Логистическая функция

Информацию о рекуррентном отношении см. в разделе Логистическая карта .

или Логистическая функция логистическая кривая — это обычная S-образная кривая ( сигмовидная кривая ) с уравнением

$f(x)={\frac {L}{1+e^{-k(x-x_{0})}}}$

где

$L$ – несущая способность , верхняя граница значений функции;

$k$ – темп роста логистики, крутизна кривой; и

$x_{0}$ это $x$ значение средней точки функции.

Логистическая функция имеет область действия действительных чисел , предел как $x\to -\infty$ равен 0, а предел как $x\to +\infty$ является $L$.

Стандартная логистическая функция, где $L=1,k=1,x_{0}=0$.

Стандартная логистическая функция , изображенная справа, где $L=1,k=1,x_{0}=0$, имеет уравнение

$f(x)={\frac {1}{1+e^{-x}}}$

и иногда его просто называют сигмовидной . Его также иногда называют выходом , поскольку он является инверсией логита .

Логистическая функция находит применение в ряде областей, включая биологию (особенно экологию ), биоматематику , химию , демографию , экономику , геонауки , математическую психологию , теорию вероятности , социологию , политологию , лингвистику , статистику и искусственные нейронные сети . Существуют различные обобщения , в зависимости от области.

История

Исходное изображение логистической кривой, контрастирующее с тем, что Ферхюльст назвал «логарифмической кривой» (в современных терминах «экспоненциальной кривой»).

Логистическая функция была введена в серии из трех статей Пьером Франсуа Верхюльстом между 1838 и 1847 годами, который разработал ее как модель роста населения путем корректировки модели экспоненциального роста под руководством Адольфа Кетле . Ферхюльст впервые разработал эту функцию в середине 1830-х годов, опубликовав краткую заметку в 1838 году: затем представил расширенный анализ и назвал функцию в 1844 г. (опубликовано в 1845 г.); третий документ скорректировал поправочный член в своей модели роста населения Бельгии.

Начальная стадия роста примерно экспоненциальная (геометрическая); затем, когда начинается насыщение, рост замедляется до линейного (арифметического), а при зрелости рост приближается к пределу с экспоненциально затухающим разрывом, как и начальный этап наоборот.

Ферхюльст не объяснил выбор термина «логистика» (франц. Logistic ), но он, по-видимому, противоположен логарифмической кривой, и по аналогии с арифметикой и геометрической. Его модели роста предшествует обсуждение арифметического роста и геометрического роста (кривую которого он называет логарифмической кривой вместо современного термина « экспоненциальная кривая »), и поэтому «логистический рост», предположительно, назван по аналогии, логистический термин из древнегреческого : λογῐστῐκός , латинизированное : логистикос , традиционный раздел греческой математики .

Это слово происходит от древнегреческих математических терминов. Название этой функции не связано с военным и управленческим термином «логистика» , который происходит от французского языка : logis «жилище», хотя некоторые полагают, что этот греческий термин также повлиял на логистику ; см . в разделе «Логистика § Происхождение» подробности .

Математические свойства

The стандартная логистическая функция — это логистическая функция с параметрами $k=1$, $x_{0}=0$, $L=1$, что дает

$$f(x)={\frac {1}{1+e^{-x}}}={\frac {e^{x}}{e^{x}+1}}={\frac {e^{x/2}}{e^{x/2}+e^{-x/2}}}.$$

На практике из-за характера показательной функции $e^{-x}$, часто бывает достаточно вычислить стандартную логистическую функцию для $x$ в небольшом диапазоне действительных чисел, например в диапазоне, содержащемся в [−6, +6], поскольку он быстро сходится очень близко к значениям насыщения 0 и 1.

Симметрии

Логистическая функция обладает свойством симметрии, которое

$$1-f(x)=f(-x).$$

Это отражает то, что рост от 0, когда $x$ мала, симметрична распаду щели до предела (1), когда $x$ большой.

Дальше, $x\mapsto f(x)-1/2$ это нечетная функция .

Сумма логистической функции и ее отражение относительно вертикальной оси, $f(-x)$, является

$${\frac {1}{1+e^{-x}}}+{\frac {1}{1+e^{-(-x)}}}={\frac {e^{x}}{e^{x}+1}}+{\frac {1}{e^{x}+1}}=1.$$

Таким образом, логистическая функция вращательно-симметрична относительно точки (0, 1/2).

Обратная функция

Логистическая функция является обратной натуральной логит- функцией.

