Оценка модели Раша

Оценка модели Раша используется для оценки параметров модели Раша . Для оценки параметров на основе матриц данных ответа используются различные методы. Наиболее распространенными подходами являются типы оценки максимального правдоподобия , такие как совместная и условная оценка максимального правдоподобия. Совместные уравнения максимального правдоподобия (JML) эффективны, но непоследовательны для конечного числа элементов, тогда как уравнения условного максимального правдоподобия (CML) дают последовательные и несмещенные оценки элементов. Обычно считается, что оценки людей имеют связанную с ними предвзятость , хотя методы взвешенной оценки правдоподобия для оценки параметров человека уменьшают предвзятость.

Быстрая модель

Модель Раша для дихотомических данных имеет вид:

\Pr\{X_{ni}=1\}={\frac {\exp({\beta _{n}}-{\delta _{i}})}{1+\exp({\beta _{n}}-{\delta _{i}})}},

где $\beta _{n}$ это способность человека $n$ и $\delta _{i}$ это сложность предмета $i$ .

Совместная максимальная вероятность

Позволять $x_{ni}$ Обозначьте наблюдаемую реакцию человека n на пункт i . Вероятность матрицы наблюдаемых данных, которая является произведением вероятностей отдельных ответов, определяется функцией правдоподобия.

\Lambda ={\frac {\prod _{n}\prod _{i}\exp(x_{ni}(\beta _{n}-\delta _{i}))}{\prod _{n}\prod _{i}(1+\exp(\beta _{n}-\delta _{i}))}}.

Тогда функция логарифмического правдоподобия будет равна

\log \Lambda =\sum _{n}^{N}\beta _{n}r_{n}-\sum _{i}^{I}\delta _{i}s_{i}-\sum _{n}^{N}\sum _{i}^{I}\log(1+\exp(\beta _{n}-\delta _{i}))

где $r_{n}=\sum _{i}^{I}x_{ni}$ общий исходный балл для человека n , $s_{i}=\sum _{n}^{N}x_{ni}$ — общий исходный балл за пункт i , N — общее количество человек, а I — общее количество предметов.

Уравнения решения получаются путем взятия частных производных по $\delta _{i}$ и $\beta _{n}$ и установив результат равным 0. Уравнения решения JML:

s_{i}=\sum _{n=1}^{N}p_{ni},\quad i=1,\dots ,I

r_{n}=\sum _{i=1}^{I}p_{ni},\quad n=1,\dots ,N

где $p_{ni}=\exp(\beta _{n}-\delta _{i})/(1+\exp(\beta _{n}-\delta _{i}))$ .

Полученные оценки являются предвзятыми, и не существует конечных оценок для людей с нулевым баллом (нет правильных ответов) или со 100% правильными ответами (отличный балл). То же самое относится и к пунктам с крайними баллами, для них оценок также не существует. Эта предвзятость обусловлена хорошо известным эффектом, описанным Кифером и Вулфовицем (1956). Это порядка $(I-1)/I$ , и более точная (менее предвзятая) оценка каждого $\delta _{i}$ получается умножением оценок на $(I-1)/I$ .

Условная максимальная вероятность

Функция условного правдоподобия определяется как

\Lambda =\prod _{n}\Pr\{(x_{ni})\mid r_{n}\}={\frac {\exp(\sum _{i}-s_{i}\delta _{i})}{\prod _{n}\gamma _{r}}}

в котором

\gamma _{r}=\sum _{(x)\mid r}\exp(-\sum _{i}x_{ni}\delta _{i})

— элементарная симметричная функция порядка r , которая представляет собой сумму по всем комбинациям r элементов. Например, в случае трёх предметов:

\gamma _{2}=\exp(-\delta _{1}-\delta _{2})+\exp(-\delta _{1}-\delta _{3})+\exp(-\delta _{2}-\delta _{3}).

Подробности можно найти в главах фон Давьера (2016) для дихотомической модели Раша и фон Давьера и Роста (1995) для политомической модели Раша.

Алгоритмы оценки

своего рода алгоритм максимизации ожидания При оценке параметров моделей Раша используется . Алгоритмы реализации оценки максимального правдоподобия обычно используют итерации Ньютона – Рафсона для решения уравнений решения, полученных путем установки частных производных функций логарифмического правдоподобия равными 0. Критерии сходимости используются для определения момента прекращения итераций. Например, критерием может быть то, что средняя оценка элемента изменяется менее чем на определенное значение, например 0,001, между одной итерацией и другой для всех элементов.

См. также

Ссылки

Линакр, Дж. М. (2004). Методы оценки мер Раша . Глава 2 в книге EV Smith и RM Smith (ред.) «Введение в измерение Раша». Мэйпл Гроув, Миннесота: JAM Press.
Линакр, Дж. М. (2004). Оценка модели Раша: дополнительные темы . Глава 24 в книге EV Smith и RM Smith (ред.) «Введение в измерение Раша». Мэйпл Гроув, Миннесота: JAM Press.
Дэвьер М., Рост Дж. (1995) Политомные смешанные модели Раша. В: Фишер Г.Х., Моленаар И.В. (ред.) Модели Раша. Спрингер, Нью-Йорк, штат Нью-Йорк. https://doi.org/10.1007/978-1-4612-4230-7_20
фон Давьер, М. (2016). Модель Раша. Глава 3 в: Ван дер Линден, В. (ред.) Справочник по теории реагирования на предметы, Vol. 1. Второе издание. CRC Press, с. 31-48. https://www.taylorfrancis.com/chapters/edit/10.1201/9781315374512-12/rasch-model-matthias-von-davier