ является:

$Y=g(X)\approx g(\mu )+g'(\mu )(X-\mu )$

Из приведенного выше уравнения получаем:

E[Y]\approx g(\mu )

и

\operatorname {Var} [Y]\approx \sigma ^{2}g'(\mu )^{2}

Этот метод аппроксимации называется дельта-методом.

Рассмотрим теперь случайную величину $X$ такой, что $E[X]=\mu$ и $\operatorname {Var} [X]=h(\mu )$ . Обратите внимание на связь между дисперсией и средним значением, которая подразумевает, например, гетероскедастичность в линейной модели. Следовательно, цель состоит в том, чтобы найти функцию $g$ такой, что $Y=g(X)$ имеет дисперсию, независимую (по крайней мере приблизительно) от его ожидания.

Наложение условия $\operatorname {Var} [Y]\approx h(\mu )g'(\mu )^{2}={\text{constant}}$ , из этого равенства следует дифференциальное уравнение:

{\frac {dg}{d\mu }}={\frac {C}{\sqrt {h(\mu )}}}

Это обыкновенное дифференциальное уравнение в результате разделения переменных имеет следующее решение:

g(\mu )=\int {\frac {C\,d\mu }{\sqrt {h(\mu )}}}

Последнее выражение впервые появилось в статье М. С. Бартлетта . ^{[ 3 ]}

Ссылки

^ Эверитт, бакалавр наук (2002). Кембриджский статистический словарь (2-е изд.). ЧАШКА. ISBN 0-521-81099-Х .
^ Додж, Ю. (2003). Оксфордский словарь статистических терминов . ОУП. ISBN 0-19-920613-9 .
^ Бартлетт, MS (1947). «Использование трансформаций». Биометрия . 3 : 39–52. дои : 10.2307/3001536 .

[1] Эверитт, бакалавр наук (2002). Кембриджский статистический словарь (2-е изд.). ЧАШКА. ISBN 0-521-81099-Х .

[2] Додж, Ю. (2003). Оксфордский словарь статистических терминов . ОУП. ISBN 0-19-920613-9 .

[3] Бартлетт, MS (1947). «Использование трансформаций». Биометрия . 3 : 39–52. дои : 10.2307/3001536 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]