$\operatorname {logit} p=\log {\frac {p}{1-p}}{\text{ for }}0<p<1$

и таким образом преобразует логарифм шансов в вероятность . Преобразование логарифмического отношения правдоподобия двух альтернатив также принимает форму логистической кривой.

Гиперболический тангенс

Логистическая функция представляет собой функцию смещения и масштабированного гиперболического тангенса : $$f(x)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\tanh \left({\frac {x}{2}}\right),$$ или $$\tanh(x)=2f(2x)-1.$$

Это следует из $${\begin{aligned}\tanh(x)&={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {e^{x}\cdot \left(1-e^{-2x}\right)}{e^{x}\cdot \left(1+e^{-2x}\right)}}\\&=f(2x)-{\frac {e^{-2x}}{1+e^{-2x}}}=f(2x)-{\frac {e^{-2x}+1-1}{1+e^{-2x}}}=2f(2x)-1.\end{aligned}}$$

Отношение гиперболического тангенса приводит к другой форме производной логистической функции:

$${\frac {d}{dx}}f(x)={\frac {1}{4}}\operatorname {sech} ^{2}\left({\frac {x}{2}}\right),$$

который связывает логистическую функцию с логистическим распределением .

Геометрически функция гиперболического тангенса представляет собой гиперболический угол на единичной гиперболе. $x^{2}-y^{2}=1$, что влияет на $(x+y)(x-y)=1$, и, таким образом, имеет асимптоты - линии, проходящие через начало координат, с наклоном ⁠ $-1$⁠ и с наклоном ⁠ $1$⁠ и вершина в ⁠ $(1,0)$⁠ соответствующий диапазону и средней точке ( ⁠ ${1}$⁠ ) Танха. Аналогично, логистическую функцию можно рассматривать как гиперболический угол на гиперболе $xy-y^{2}=1$, что влияет на $y(x-y)=1$, и, таким образом, имеет асимптоты - линии, проходящие через начало координат, с наклоном ⁠ $0$⁠ и с наклоном ⁠ $1$⁠ и вершина в ⁠ $(2,1)$⁠ , соответствующий диапазону и средней точке ( ⁠ $1/2$⁠ ) ​​логистической функции.

Параметрически гиперболический косинус и гиперболический синус дают координаты единичной гиперболы: $\left((e^{t}+e^{-t})/2,(e^{t}-e^{-t})/2\right)$, с частным гиперболическим тангенсом. Сходным образом, ${\bigl (}e^{t/2}+e^{-t/2},e^{t/2}{\bigr )}$ параметризует гиперболу $xy-y^{2}=1$, с коэффициентом логистической функции. Они соответствуют линейным преобразованиям (и изменению масштаба параметризации) гиперболы $xy=1$, с параметризацией $(e^{-t},e^{t})$: параметризация гиперболы логистической функции соответствует $t/2$ и линейное преобразование ${\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&1\\0&1\end{smallmatrix}}{\bigr )}$, а параметризация единичной гиперболы (для гиперболического тангенса) соответствует линейному преобразованию ${\tfrac {1}{2}}{\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&1\\-1&1\end{smallmatrix}}{\bigr )}$.

Производная

Логистическая функция и ее первые три производные

Стандартная логистическая функция имеет легко вычисляемую производную . Производная известна как плотность логистического распределения :

$$f(x)={\frac {1}{1+e^{-x}}}={\frac {e^{x}}{1+e^{x}}},$$

$${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}f(x)&={\frac {e^{x}\cdot (1+e^{x})-e^{x}\cdot e^{x}}{(1+e^{x})^{2}}}\\&={\frac {e^{x}}{(1+e^{x})^{2}}}\\&=\left({\frac {e^{x}}{1+e^{x}}}\right)\left({\frac {1}{1+e^{x}}}\right)\\&=\left({\frac {e^{x}}{1+e^{x}}}\right)\left(1-{\frac {e^{x}}{1+e^{x}}}\right)\\&=f(x)\left(1-f(x)\right)\end{aligned}}$$

Логистическое распределение представляет собой семейство масштабов местоположения , которое соответствует параметрам логистической функции. Если ⁠ $L=1$⁠ фиксирована, то середина ⁠ $x_{0}$⁠ — расположение и уклон ⁠ $k$⁠ — масштаб.

