ЗВЕЗДНАЯ модель

В статистике модели авторегрессии с плавным переходом ( STAR ) , обычно применяются к данным временных рядов как расширение авторегрессионных моделей чтобы обеспечить более высокую степень гибкости параметров модели за счет плавного перехода .

Учитывая временной ряд данных x _t , модель STAR является инструментом для понимания и, возможно, прогнозирования будущих значений в этом ряду, предполагая, что поведение ряда меняется в зависимости от значения переменной перехода . Переход может зависеть от прошлых значений ряда x (аналогично моделям SETAR ) или экзогенных переменных.

Модель состоит из двух авторегрессионных (AR) частей, связанных функцией перехода. Эту модель обычно называют моделями STAR ( p ), после которой идет буква, описывающая функцию перехода (см. ниже), а p — это порядок авторегрессионной части. Наиболее популярные функции перехода включают показательную функцию и логистические функции первого и второго порядка. Они порождают модели Logistic STAR ( LSTAR ) и Exponential STAR ( ESTAR ).

Определение

Авторегрессионные модели

Рассмотрим простую модель AR( p ) для временного ряда y _t

y_{t}=\gamma _{0}+\gamma _{1}y_{t-1}+\gamma _{2}y_{t-2}+...+\gamma _{p}y_{t-p}+\epsilon _{t}.\,

где:

\gamma _{i}\,

для i =1,2,..., p — коэффициенты авторегрессии , считающиеся постоянными во времени;

\epsilon _{t}{\stackrel {\mathit {iid}}{\sim }}WN(0;\sigma ^{2})\,

обозначает термин ошибки белого шума с постоянной дисперсией .

записано в следующей векторной форме:

y_{t}=\mathbf {X_{t}\gamma } +\sigma \epsilon _{t}.\,

где:

\mathbf {X_{t}} =(1,y_{t-1},y_{t-2},\ldots ,y_{t-p})\,

– вектор-столбец переменных;

\gamma \,

вектор параметров:

\gamma _{0},\gamma _{1},\gamma _{2},...,\gamma _{p}\,

;

\epsilon _{t}{\stackrel {\mathit {iid}}{\sim }}WN(0;1)\,

обозначает термин ошибки белого шума с постоянной дисперсией .

STAR как расширение авторегрессионной модели

Модели STAR были представлены и всесторонне разработаны Кунг-Сиком Чаном и Хауэллом Тонгом в 1986 году (особенно стр. 187), в которых использовалась та же аббревиатура. Первоначально оно означает Smooth Threshold AutoRegressive. Некоторую предысторию см. в Tong (2011, 2012). Модели можно рассматривать как расширение обсуждавшихся выше авторегрессионных моделей, допуская изменения параметров модели в соответствии со значением переходной переменной z _t . Чан и Тонг (1986) строго доказали, что семейство моделей STAR включает модель SETAR как предельный случай, показав равномерную ограниченность и равнонепрерывность по параметру переключения. Без этого доказательства говорить о том, что модели STAR являются взаимосвязями с моделью SETAR, необоснованно. К сожалению, в большей части литературы вопрос о том, следует ли использовать для своих данных модель SETAR или модель STAR, является вопросом субъективного суждения, вкуса и склонностей. К счастью, для решения этой проблемы теперь доступна процедура тестирования, основанная на тесте Дэвида Кокса для отдельного семейства гипотез и разработанная Гао, Лингом и Тонгом (2018, Statistica Sinica, том 28, 2857-2883). Такой тест важен перед принятием модели STAR, поскольку, помимо прочего, параметр, контролирующий скорость переключения, общеизвестно требует больших объемов данных.

Определенную таким образом модель STAR можно представить следующим образом:

y_{t}=\mathbf {X_{t}} +G(z_{t},\zeta ,c)\mathbf {X_{t}} +\sigma ^{(j)}\epsilon _{t}\,

где:

X_{t}=(1,y_{t-1},y_{t-2},...,y_{t-p})\,

– вектор-столбец переменных;

G(z_{t},\zeta ,c)

— функция перехода, ограниченная между 0 и 1.

Базовая структура

Их можно понимать как двухрежимную модель SETAR с плавным переходом между режимами или как континуум режимов. В обоих случаях наличие функции перехода является определяющей особенностью модели, поскольку допускает изменение значений параметров.