Политомическая модель Раша

Политомическая модель Раша является обобщением дихотомической модели Раша . Это модель измерения , которая потенциально может применяться в любом контексте, в котором целью является измерение черты или способности посредством процесса, в котором ответы на вопросы оцениваются последовательными целыми числами . Например, модель применима к использованию шкал Лайкерта , рейтинговых шкал и элементов оценки образования, для которых последовательно более высокие целые баллы предназначены для обозначения повышения уровня компетентности или достижений.

Предыстория и обзор

Политомная модель Раша была выведена Андричем (1978) после выводов Раша (1961) и Андерсена (1977) путем разрешения соответствующих членов общей формы модели Раша на пороговые параметры и параметры дискриминации . Когда модель была выведена, Андрич сосредоточился на использовании шкал Лайкерта в психометрии как для иллюстративных целей, так и для помощи в интерпретации модели.

Модель иногда называют моделью рейтинговой шкалы , когда (i) элементы имеют одинаковое количество пороговых значений и (ii), в свою очередь, разница между любым заданным местоположением порога и средним значением положений пороговых значений равна или единообразна для всех элементов. Однако это потенциально вводящее в заблуждение название модели, поскольку оно имеет гораздо более общее применение, чем так называемые рейтинговые шкалы. Модель также иногда называют моделью частичного зачета , особенно когда она применяется в образовательном контексте. Модель частичного кредита (Masters, 1982) имеет идентичную алгебраическую форму, но была выведена из другой отправной точки позднее и интерпретируется несколько иначе. Модель частичного кредита также допускает разные пороговые значения для разных статей. Хотя это название модели используется часто, Андрич (2005) предоставляет подробный анализ проблем, связанных с элементами подхода Мастерса, которые относятся конкретно к типу процесса реагирования, совместимому с моделью, и к эмпирическим ситуациям, в которых оценки пороговых положений неупорядочены. Эти вопросы обсуждаются при разработке следующей модели.

Модель представляет собой общую вероятностную модель измерения, которая обеспечивает теоретическую основу для использования последовательных целочисленных оценок таким образом, чтобы сохранить отличительное свойство, определяющее модели Раша: в частности, общие необработанные оценки являются достаточной статистикой для параметров моделей. см. в основной статье о модели Раша Подробную информацию об этом свойстве . Помимо сохранения этого свойства, модель позволяет провести строгую эмпирическую проверку гипотезы о том, что категории ответов представляют собой возрастающие уровни скрытого атрибута или черты и, следовательно, упорядочены. Причина, по которой модель обеспечивает основу для проверки этой гипотезы, заключается в том, что эмпирически возможно, что пороговые значения не смогут отобразить предполагаемый порядок.

В этой более общей форме модели Раша для дихотомических данных оценка по конкретному элементу определяется как количество пороговых положений скрытого признака, которые индивидуум превзошел. Это не означает, что процесс измерения предполагает проведение таких подсчетов в буквальном смысле; скорее, местоположения порогов в скрытом континууме обычно выводятся из матрицы данных ответа с помощью такого процесса оценки, как оценка условного максимального правдоподобия . В целом, основная особенность процесса измерения состоит в том, что индивидуумы классифицируются в одну из множества смежных или смежных упорядоченных категорий. Формат ответа, используемый в данном экспериментальном контексте, может достичь этого несколькими способами. Например, респонденты могут выбрать категорию, которая, по их мнению, лучше всего отражает уровень одобрения ими утверждения (например, «полностью согласен»), судьи могут классифицировать людей по категориям на основе четко определенных критериев, или человек может классифицировать физический стимул на основе на воспринимаемом сходстве с набором эталонных стимулов.

Политомическая модель Раша специализируется на модели дихотомических данных, когда ответы можно классифицировать только по двум категориям. В этом особом случае сложность предмета и (единый) порог идентичны. Концепция порога подробно описана в следующем разделе.

Политомическая модель Раша

Во-первых, пусть

X_{ni}=x\in \{0,1,\dots ,m_{i}\}\,

быть целой случайной величиной, где $m_{i}$ — максимальный балл по пункту i . То есть переменная $X_{ni}$ — это случайная величина, которая может принимать целые значения от 0 до максимума. $m_{i}$ .

В политомической модели Раша (Андрич, 1978) вероятность исхода $X_{ni}=x$ является

\Pr\{X_{ni}=x,x>0\}={\frac {\exp {{\sum _{k=1}^{x}(\beta _{n}}-{\tau _{ki}})}}{1+\sum _{j=1}^{m_{i}}\exp {{\sum _{k=1}^{j}(\beta _{n}}-{\tau _{ki}})}}};

\Pr\{X_{ni}=0\}={\frac {1}{1+\sum _{j=1}^{m_{i}}\exp {{\sum _{k=1}^{j}(\beta _{n}}-{\tau _{ki}})}}}

где $\tau _{ki}$ — k- е пороговое местоположение элемента i в скрытом континууме, $\beta _{n}$ - местоположение человека n в том же континууме, и $m_{i}$ — максимальный балл по пункту i . Эти уравнения аналогичны

\Pr\{X_{ni}=x\}={\frac {\exp {{\sum _{k=0}^{x}(\beta _{n}}-{\tau _{ki}})}}{\sum _{j=0}^{m_{i}}\exp {{\sum _{k=0}^{j}(\beta _{n}}-{\tau _{ki}})}}}

где значение $\tau _{0i}$ выбирается из соображений удобства вычислений, а именно: $\sum _{k=0}^{m_{i}}(\beta _{n}-\tau _{ki})\equiv 0$ .