Интеграл

И наоборот, его первообразную можно вычислить заменой $u=1+e^{x}$, с

$$f(x)={\frac {e^{x}}{1+e^{x}}}={\frac {u'}{u}},$$

итак (отбрасывая константу интегрирования )

$$\int {\frac {e^{x}}{1+e^{x}}}\,dx=\int {\frac {1}{u}}\,du=\ln u=\ln(1+e^{x}).$$

В искусственных нейронных сетях это известно как функция softplus и (с масштабированием) представляет собой плавную аппроксимацию функции линейного изменения , точно так же, как логистическая функция (с масштабированием) является плавной аппроксимацией ступенчатой ​​функции Хевисайда .

Логистическое дифференциальное уравнение

Уникальная стандартная логистическая функция является решением простого нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка.

$${\frac {d}{dx}}f(x)=f(x){\big (}1-f(x){\big )}$$

с граничным условием $f(0)=1/2$. Это уравнение представляет собой непрерывную версию логистической карты . Обратите внимание, что обратная логистическая функция является решением простого линейного обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка.

Качественное поведение легко понять с точки зрения фазовой линии : производная равна 0, когда функция равна 1; и производная положительна для $f$ от 0 до 1 и отрицательный для $f$ выше 1 или меньше 0 (хотя отрицательные популяции обычно не соответствуют физической модели). Это приводит к неустойчивому равновесию при 0 и устойчивому равновесию при 1, и, таким образом, для любого значения функции больше 0 и меньше 1 оно возрастает до 1.

Логистическое уравнение является частным случаем дифференциального уравнения Бернулли и имеет следующее решение:

$$f(x)={\frac {e^{x}}{e^{x}+C}}.$$

Выбор константы интегрирования $C=1$ дает другую хорошо известную форму определения логистической кривой:

$$f(x)={\frac {e^{x}}{e^{x}+1}}={\frac {1}{1+e^{-x}}}.$$

В более количественном отношении, как видно из аналитического решения, логистическая кривая показывает ранний экспоненциальный рост для отрицательного аргумента, который достигает линейного роста наклона 1/4 для аргумента, близкого к 0, затем приближается к 1 с экспоненциально затухающим разрывом.

Дифференциальное уравнение, полученное выше, представляет собой частный случай общего дифференциального уравнения, которое моделирует только сигмовидную функцию для $x>0$. Во многих приложениях моделирования более общая форма $${\frac {df(x)}{dx}}={\frac {k}{a}}f(x){\big (}a-f(x){\big )},\quad f(0)={\frac {a}{1+e^{kr}}}$$ может быть желательным. Его решением является сдвинутая и масштабированная сигмовидная $aS{\big (}k(x-r){\big )}$.

Вероятностная интерпретация

Дополнительная информация: Логистическая регрессия.

Когда емкость $L=1$, значение логистической функции находится в диапазоне ⁠ $(0,1)$⁠ и может быть интерпретировано как вероятность p . Более подробно p можно интерпретировать как вероятность одной из двух альтернатив (параметр распределения Бернулли ); две альтернативы дополняют друг друга, поэтому вероятность другой альтернативы равна $q=1-p$ и $p+q=1$. Эти две альтернативы кодируются как 1 и 0, что соответствует предельным значениям как $x\to \pm \infty$.

В этой интерпретации входные данные x представляют собой логарифмы шансов для первой альтернативы (относительно другой альтернативы), измеренные в «логистических единицах» (или логитах ), ⁠ $e^{x}$⁠ — коэффициент на первое событие (относительно второго), и, напоминая, что данные коэффициенты $O=O:1$ для ( ⁠ $O$⁠ против 1 ), вероятность равна отношению за больше (за плюс против), $O/(O+1)$, мы видим это $e^{x}/(e^{x}+1)=1/(1+e^{-x})=p$ – вероятность первой альтернативы. И наоборот, x - это логарифм шансов против второй альтернативы, ⁠ $-x$⁠ — логарифм шансов для второго варианта, $e^{-x}$ - шансы для второй альтернативы, и $e^{-x}/(e^{-x}+1)=1/(1+e^{x})=q$ – вероятность второго варианта.

