Быстрая модель

Модель Раша , названная в честь Георга Раша , представляет собой психометрическую модель для анализа категориальных данных , таких как ответы на вопросы по оценке чтения или ответы на анкету, как функцию компромисса между способностями, отношениями или личностными качествами респондента . и сложность предмета. Например, их можно использовать для оценки способностей учащегося к чтению или крайней степени отношения человека к смертной казни на основе ответов на анкету. Помимо психометрии и образовательных исследований, модель Раша и ее расширения используются в других областях, в том числе в сфере здравоохранения . сельское хозяйство , и исследование рынка.

Математическая теория, лежащая в основе моделей Раша, представляет собой частный случай теории реагирования на предмет . Однако существуют важные различия в интерпретации параметров модели и ее философских последствиях. которые отделяют сторонников модели Раша от традиции моделирования ответов на вопросы. Центральный аспект этого разделения связан с ролью специфической объективности, определяющее свойство модели Раша, согласно Георгу Рашу , как требование для успешного измерения.

Обзор

Модель Раша для измерения

В модели Раша вероятность определенного ответа (например, правильного/неправильного ответа) моделируется как функция параметров человека и предмета. В частности, в исходной модели Раша вероятность правильного ответа моделируется как логистическая функция разницы между параметром человека и предмета. Математическая форма модели представлена ​​далее в этой статье. В большинстве контекстов параметры модели характеризуют уровень знаний респондентов и сложность заданий как местоположений в непрерывной скрытой переменной. Например, в образовательных тестах параметры заданий представляют сложность заданий, а личностные параметры представляют способности или уровень знаний оцениваемых людей. Чем выше способности человека относительно сложности задания, тем выше вероятность правильного ответа на этот вопрос. Когда положение человека по скрытому признаку равно сложности задания, вероятность правильного ответа в модели Раша по определению составляет 0,5.

Модель Раша является моделью в некотором смысле в том смысле, что она представляет структуру, которую должны демонстрировать данные, чтобы получить измерения на основе данных; т.е. он обеспечивает критерий успешного измерения. Помимо данных, уравнения Раша моделируют отношения, которые мы ожидаем получить в реальном мире. Например, образование призвано подготовить детей ко всему спектру проблем, с которыми они столкнутся в жизни, а не только к тем, которые фигурируют в учебниках или на контрольных работах. Требуя, чтобы меры оставались одинаковыми (инвариантными) в разных тестах, измеряющих одно и то же, модели Раша позволяют проверить гипотезу о том, что конкретные проблемы, возникающие в учебной программе и в тесте, последовательно представляют собой бесконечную совокупность всех возможных проблем в этом домен. Таким образом, модель Раша — это модель в смысле идеала или стандарта, которая обеспечивает эвристическую фикцию, служащую полезным организующим принципом, даже если она никогда не наблюдается на практике.

Перспектива или парадигма, лежащая в основе модели Раша, отличается от точки зрения, лежащей в основе статистического моделирования . Модели чаще всего используются с целью описания набора данных. Параметры изменяются и принимаются или отклоняются в зависимости от того, насколько хорошо они соответствуют данным. Напротив, когда используется модель Раша, цель состоит в том, чтобы получить данные, соответствующие модели. Обоснованием этой точки зрения является то, что модель Раша воплощает требования, которые должны быть выполнены для получения измерений в том смысле, в котором измерение обычно понимается в физических науках.

Полезной аналогией для понимания этого обоснования является рассмотрение объектов, измеряемых на весах. Предположим, что вес объекта A в одном случае измерен как существенно больший, чем вес объекта B, а затем сразу после этого вес объекта B измерен как существенно больший, чем вес объекта A. Свойство, которое мы требуем от Измерения заключаются в том, что результирующее сравнение между объектами должно быть одинаковым или инвариантным независимо от других факторов. Это ключевое требование воплощено в формальной структуре модели Раша. Следовательно, модель Раша не изменяется в соответствии с данными. Вместо этого следует изменить метод оценки так, чтобы это требование было выполнено, точно так же, как следует скорректировать весы, если они дают разные сравнения между объектами при отдельных измерениях объектов.

Данные, анализируемые с помощью модели, обычно представляют собой ответы на обычные задания тестов, например образовательные тесты с правильными/неправильными ответами. Однако модель является общей и может применяться везде, где получены дискретные данные с целью измерения количественного признака или признака.