Модель рейтинговой шкалы

Аналогично, модель «Рейтинговой шкалы» Раша (Андрич, 1978)

\Pr\{X_{ni}=x\}={\frac {\exp {{\sum _{k=0}^{x}(\beta _{n}}-({\delta _{i}-\tau _{k}}))}}{\sum _{j=0}^{m}\exp {{\sum _{k=0}^{j}(\beta _{n}}-{(\delta _{i}-\tau _{k}}))}}}

где $\delta _{i}$ - сложность пункта i и $\tau _{k}$ – k- е пороговое положение оценочной шкалы, общее для всех пунктов. m — максимальный балл, одинаковый для всех предметов. $\tau _{0}$ выбрано для удобства вычислений.

Приложение

Применительно к данному эмпирическому контексту модель можно рассматривать как математическую гипотезу о том, что вероятность данного результата является вероятностной функцией этих параметров человека и предмета. График, показывающий связь между вероятностью данной категории в зависимости от местоположения человека, называется кривой вероятности категории (CPC). Пример цены за клик для товара с пятью категориями, оцененным от 0 до 4, показан на рисунке 1.

**Рисунок 1. Кривые вероятности категорий Раша для элемента с пятью упорядоченными категориями.**

Заданный порог $\tau _{ki}$ делит континуум на области выше и ниже его местоположения. Порог соответствует месту в скрытом континууме, в котором с равной вероятностью человек будет отнесен к соседним категориям и, следовательно, получит один из двух последовательных баллов. Первый порог пункта i , $\tau _{1i}$ , — это место в континууме, в котором человек с одинаковой вероятностью получит оценку 0 или 1, второй порог — это место, в котором человек с равной вероятностью получит оценку 1 и 2, и так далее. В примере, показанном на рисунке 1, пороговые местоположения составляют -1,5, -0,5, 0,5 и 1,5 соответственно.

Респонденты могут получить баллы разными способами. Например, при использовании форматов ответов Лайкерта «Совершенно не согласен» может быть присвоен 0, «Не согласен » — 1, «Согласен» — 2 и «Совершенно согласен» — 3. В контексте оценки в педагогической психологии последовательно более высокие целочисленные баллы могут присуждаться в соответствии с явными критерии или описания, которые характеризуют растущие уровни достижений в конкретной области, например, в понимании прочитанного. Общей и центральной особенностью является то, что некий процесс должен привести к классификации каждого человека в одну из множества упорядоченных категорий, которые в совокупности составляют элемент оценки.

Разработка модели

Развивая особенности модели, Андрич (2005) поясняет, что ее структура предполагает одновременный процесс классификации , который приводит к одному явному ответу и включает в себя ряд дихотомических скрытых ответов. Кроме того, скрытые дихотомические реакции действуют в рамках структуры Гутмана и связанного с ней пространства ответов, как показано ниже.

Позволять

Y_{nk}=y\in \{0,1\},k\in \{0,1,\dots ,m\}\,

быть набором независимых дихотомических случайных величин. Андрич (1978, 2005) показывает, что политомическая модель Раша требует, чтобы эти дихотомические ответы соответствовали скрытому подпространству ответов Гуттмана:

\Omega '\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \{1,\dots ,1,0,\dots ,0\}

в котором за единицами за x следуют нули mx . Например, в случае двух порогов допустимыми шаблонами в этом подпространстве ответа являются:

0,0\Leftrightarrow 0

1,0\Leftrightarrow 1

1,1\Leftrightarrow 2

где целочисленная оценка x, подразумеваемая каждым шаблоном (и наоборот), такая, как показано. Причина, по которой это подпространство подразумевается в модели, заключается в следующем. Позволять

P_{nxi}={\frac {\exp({\beta _{n}}-{\tau _{ki}})}{1+\exp({\beta _{n}}-{\tau _{ki}})}},\ k=x,\,

быть вероятностью того, что $Y_{nki}=1$ и пусть $Q_{nxi}=1-P_{nxi}$ . Эта функция имеет структуру модели Раша для дихотомических данных. Далее рассмотрим следующую условную вероятность в случае двух порогов:

{\frac {P_{n1}Q_{n2}}{Q_{n1}Q_{n2}+P_{n1}Q_{n2}+P_{n1}P_{n2}}}.