Это можно сформулировать более симметрично с точки зрения двух входов: ⁠ $x_{0}$⁠ и ⁠ $x_{1}$⁠ , который затем естественным образом обобщается на более чем две альтернативы. Учитывая два входных числа действительных чисел, ⁠ $x_{0}$⁠ и ⁠ $x_{1}$⁠ , интерпретируется как логиты, их разность $x_{1}-x_{0}$ — логарифм шансов для варианта 1 (логарифм шансов против варианта 0), $e^{x_{1}-x_{0}}$ это шансы, $e^{x_{1}-x_{0}}/(e^{x_{1}-x_{0}}+1)=1/\left(1+e^{-(x_{1}-x_{0})}\right)=e^{x_{1}}/(e^{x_{0}}+e^{x_{1}})$ – вероятность варианта 1, и аналогично $e^{x_{0}}/(e^{x_{0}}+e^{x_{1}})$ – вероятность варианта 0.

Эта форма немедленно обобщается на большее количество альтернатив как функция softmax , которая представляет собой векторную функцию, i -я координата которой равна ${\textstyle e^{x_{i}}/\sum _{i=0}^{n}e^{x_{i}}}$.

Более тонко, симметричная форма подчеркивает интерпретацию входного сигнала x как $x_{1}-x_{0}$ и, таким образом, относительно некоторой контрольной точки, неявно $x_{0}=0$. Примечательно, что функция softmax инвариантна при добавлении константы ко всем логитам. $x_{i}$, что соответствует разнице $x_{j}-x_{i}$ это логарифмические шансы для варианта j против варианта i , но отдельные логиты $x_{i}$ сами по себе не являются шансами на журнал. Часто одна из опций используется как ссылка («поворот»), а ее значение фиксируется как 0 , поэтому остальные логиты интерпретируются как шансы по сравнению с этой ссылкой. Обычно это делается с помощью первого варианта, отсюда и выбор нумерации: $x_{0}=0$, а потом $x_{i}=x_{i}-x_{0}$ — это логарифмические шансы для варианта i против варианта 0 . С $e^{0}=1$, это дает $+1$ термин во многих выражениях для логистической функции и обобщений.

Обобщения

В моделировании роста существуют многочисленные обобщения, включая обобщенную логистическую кривую , функцию Гомпертца , кумулятивную функцию распределения смещенного распределения Гомпертца и гиперболастическую функцию типа I.

В статистике, где логистическая функция интерпретируется как вероятность одной из двух альтернатив, обобщением на три или более альтернатив является функция softmax , которая имеет векторное значение, поскольку она дает вероятность каждой альтернативы.

Приложения

В экологии: моделирование роста населения

Пьер-Франсуа Верхюльст (1804–1849)

Типичным применением логистического уравнения является распространенная модель роста населения (см. Также динамику населения ), первоначально предложенная Пьером-Франсуа Верхюльстом в 1838 году, где скорость воспроизводства пропорциональна как существующему населению, так и количеству доступных ресурсов. при прочих равных условиях. Уравнение Ферхюльста было опубликовано после того, как Ферхюльст прочитал » Томаса Мальтуса « Очерк принципа народонаселения , в котором описывается мальтузианская модель роста простого (неограниченного) экспоненциального роста. Ферхюльст вывел свое логистическое уравнение, описывающее самоограничивающийся рост биологической популяции. Уравнение было заново открыто в 1911 году А. Г. Маккендриком для роста бактерий в бульоне и экспериментально проверено с использованием метода нелинейной оценки параметров. Уравнение также иногда называют уравнением Ферхюльста-Перла после его повторного открытия в 1920 году Рэймондом Перлом (1879–1940) и Лоуэллом Ридом (1888–1966) из Университета Джонса Хопкинса . Другой ученый, Альфред Дж. Лотка, снова вывел это уравнение в 1925 году, назвав его законом роста населения .

Сдача в аренду $P$ представляют размер населения ( $N$ вместо этого часто используется в экологии) и $t$ представляют время, эта модель формализуется дифференциальным уравнением :

$${\frac {dP}{dt}}=rP\left(1-{\frac {P}{K}}\right),$$

где константа $r$ определяет скорость роста и $K$ это грузоподъемность .