Масштабирование

Рисунок 1. Характеристическая кривая теста, показывающая взаимосвязь между общим баллом по тесту и оценкой местоположения человека.

Когда у всех участников теста есть возможность попробовать все задания в одном тесте, каждый общий балл в тесте соответствует уникальной оценке способностей, и чем больше эта сумма, тем выше оценка способностей. Общие баллы не имеют линейной зависимости от оценок способностей. Скорее, эта связь является нелинейной, как показано на рисунке 1. Общий балл показан на вертикальной оси, а соответствующая оценка местоположения человека показана на горизонтальной оси. Для конкретного теста, на котором основана характеристическая кривая теста (TCC), показанная на рисунке 1, взаимосвязь примерно линейна во всем диапазоне общих баллов от примерно 13 до 31. Форма TCC обычно несколько сигмовидная, как в этом примере. . Однако точная взаимосвязь между общим количеством баллов и оценками местоположения человека зависит от распределения заданий в тесте. TCC более крутой в диапазонах континуума, в которых больше элементов, например, в диапазоне по обе стороны от 0 на рисунках 1 и 2.

При применении модели Раша расположение элементов часто сначала масштабируется на основе методов, описанных ниже. Эту часть процесса масштабирования часто называют калибровкой элемента . В учебных тестах, чем меньше доля правильных ответов, тем выше сложность задания и, следовательно, тем выше масштаб задания. После масштабирования местоположения предметов на шкале измеряются местоположения людей. В результате местоположения людей и предметов оцениваются по единой шкале, как показано на рисунке 2.

Интерпретация расположения масштабов

Рисунок 2. График, показывающий гистограммы распределения людей (вверху) и распределения предметов (внизу) по шкале.

Для дихотомических данных, таких как правильные/неправильные ответы, по определению положение элемента на шкале соответствует местоположению человека, при котором существует вероятность 0,5 правильного ответа на вопрос. В общем, вероятность того, что человек правильно ответит на вопрос с трудностью ниже, чем местоположение этого человека, больше 0,5, в то время как вероятность правильно ответить на вопрос с трудностью, превышающей местоположение этого человека, составляет менее 0,5. Кривая характеристики предмета (ICC) или функция ответа предмета (IRF) показывает вероятность правильного ответа как функцию способностей людей. Один ICC показан и объяснен более подробно на рисунке 4 в этой статье (см. также функцию ответа на элемент ). Крайние левые ICC на рисунке 3 — это самые простые задания, а самые правые ICC на том же рисунке — самые сложные.

Когда ответы человека сортируются по сложности задания, от самой низкой к самой высокой, наиболее вероятным шаблоном является Гуттмана шаблон или вектор ; т.е. {1,1,...,1,0,0,0,...,0}. Однако, хотя этот шаблон является наиболее вероятным, учитывая структуру модели Раша, модель требует только вероятностных шаблонов ответа Гуттмана; то есть модели, которые имеют тенденцию к шаблону Гутмана. Ответы не всегда строго соответствуют шаблону, поскольку существует множество возможных шаблонов. Нет необходимости в том, чтобы ответы строго соответствовали шаблону, чтобы данные соответствовали модели Раша.

Рисунок 3: ICC для ряда позиций. ICC окрашены, чтобы подчеркнуть изменение вероятности успешного ответа для человека с расположением способностей на вертикальной линии. Человек, скорее всего, правильно отреагирует на самые простые задания (расположенные слева и выше кривых) и вряд ли правильно отреагирует на сложные задания (расположения справа и ниже кривых).

С каждой оценкой способностей связана стандартная ошибка измерения , которая количественно определяет степень неопределенности, связанную с оценкой способностей. Оценки позиций также имеют стандартные ошибки. Как правило, стандартные ошибки оценок предметов значительно меньше, чем стандартные ошибки оценок отдельных лиц, поскольку для предмета обычно имеется больше данных об ответах, чем для человека. То есть количество людей, пытающихся выполнить данный предмет, обычно больше, чем количество попыток, предпринятых данным человеком. Стандартные ошибки оценок людей меньше там, где наклон ICC более крутой, что обычно находится в среднем диапазоне оценок теста. Таким образом, в этом диапазоне обеспечивается большая точность, поскольку чем круче наклон, тем больше разница между любыми двумя точками на линии.

