Фазовая линия (математика)

В математике фазовая линия — это диаграмма, показывающая качественное поведение автономного обыкновенного дифференциального уравнения с одной переменной. ${\tfrac {dy}{dx}}=f(y)$ . Фазовая линия — это одномерная форма общей $n$ -мерное фазовое пространство и может быть легко проанализировано.

Диаграмма

Линия, обычно вертикальная, представляет интервал области определения производной . Критические точки (т.е. корни производной ${\tfrac {dy}{dx}}$ , баллы $y$ такой, что $f(y)=0$ ) указаны, а промежутки между критическими точками обозначены стрелками: интервал, на котором производная положительна, отмечен стрелкой, указывающей в положительном направлении вдоль линии (вверх или вправо), а интервал, на котором производная положительна отрицательный, имеет стрелку, указывающую в отрицательном направлении вдоль линии (вниз или влево). Фазовая линия по форме идентична линии, использованной в первом тесте производной , за исключением того, что она нарисована вертикально, а не горизонтально, и интерпретация практически идентична, с той же классификацией критических точек.

Примеры

Простейшими примерами фазовой линии являются тривиальные фазовые линии, соответствующие функциям $f(y)$ которые не меняют знака: если $f(y)=0$ , каждая точка представляет собой устойчивое равновесие ( $y$ не меняется); если $f(y)>0$ для всех $y$ , затем $y$ всегда возрастает, и если $f(y)<0$ затем $y$ всегда уменьшается.

Простейшими нетривиальными примерами являются модель экспоненциального роста /распада (одно нестабильное/стабильное равновесие) и модель логистического роста (два равновесия, одно стабильное, одно нестабильное).

Классификация критических точек

Критическая точка может быть классифицирована как стабильная, нестабильная или полустабильная (эквивалентно стоку, источнику или узлу) путем проверки соседних с ней стрелок.

Если обе стрелки направлены в сторону критической точки, она устойчива (сток): ближайшие решения будут асимптотически сходиться к критической точке, а решение устойчиво при малых возмущениях, то есть, если решение будет возмущено, оно вернется к (сойдется к) решение.

Если обе стрелки направлены в сторону от критической точки, она неустойчива (источник): близлежащие решения будут расходиться от критической точки, и решение неустойчиво при малых возмущениях, то есть, если решение будет возмущено, оно не вернется в исходное состояние. решение.

В противном случае - если одна стрелка указывает на критическую точку, а другая - в сторону - она полустабильна (узел): она стабильна в одном направлении (где стрелка указывает на точку) и неустойчива в другом направлении (где стрелка направлена в сторону от точки).

См. также

Тест первой производной , аналог в элементарном дифференциальном исчислении
Фазовая плоскость , 2-мерная форма
Фазовое пространство , $n$ -размерная форма

Ссылки

Равновесия и фазовая линия , Мохамед Амин Хамси, SOS Math, последнее обновление 22 июня 1998 г.
«Фазовая линия и график векторного поля» . math.bu.edu . Проверено 23 апреля 2015 г.