В уравнении ранний беспрепятственный темп роста моделируется первым членом $+rP$. Стоимость ставки $r$ представляет собой пропорциональный прирост населения $P$ в одну единицу времени. Позже, по мере роста населения, модуль второго члена (который умножается $-rP^{2}/K$) становится почти таким же большим, как и первый, так как некоторые представители популяции $P$ мешают друг другу, конкурируя за какой-то критически важный ресурс, например, еду или жизненное пространство. Этот антагонистический эффект называется узким местом и моделируется значением параметра $K$. Конкуренция снижает совокупный темп роста до тех пор, пока стоимость $P$ перестает расти (это называется зрелостью населения). Решение уравнения (с $P_{0}$ являющаяся исходной популяцией)

$$P(t)={\frac {KP_{0}e^{rt}}{K+P_{0}\left(e^{rt}-1\right)}}={\frac {K}{1+\left({\frac {K-P_{0}}{P_{0}}}\right)e^{-rt}}},$$

где

$$\lim _{t\to \infty }P(t)=K,$$

где $K$ это предельное значение $P$, наивысшее значение, которого популяция может достичь за бесконечное время (или приблизиться к достижению за конечное время). Несущая способность асимптотически достигается независимо от начального значения $P(0)>0$, а также в том случае, если $P(0)>K$.

В экологии виды иногда называют $r$-стратег или $K$-стратеги в зависимости от избирательных процессов, которые сформировали стратегии их жизненной истории . Выбираем переменные размеры так, чтобы $n$ измеряет численность населения в единицах пропускной способности, и $\tau$ измеряет время в единицах $1/r$, дает безразмерное дифференциальное уравнение

$${\frac {dn}{d\tau }}=n(1-n).$$

Интеграл

Первообразную экологической формы логистической функции можно вычислить заменой $u=K+P_{0}\left(e^{rt}-1\right)$, с $du=rP_{0}e^{rt}dt$

$$\int {\frac {KP_{0}e^{rt}}{K+P_{0}\left(e^{rt}-1\right)}}\,dt=\int {\frac {K}{r}}{\frac {1}{u}}\,du={\frac {K}{r}}\ln u+C={\frac {K}{r}}\ln \left(K+P_{0}(e^{rt}-1)\right)+C$$

Изменяющаяся во времени пропускная способность

Поскольку условия окружающей среды влияют на пропускную способность, как следствие, она может изменяться во времени, при этом $K(t)>0$, что приводит к следующей математической модели:

$${\frac {dP}{dt}}=rP\cdot \left(1-{\frac {P}{K(t)}}\right).$$

Особенно важным случаем является случай пропускной способности, которая периодически меняется в зависимости от периода. $T$:

$$K(t+T)=K(t).$$

Это можно показать что в таком случае независимо от первоначального значения $P(0)>0$, $P(t)$ будет стремиться к единственному периодическому решению $P_{*}(t)$, период которого $T$.

Типичное значение $T$ составляет один год: В таком случае $K(t)$ могут отражать периодические изменения погодных условий.

Еще одно интересное обобщение состоит в том, что пропускная способность $K(t)$ Это функция популяции в более ранний период времени, отражающая задержку в том, как популяция изменяет свою окружающую среду. Это приводит к уравнению логистической задержки: который имеет очень богатое поведение, с бистабильностью в некотором диапазоне параметров, а также с монотонным спадом до нуля, плавным экспоненциальным ростом, прерывистым неограниченным ростом (т.е. множественными S-образными формами), прерывистым ростом или чередованием до стационарного уровня, колебательным подходом. на стационарный уровень, устойчивые колебания, сингулярности за конечное время, а также смерть за конечное время.

В статистике и машинном обучении

Логистические функции используются в статистике в нескольких целях. Например, они представляют собой кумулятивную функцию распределения логистического семейства распределений , и они, немного упрощенно, используются для моделирования шанса, который шахматист имеет, чтобы победить своего противника в рейтинговой системе Эло . Далее следуют более конкретные примеры.

Логистическая регрессия

Основная статья: Логистическая регрессия

Логистические функции используются в логистической регрессии для моделирования того, как вероятность $p$ на событие могут влиять одна или несколько независимых переменных : примером может служить модель

$$p=f(a+bx),$$

где $x$ – объясняющая переменная, $a$ и $b$ параметры модели, которые необходимо подобрать, и $f$ — стандартная логистическая функция.

Логистическая регрессия и другие лог-линейные модели также широко используются в машинном обучении . Обобщением логистической функции на несколько входных данных является функция активации softmax , используемая в полиномиальной логистической регрессии .

Другое применение логистической функции находится в модели Раша , используемой в теории реагирования на предмет . В частности, модель Раша формирует основу для оценки максимального правдоподобия местоположений объектов или людей в континууме на основе набора категориальных данных , например, способностей людей в континууме на основе ответов, которые были отнесены к категории правильных и неправильно.