Статистические и графические тесты используются для оценки соответствия данных модели. Некоторые тесты являются глобальными, тогда как другие сосредоточены на конкретных предметах или людях. Определенные тесты на соответствие предоставляют информацию о том, какие элементы можно использовать для повышения надежности теста путем пропуска или исправления проблем с плохими элементами. В измерении Раша вместо индексов надежности используется индекс разделения людей. Однако индекс разделения людей аналогичен индексу надежности. Индекс разделения представляет собой сводку истинного разделения как отношения к разделению, включая ошибку измерения. Как упоминалось ранее, уровень ошибки измерения не является одинаковым для всего диапазона теста, но обычно выше для более экстремальных оценок (низких и высоких).

Особенности модели Раша

Класс моделей назван в честь Георга Раша , датского математика и статистика, который выдвинул эпистемологическое обоснование моделей, основанное на их соответствии с основным требованием измерения в физике ; а именно требование инвариантного сравнения . Это определяющая особенность класса моделей, которая подробно рассматривается в следующем разделе. Модель Раша для дихотомических данных имеет тесную концептуальную связь с законом сравнительного суждения (LCJ), моделью, сформулированной и широко используемой Л. Л. Терстоном , и, следовательно, также по шкале Терстоуна .

Прежде чем представить модель измерения, благодаря которой он наиболее известен, Раш применил распределение Пуассона к чтению данных в качестве модели измерения, выдвинув гипотезу, что в соответствующем эмпирическом контексте количество ошибок, совершаемых данным человеком, определяется соотношением сложность текста в зависимости от способности человека читать. Раш назвал эту модель мультипликативной моделью Пуассона . Модель Раша для дихотомических данных – т.е. когда ответы можно разделить на две категории – является его наиболее широко известной и используемой моделью, и ей уделяется здесь основное внимание. Эта модель имеет вид простой логистической функции .

В приведенном выше кратком описании подчеркиваются некоторые отличительные и взаимосвязанные особенности взгляда Раша на социальные измерения, а именно:

1. Его интересовали главным образом измерения индивидуумов , а не распределение среди населения.
2. Он был озабочен созданием основы для удовлетворения априорных требований к измерению, выведенных из физики, и, следовательно, не выдвигал никаких предположений о распределении уровней признака в популяции.
3. Подход Раша явно признает, что это научная гипотеза о том, что данная черта является одновременно количественной и измеримой, как это реализовано в конкретном экспериментальном контексте.

Таким образом, в соответствии с точкой зрения, сформулированной Томасом Куном в его статье 1961 года « Функция измерения в современной физической науке» , измерение считалось как основанным на теории , так и инструментом обнаружения количественных аномалий, несовместимых с гипотезами, связанными с более широкой теоретической основой. . Эта точка зрения контрастирует с той, которая обычно преобладает в социальных науках, в которых такие данные, как результаты тестов, напрямую рассматриваются как измерения, не требуя теоретического обоснования для измерения. Хотя этот контраст существует, точка зрения Раша на самом деле дополняет использование статистического анализа или моделирования, требующего измерений на интервальном уровне, поскольку цель применения модели Раша состоит в получении таких измерений. Применение моделей Раша описано в самых разных источниках.

Инвариантное сравнение и достаточность

Модель Раша для дихотомических данных часто рассматривается как модель теории ответов на вопросы (IRT) с одним параметром элемента. Однако вместо того, чтобы быть конкретной моделью IRT, сторонники модели рассматривайте ее как модель, обладающую свойством, отличающим ее от других моделей IRT. В частности, определяющим свойством моделей Раша является их формальное или математическое воплощение принципа инвариантного сравнения. Раш резюмировал принцип инвариантного сравнения следующим образом:

Сравнение двух стимулов не должно зависеть от того, какие именно люди сыграли важную роль в сравнении; и оно также должно быть независимым от того, какие другие стимулы внутри рассматриваемого класса сравнивались или могли также сравниваться.

Симметрично, сравнение между двумя людьми должно быть независимым от того, какие именно стимулы внутри рассматриваемого класса сыграли важную роль для сравнения; и оно также должно быть независимо от того, какие другие индивидуумы также сравнивались в том же или каком-либо другом случае.