Можно показать, что эта условная вероятность равна

{\frac {\exp {{\sum _{k=1}^{1}(\beta _{n}}-{\tau _{k}})}}{1+\sum _{j=1}^{2}\exp {{\sum _{k=1}^{j}(\beta _{n}}-{\tau _{k}})}}}

что, в свою очередь, является вероятностью $Pr\{X_{ni}=1\}$ заданной политомической моделью Раша. Из знаменателя этих уравнений видно, что вероятность в этом примере зависит от характера реакции $\{0,0\},\{1,0\},$ или $\{1,1\}$ . Таким образом, очевидно, что в общем случае подпространство отклика $\Omega '$ , как определено ранее, присуще структуре политомной модели Раша. Это ограничение на подпространство необходимо для обоснования целочисленной оценки ответов: т. е. так, чтобы оценка представляла собой просто количество превышенных упорядоченных порогов. Андрич (1978) показал, что для этого оправдания также необходима равная дискриминация на каждом из порогов.

В политомической модели Раша оценка x по данному элементу означает, что человек одновременно превзошел пороги x ниже определенного региона континуума и не смог превзойти оставшиеся пороги m - x выше этого региона. Чтобы это было возможно, пороговые значения должны располагаться в их естественном порядке, как показано в примере на рисунке 1. Неупорядоченные оценки пороговых значений указывают на неспособность создать контекст оценки, в котором классификации, представленные последовательными баллами, отражают возрастающие уровни скрытых показателей. черта. Например, рассмотрим ситуацию, в которой имеется два порога и в которой оценка второго порога ниже в континууме, чем оценка первого порога. Если понимать местоположения буквально, отнесение человека к категории 1 подразумевает, что местоположение человека одновременно превосходит второй порог, но не превышает первый порог. В свою очередь, это подразумевает шаблон ответа {0,1}, шаблон, который не принадлежит подпространству шаблонов, свойственному структуре модели, как описано выше.

Поэтому, когда пороговые оценки неупорядочены, их нельзя понимать буквально; скорее, разупорядочение само по себе указывает на то, что классификации не удовлетворяют критериям, которые логически должны быть удовлетворены, чтобы оправдать использование последовательных целочисленных оценок в качестве основы для измерения. Чтобы подчеркнуть этот момент, Андрич (2005) использует пример, в котором присуждаются оценки «неудовлетворительно», «удовлетворительно», «зачет» и «отлично». Эти оценки или классификации обычно предназначены для обозначения возрастающих уровней достижений. Рассмотрим человека А, чье местоположение в скрытом континууме находится на пороге между областями континуума, где с наибольшей вероятностью будут выданы пропуск и зачет. Рассмотрим также другого человека B, чье местоположение находится на границе между регионами, в которых с наибольшей вероятностью будут присуждены баллы и отличия. В примере, рассмотренном Андричем (2005, стр. 25), неупорядоченные пороги, если понимать их буквально, будут означать, что местоположение человека А (на пороге прохода/зачета) выше, чем у человека Б (на уровне кредита/отличия). порог). То есть, если понимать буквально, неупорядоченные пороговые местоположения будут означать, что человеку нужно будет продемонстрировать более высокий уровень достижений, чтобы достичь порога прохода/зачета, чем это необходимо для достижения порога зачета/отличия. Очевидно, что это противоречит цели такой системы оценок. Таким образом, разброс пороговых значений будет указывать на то, что способ выставления оценок не соответствует предназначению системы оценок. То есть разупорядочение будет означать, что гипотеза, заложенная в системе оценок (что оценки представляют собой упорядоченные классификации возрастающей успеваемости), не подтверждается структурой эмпирических данных.

Ссылки

Андерсен, Э.Б. (1977). Достаточная статистика и модели скрытых черт, Психометрика , 42, 69–81.
Андрич, Д. (1978). Формулировка рейтинга для упорядоченных категорий ответов. Психометрика , 43, 561–73.
Андрич, Д. (2005). Объяснение модели Раша. В книге Сивакумар Алагумалай, Дэвид Д. Дуртис и Нджора Хунги (ред.) «Прикладное измерение Раша: книга примеров» . Спрингер-Клювер. Глава 3, 308–328.
Мастерс, Дж. Н. (1982). Модель Раша для частичного кредитного скоринга. Психометрика , 47, 149–174.
Раш, Г. (1960/1980). Вероятностные модели для некоторых тестов интеллекта и достижений . (Копенгаген, Датский институт исследований в области образования), расширенное издание (1980 г.) с предисловием и послесловием Б. Д. Райта. Чикаго: Издательство Чикагского университета.
фон Давьер М. и Рост Дж. (1995). Политомические смешанные модели Раша . В книге Г.Х. Фишера и И.В. Моленаара (ред.): Модели Раша – основы, последние разработки и приложения. (стр. 371-379). Нью-Йорк: Спрингер. https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-1-4612-4230-7_20
фон Давьер М. (2014) Политомические модели Раша. В: Микалос AC (ред.) Энциклопедия исследований качества жизни и благополучия. Спрингер, Дордрехт. https://doi.org/10.1007/978-94-007-0753-5_2412
Райт, Б.Д. и Мастерс, Дж.Н. (1982). Анализ рейтинговой шкалы . Чикаго: МЕСА Пресс. (Доступно в Институте объективных измерений.)

Внешние ссылки