Нейронные сети

Логистические функции часто используются в искусственных нейронных сетях для введения нелинейности в модель или для ограничения сигналов в пределах заданного интервала . Популярный элемент нейронной сети вычисляет линейную комбинацию своих входных сигналов и применяет ограниченную логистическую функцию в качестве функции активации к результату ; эту модель можно рассматривать как «сглаженный» вариант классического порогового нейрона .

Распространенный выбор функций активации или «сжатия», используемый для ограничения больших величин, чтобы ограничить реакцию нейронной сети. является

$$g(h)={\frac {1}{1+e^{-2\beta h}}},$$

что является логистической функцией.

Эти отношения приводят к упрощенным реализациям искусственных нейронных сетей с искусственными нейронами . Практики предупреждают, что сигмоидальные функции, которые антисимметричны относительно начала координат (например, гиперболический тангенс ), приводят к более быстрой сходимости при обучении сетей с обратным распространением ошибки .

Логистическая функция сама по себе является производной от другой предлагаемой функции активации — softplus .

В медицине: моделирование роста опухолей

Смотрите также: Кривая Гомпертца § Рост опухолей

Другое применение логистической кривой находится в медицине, где логистическое дифференциальное уравнение используется для моделирования роста опухолей. Это приложение можно считать расширением вышеупомянутого использования в рамках экологии (см. также Обобщенную логистическую кривую , учитывающую больше параметров). Обозначая $X(t)$ размер опухоли на данный момент $t$, его динамика определяется

$$X'=r\left(1-{\frac {X}{K}}\right)X,$$

который относится к типу

$$X'=F(X)X,\quad F'(X)\leq 0,$$

где $F(X)$ это скорость пролиферации опухоли.

Если химиотерапия начинается с логарифмическим эффектом, уравнение можно пересмотреть следующим образом:

$$X'=r\left(1-{\frac {X}{K}}\right)X-c(t)X,$$

где $c(t)$ – уровень смертности, вызванной терапией. В идеализированном случае очень длительной терапии $c(t)$ можно смоделировать как периодическую функцию (периода $T$) или (в случае непрерывной инфузионной терапии) как постоянная функция, и получается, что

$${\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}c(t)\,dt>r\to \lim _{t\to +\infty }x(t)=0,$$

т.е. если средний уровень смертности, вызванный терапией, превышает базовый уровень пролиферации, то происходит ликвидация заболевания. Конечно, это упрощенная модель как роста, так и терапии (например, она не учитывает явление клональной резистентности).

В медицине: моделирование пандемии

Основная статья: Компартментальные модели в эпидемиологии

Новый инфекционный патоген, к которому у населения нет иммунитета, обычно распространяется экспоненциально на ранних стадиях, пока количество восприимчивых людей велико. Вирус SARS-CoV-2, вызывающий COVID-19, демонстрировал экспоненциальный рост на ранних стадиях заражения в нескольких странах в начале 2020 года. Факторы, в том числе отсутствие восприимчивых хозяев (из-за продолжающегося распространения инфекции до тех пор, пока она не преодолеет порог коллективного иммунитета ) или снижение доступности потенциальных хозяев из-за мер физического дистанцирования, могут привести к экспоненциальному виду кривых эпидемии, сначала линеаризуя (воспроизводя " переход от «логарифмического» к «логистическому», впервые отмеченный Пьером-Франсуа Верхюльстом , как отмечалось выше), а затем достигающий максимального предела.

Логистическая функция или связанные с ней функции (например, функция Гомпертца ) обычно используются в описательной или феноменологической манере, поскольку они хорошо подходят не только для раннего экспоненциального роста, но и для возможного выравнивания пандемии по мере развития у населения коллективного иммунитета. . Это контрастирует с реальными моделями пандемий, которые пытаются сформулировать описание, основанное на динамике пандемии (например, коэффициенте заражения, инкубационном времени, социальном дистанцировании и т. д.). Однако были разработаны некоторые простые модели, которые дают логистическое решение.