Модели Раша воплощают этот принцип, поскольку их формальная структура допускает алгебраическое разделение параметров человека и предмета в том смысле, что параметр человека можно исключить в процессе статистической оценки параметров предмета. Этот результат достигается за счет использования условной оценки максимального правдоподобия , при которой пространство ответов разбивается в соответствии с общими баллами человека. В результате исходный балл для предмета или человека является достаточной статистикой предмета или человека для параметра . Другими словами, общий балл человека содержит всю информацию, доступную в заданном контексте об индивидууме, а общий балл по предмету содержит всю информацию, касающуюся предмета, относительно соответствующего скрытого признака. Модель Раша требует определенной структуры данных ответа, а именно вероятностной структуры Гуттмана .

Говоря более привычными терминами, модели Раша обеспечивают основу и обоснование определения местоположения человека в континууме на основе общего количества баллов по оценкам. Хотя общие баллы нередко рассматривают непосредственно как измерения, на самом деле они представляют собой подсчет дискретных наблюдений, а не измерений. Каждое наблюдение представляет собой наблюдаемый результат сравнения человека и предмета. Подобные результаты прямо аналогичны наблюдению за опрокидыванием весов в ту или иную сторону. Это наблюдение указывало бы на то, что тот или иной объект имеет большую массу, но количество таких наблюдений нельзя трактовать непосредственно как измерения.

Раш отметил, что принцип инвариантного сравнения характерен для измерений в физике с использованием, например, двусторонней экспериментальной системы отсчета, в которой каждый инструмент оказывает механическое воздействие на твердые тела для создания ускорения . Раш заявил об этом контексте: «Обычно: если для любых двух объектов мы находим определенное соотношение их ускорений, создаваемых одним инструментом, то такое же соотношение будет найдено для любого другого инструмента». Легко показать, что из второго закона Ньютона такие отношения обратно пропорциональны отношениям масс тел .

Математическая форма модели Раша для дихотомических данных

Позволять $X_{ni}=x\in \{0,1\}$ быть дихотомической случайной величиной, где, например, $x=1$ обозначает правильный ответ и $x=0$ неправильный ответ на данный пункт оценивания. В модели Раша для дихотомических данных вероятность результата $X_{ni}=1$ дается:

$\Pr\{X_{ni}=1\}={\frac {e^{{\beta _{n}}-{\delta _{i}}}}{1+e^{{\beta _{n}}-{\delta _{i}}}}},$

где $\beta _{n}$ это способность человека $n$ и $\delta _{i}$ это сложность предмета $i$. Таким образом, в случае дихотомического элемента достижения, $\Pr\{X_{ni}=1\}$ — вероятность успеха при взаимодействии между соответствующим лицом и объектом оценки. Легко показать, что логарифм вероятности , или логит , правильного ответа человека на предмет, основанный на модели, равен $\beta _{n}-\delta _{i}$. Даны два испытуемых с разными параметрами способностей. $\beta _{1}$ и $\beta _{2}$ и произвольный предмет с трудом $\delta _{i}$, вычислите разницу в логитах для этих двух испытуемых по формуле $(\beta _{1}-\delta _{i})-(\beta _{2}-\delta _{i})$. Эта разница становится $\beta _{1}-\beta _{2}$. И наоборот, можно показать, что логарифм шансов правильного ответа одного и того же человека на один предмет при условии правильного ответа на один из двух предметов равен разнице между местоположениями предметов. Например,

$\operatorname {log-odds} \{X_{n1}=1\mid \ r_{n}=1\}=\delta _{2}-\delta _{1},\,$

где $r_{n}$ — сумма баллов человека n по двум пунктам, предполагающая правильный ответ на тот или иной вопрос. Следовательно, условные логарифмические шансы не включают параметр человека. $\beta _{n}$, который, следовательно, можно исключить , условив общий балл $r_{n}=1$. То есть, разделив ответы в соответствии с необработанными баллами и вычислив логарифм шансов правильного ответа, можно получить оценку $\delta _{2}-\delta _{1}$ получается без участия $\beta _{n}$. В более общем смысле, ряд параметров элемента можно оценить итеративно с помощью такого процесса, как оценка условного максимального правдоподобия (см. Оценка модели Раша ). Несмотря на более сложную ситуацию, в таких оценках применяется тот же фундаментальный принцип.

Рисунок 4: ICC для модели Раша, показывающее сравнение наблюдаемых и ожидаемых пропорций с поправкой на пять классовых интервалов людей.