Моделирование ранних случаев COVID-19

Обобщенная логистическая функция (кривая роста Ричардса) в эпидемиологическом моделировании

Обобщенная логистическая функция , также называемая кривой роста Ричардса, была применена для моделирования ранней фазы вспышки COVID-19 . Авторы подгоняют обобщенную логистическую функцию к совокупному числу инфицированных случаев, называемому здесь траекторией заражения . встречаются различные параметризации обобщенной логистической функции В литературе . Одной из часто используемых форм является

$$f(t;\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3},\xi )={\frac {\theta _{1}}{[1+\xi \exp(-\theta _{2}\cdot (t-\theta _{3}))]^{1/\xi }}}$$

где $\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3}$ являются действительными числами, а $\xi$ является положительным действительным числом. Гибкость кривой $f$ обусловлен параметром $\xi$: (i) если $\xi =1$ тогда кривая сводится к логистической функции, и (ii) как $\xi$ приближается к нулю, кривая сходится к функции Гомпертца . В эпидемиологическом моделировании $\theta _{1}$, $\theta _{2}$, и $\theta _{3}$ представляют окончательный размер эпидемии, уровень заражения и лаг-фазу соответственно. На правой панели приведен пример траектории заражения, когда $(\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3})$ установлено на $(10000,0.2,40)$.

Экстраполированные траектории распространения инфекции в 40 странах, серьезно пострадавших от COVID-19, и средний показатель (население) до 14 мая.

Одним из преимуществ использования функции роста, такой как обобщенная логистическая функция , в эпидемиологическом моделировании является ее относительно простое применение в рамках многоуровневой модели , где можно объединить информацию из разных географических регионов.

В химии: модели реакций

Концентрация реагентов и продуктов автокаталитических реакций подчиняется логистической функции. Разложение катализатора реакции восстановления кислорода (ORR), не содержащего металлов платиновой группы (не содержащего МПГ), в катодах топливных элементов следует логистической функции распада: предполагая автокаталитический механизм деградации.

В физике: распределение Ферми – Дирака.

Логистическая функция определяет статистическое распределение фермионов по энергетическим состояниям системы, находящейся в тепловом равновесии. В частности, это распределение вероятностей того, что каждый возможный энергетический уровень занят фермионом, согласно статистике Ферми-Дирака .

В оптике: мираж

Логистическая функция также находит применение в оптике, особенно при моделировании таких явлений, как миражи . При определенных условиях, таких как наличие градиента температуры или концентрации из-за диффузии и баланса силы тяжести, может возникнуть поведение логистической кривой.

Мираж, возникающий в результате температурного градиента, который изменяет показатель преломления, связанный с плотностью/концентрацией материала на расстоянии, можно смоделировать с использованием жидкости с градиентом показателя преломления из-за градиента концентрации. Этот механизм можно приравнять к модели ограничения роста населения, в которой концентрированный регион пытается диффундировать в регион с более низкой концентрацией, одновременно стремясь к равновесию с гравитацией, что дает кривую логистической функции.

В материаловедении: Фазовые диаграммы.

См. Диффузионная сварка .

В лингвистике: изменение языка

В лингвистике логистическая функция может использоваться для моделирования изменения языка : инновация, которая сначала была маргинальной, со временем начинает распространяться быстрее, а затем медленнее по мере того, как она становится более универсальной.

В сельском хозяйстве: моделирование реакции сельскохозяйственных культур

Логистическую S-кривую можно использовать для моделирования реакции сельскохозяйственных культур на изменения факторов роста. Существует два типа функций отклика: положительные и отрицательные кривые роста. Например, урожайность сельскохозяйственных культур может увеличиваться с увеличением значения фактора роста до определенного уровня (положительная функция) или уменьшаться с увеличением значения фактора роста (отрицательная функция из-за отрицательного фактора роста), что требует обратного S-образная кривая.

Модель S-образной кривой зависимости урожайности сельскохозяйственных культур от глубины уровня грунтовых вод .

Модель обратной S-образной кривой зависимости урожайности сельскохозяйственных культур от засоления почвы .

В экономике и социологии: диффузия инноваций

Логистическую функцию можно использовать для иллюстрации хода распространения инновации на протяжении ее жизненного цикла.

В «Законах подражания» (1890) Габриэль Тард описывает возникновение и распространение новых идей через цепочки подражания. В частности, Тард выделяет три основных этапа распространения инноваций: первый соответствует трудным начинаниям, во время которых идее приходится бороться во враждебной среде, полной противоположных привычек и убеждений; второй соответствует собственно экспоненциальному взлету идеи, при этом $f(x)=2^{x}$; наконец, третий этап — логарифмический, с $f(x)=\log(x)$, и соответствует моменту, когда импульс идеи постепенно замедляется, одновременно с этим появляются новые идеи оппонента. Сложившаяся ситуация останавливает или стабилизирует прогресс инновации, приближающийся к асимптоте.

В суверенном государстве субнациональные единицы (составляющие штаты или города) могут использовать кредиты для финансирования своих проектов. Однако этот источник финансирования обычно подчиняется строгим правовым правилам, а также ограничениям экономического дефицита , особенно ресурсов, которые банки могут кредитовать (из-за их собственного капитала или ограничений Базельского соглашения ). Эти ограничения, которые представляют собой уровень насыщения, наряду с экспоненциальным натиском экономической конкуренции за деньги, создают распространение государственных финансов по кредитным просьбам, и совокупная национальная реакция представляет собой сигмовидную кривую .

Исторически сложилось так, что при появлении новых продуктов проводятся интенсивные исследования и разработки , которые приводят к значительному улучшению качества и снижению затрат. Это приводит к периоду быстрого роста промышленности. Некоторые из наиболее известных примеров: железные дороги, лампы накаливания, электрификация , автомобили и воздушные перевозки. В конце концов, возможности радикального улучшения и снижения затрат исчерпаны, продукт или процесс широко используются, а потенциальных новых клиентов остается мало, и рынки насыщаются.

Логистический анализ использовался в работах нескольких исследователей из Международного института прикладного системного анализа ( IIASA ). Эти статьи посвящены распространению различных инноваций, инфраструктур и замене источников энергии, а также роли труда в экономике, а также длительному экономическому циклу. Длинные экономические циклы исследовал Роберт Эйрес (1989). Чезаре Маркетти опубликовал работы о длинных экономических циклах и распространении инноваций. В книге Арнульфа Грюблера (1990) подробно описывается распространение инфраструктур, включая каналы, железные дороги, автомагистрали и авиалинии, показывая, что их распространение следует логистическим кривым.

Карлота Перес использовала логистическую кривую, чтобы проиллюстрировать длинный бизнес-цикл ( Кондратьева ), обозначив его следующими ярлыками: начало технологической эры как вторжение , подъем как безумие , быстрое развитие как синергия и завершение как зрелость .

Последовательный анализ

Связь создал расширение теории последовательного анализа Уолда для накопления случайных величин без распределения до тех пор, пока положительная или отрицательная граница не будет сначала равна или превышена. Связь выводит вероятность первого достижения положительной границы или ее превышения как $1/(1+e^{-\theta A})$, логистическая функция. Это первое доказательство того, что логистическая функция может иметь в своей основе случайный процесс. Связь приводит столетие примеров «логистических» экспериментальных результатов и недавно полученную связь между этой вероятностью и временем поглощения на границах.

См. также

• Перекрестная жидкость
• Гиперболический рост
• Ступенчатая функция Хевисайда
• Уравнение Хилла (биохимия)
• Кривая Хабберта
• Список математических функций
• ЗВЕЗДНАЯ модель
• Кинетика Михаэлиса – Ментен
• р / К теория выбора
• Выпрямитель (нейронные сети)
• Сдвинутое распределение Гомпертца
• Переломный момент (социология)

Ссылки

• Крамер, Дж. С. (2002). Истоки логистической регрессии (PDF) (Технический отчет). Том. 119. Институт Тинбергена. стр. 167–178. дои : 10.2139/ssrn.360300 .
  • Опубликовано как: Крамер, Дж. С. (2004). «Ранние истоки логит-модели». Исследования по истории и философии науки. Часть C: Исследования по истории и философии биологических и биомедицинских наук . 35 (4): 613–626. дои : 10.1016/j.shpsc.2004.09.003 .
• Джаннеди, Стефани; Бод, Ренс; Хэй, Дженнифер (2003). Вероятностная лингвистика . Кембридж, Массачусетс: MIT Press. ISBN  0-262-52338-8 .
• Гершенфельд, Нил А. (1999). Природа математического моделирования . Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-57095-4 .
• Кингсленд, Шэрон Э. (1995). Моделирование природы: эпизоды из истории популяционной экологии . Чикаго: Издательство Чикагского университета. ISBN  0-226-43728-0 .
• Вайсштейн, Эрик В. «Логистическое уравнение» . Математический мир .

Внешние ссылки

• Л. Дж. Линакр, Почему логистическая ожива, а не автокаталитическая кривая? , по состоянию на 12 сентября 2009 г.
• https://web.archive.org/web/20060914155939/http://luna.cas.usf.edu/~mbrannic/files/regression/Logistic.html
• Вайсштейн, Эрик В. «Сигмовидная функция» . Математический мир .
• Онлайн-эксперименты с JSXGraph
• Эссы повсюду.
• Видеть S-образную кривую во всем.
• Ограниченный логарифмический рост при инъекции