ICC модели Раша для дихотомических данных показан на рисунке 4. Серая линия отображает вероятность дискретного результата. $X_{ni}=1$ (т.е. правильно отвечая на вопрос) для лиц с разным расположением на латентном континууме (т.е. уровнем их способностей). Местоположение предмета – это, по определению, такое место, в котором вероятность того, что $X_{ni}=1$ равен 0,5. На рисунке 4 черные кружки представляют фактическую или наблюдаемую долю людей в пределах интервалов классов, для которых наблюдался результат. Например, в случае оценочного задания, используемого в контексте педагогической психологии , они могут отражать долю людей, правильно ответивших на этот вопрос. Лица упорядочиваются по оценкам их местонахождения в скрытом континууме и классифицируются на классовые интервалы на этой основе, чтобы графически проверить соответствие наблюдений модели. Имеется близкое соответствие данных модели. В дополнение к графической проверке данных используется ряд статистических тестов соответствия, чтобы оценить, можно ли, при необходимости, объяснить отклонения наблюдений от модели только случайными эффектами или же существуют систематические отклонения от модели.

Политомические расширения модели Раша

Основная статья: Политомическая модель Раша

Существует множество политомических расширений модели Раша, которые обобщают дихотомическую модель, чтобы ее можно было применять в контекстах, в которых последовательные целочисленные баллы представляют категории возрастающего уровня или величины скрытого признака, такого как повышение способностей, двигательной функции, одобрение заявление и так далее. Эти политомические расширения применимы, например, к использованию шкал Лайкерта, выставлению оценок при оценке образования и выставлению оценок судьями.

Другие соображения

Критика модели Раша заключается в том, что она является чрезмерно ограничительной или предписывающей, поскольку предположение модели состоит в том, что все элементы имеют одинаковую дискриминацию, тогда как на практике дискриминация элементов различается, и, таким образом, ни один набор данных никогда не покажет идеальное соответствие модели данных. Частым недоразумением является то, что модель Раша не позволяет каждому элементу иметь различную дискриминацию, но равная дискриминация является предположением об инвариантном измерении, поэтому различные различия элементов не запрещены, а скорее указывают на то, что качество измерения не соответствует теоретическому идеалу. Как и при физических измерениях, наборы данных реального мира никогда не будут идеально соответствовать теоретическим моделям, поэтому актуальный вопрос заключается в том, обеспечивает ли конкретный набор данных достаточное качество измерения для поставленной цели, а не в том, соответствует ли он идеально недостижимому стандарту совершенства.

Критика, характерная для использования модели Раша с данными ответов из элементов с множественным выбором, заключается в том, что в модели не предусмотрено угадывание, поскольку левая асимптота всегда приближается к нулевой вероятности в модели Раша. Это означает, что человек с низкими способностями всегда поймет предмет неправильно. Однако люди с низкими способностями, сдающие экзамен с несколькими вариантами ответов, имеют значительно более высокую вероятность выбора правильного ответа только случайно (для задания с k -вариантом вероятность составляет около 1/ k ).

Трехпараметрическая логистическая модель ослабляет оба этих предположения, а двухпараметрическая логистическая модель позволяет изменять наклоны. Однако спецификация равномерной дискриминации и нулевой левой асимптоты являются необходимыми свойствами модели для обеспечения достаточности простой невзвешенной исходной оценки. На практике ненулевая нижняя асимптота, обнаруженная в наборах данных с множественным выбором, представляет меньшую угрозу для измерения, чем обычно предполагается, и обычно не приводит к существенным ошибкам в измерении, когда хорошо разработанные тестовые задания используются разумно.

Верхельст и Глас (1995) вывели уравнения условного максимального правдоподобия (CML) для модели, которую они называют однопараметрической логистической моделью (OPLM). В алгебраической форме она идентична модели 2PL, но OPLM содержит заранее заданные индексы дискриминации, а не расчетные параметры дискриминации 2PL. Однако, как отмечают эти авторы, проблема, с которой приходится сталкиваться при оценке с использованием предполагаемых параметров дискриминации, заключается в том, что различия неизвестны, а это означает, что взвешенный исходный балл «не является простой статистикой, и, следовательно, невозможно использовать CML в качестве метода оценки». ". То есть достаточность взвешенной «оценки» в 2PL не может использоваться в соответствии с тем, как достаточная статистика определяется . Если веса вменяются, а не оцениваются, как в OPLM, возможна условная оценка и сохраняются некоторые свойства модели Раша. В OPLM значения индекса дискриминации ограничены диапазоном от 1 до 15. Ограничением этого подхода является то, что на практике значения индексов дискриминации должны быть заданы в качестве отправной точки. Это означает, что используется определенная оценка дискриминации, когда цель состоит в том, чтобы избежать ее.

Модель Раша для дихотомических данных по своей сути предполагает единственный параметр дискриминации, который, как отметил Раш, представляет собой произвольный выбор единицы , в которой выражаются или оцениваются величины скрытого признака. Однако модель Раша требует, чтобы дискриминация была единообразной при взаимодействии между людьми и предметами в пределах определенной системы отсчета (т. е. контекста оценки с учетом условий оценки).

Применение модели предоставляет диагностическую информацию о том, насколько хорошо соблюдается критерий. Применение модели также может предоставить информацию о том, насколько хорошо элементы или вопросы оценивания помогают измерить способности или черты характера. Например, зная долю людей, которые проявляют определенное поведение, модель Раша можно использовать для определения взаимосвязи между сложностью поведения , отношениями и поведением. Среди выдающихся сторонников моделей Раша — Бенджамин Дрейк Райт , Дэвид Андрич и Эрлинг Андерсен.

См. также

• Кружки масштабные
• шкала Гутмана

Дальнейшее чтение

• Андрич, Д. (1978a). Формулировка рейтинга для упорядоченных категорий ответов. Психометрика , 43, 357–74.
• Андрич, Д. (1988). Модели Раша для измерения . Беверли-Хиллз: Публикации Sage.
• Бейкер, Ф. (2001). Основы теории ответов на вопросы. Информационный центр ERIC по оценке и анализу, Университет Мэриленда, Колледж-Парк, Мэриленд. Доступно бесплатно с программным обеспечением, включенным в IRT на Edres.org.
• Фишер, Г.Х. и Моленаар, И.В. (1995). Модели Раша: основы, последние разработки и приложения . Нью-Йорк: Springer-Verlag.
• Гольдштейн Х. и Блинкхорн С. (1977). Мониторинг образовательных стандартов: неподходящая модель. . Bull.Br.Psychol.Soc. 30 309–311
• Гольдштейн Х. и Блинкхорн С. (1982). Модель Раша все еще не подходит . БЕРЖ 82 167–170.
• Хэмблтон Р.К., Джонс Р.В. «Сравнение классической теории тестов и ответов на задания», « Измерение образования: проблемы и практика» , 1993 г.; 12 (3): 38–47. доступно в серии ITEMS от Национального совета по измерению в образовании.
• Харрис Д. Сравнение 1-, 2- и 3-параметрических моделей IRT. Образовательные измерения: проблемы и практика;. 1989 год; 8: 35–41 доступны в серии ITEMS Национального совета по измерению в образовании.
• Линакр, Дж. М. (1999). «Понимание измерений Раша: методы оценки мер Раша». Журнал измерения результатов . 3 (4): 382–405. ПМИД   10572388 .
• фон Давьер М. и Карстенсен CH (2007). Модели Раша многомерного и смешанного распределения: расширения и приложения . Нью-Йорк: Спрингер. [1]
• фон Давьер, М. (2016). Модель Раша. В Виме Дж. ван дер Линдене (ред.): Справочник по теории реагирования на предметы (Бока-Ратон: CRC Press), Routledge Handbooks. [2]
• Райт, Б.Д., и Стоун, М.Х. (1979). Лучший тестовый дизайн . Чикаго, Иллинойс: MESA Press.
• Ву М. и Адамс Р. (2007). Применение модели Раша к психосоциальным измерениям: практический подход . Мельбурн, Австралия: Решения для измерения в сфере образования. Доступно бесплатно на сайте Educational Measurement Solutions.

Внешние ссылки

• Интернет-ресурсы Института объективных измерений Rasch
• Лаборатория психометрии Пирсона с информацией о моделях Раша.
• Журнал прикладных измерений
• Журнал измерения результатов (все выпуски доступны для бесплатного скачивания)
• Центр исследований и оценки Беркли (программное обеспечение ConstructMap)
• Каталог программного обеспечения Rasch – бесплатное и платное ПО
• Лаборатория моделирования IRT в Университете Иллинойса, Урбана Чемпион.
• Национальный совет по измерению в образовании (NCME)
• Транзакции измерения Rasch
• Стандарты образовательного и психологического тестирования
• Проблема с Рашем