Jump to content

Фазовая линия (математика)

Сюжет (слева) и его фазовая линия (справа). В этом случае a и c являются стоками, а b — источником.

В математике фазовая линия — это диаграмма, показывающая качественное поведение автономного обыкновенного дифференциального уравнения с одной переменной. . Фазовая линия — это одномерная форма общей -мерное фазовое пространство и может быть легко проанализировано.

Диаграмма

[ редактировать ]

Линия, обычно вертикальная, представляет интервал области определения производной . Критические точки (т.е. корни производной , баллы такой, что ) указаны, а промежутки между критическими точками обозначены стрелками: интервал, на котором производная положительна, отмечен стрелкой, указывающей в положительном направлении вдоль линии (вверх или вправо), а интервал, на котором производная положительна отрицательный, имеет стрелку, указывающую в отрицательном направлении вдоль линии (вниз или влево). Фазовая линия по форме идентична линии, использованной в первом тесте производной , за исключением того, что она нарисована вертикально, а не горизонтально, и интерпретация практически идентична, с той же классификацией критических точек.

Простейшими примерами фазовой линии являются тривиальные фазовые линии, соответствующие функциям которые не меняют знака: если , каждая точка представляет собой устойчивое равновесие ( не меняется); если для всех , затем всегда возрастает, и если затем всегда уменьшается.

Простейшими нетривиальными примерами являются модель экспоненциального роста /распада (одно нестабильное/стабильное равновесие) и модель логистического роста (два равновесия, одно стабильное, одно нестабильное).

Классификация критических точек

[ редактировать ]

Критическая точка может быть классифицирована как стабильная, нестабильная или полустабильная (эквивалентно стоку, источнику или узлу) путем проверки соседних с ней стрелок.

Если обе стрелки направлены в сторону критической точки, она устойчива (сток): ближайшие решения будут асимптотически сходиться к критической точке, а решение устойчиво при малых возмущениях, то есть, если решение будет возмущено, оно вернется к (сойдется к) решение.

Если обе стрелки направлены в сторону от критической точки, она неустойчива (источник): близлежащие решения будут расходиться от критической точки, и решение неустойчиво при малых возмущениях, то есть, если решение будет возмущено, оно не вернется в исходное состояние. решение.

В противном случае - если одна стрелка указывает на критическую точку, а другая - в сторону - она ​​полустабильна (узел): она стабильна в одном направлении (где стрелка указывает на точку) и неустойчива в другом направлении (где стрелка направлена ​​в сторону от точки).

См. также

[ редактировать ]
  • Равновесия и фазовая линия , Мохамед Амин Хамси, SOS Math, последнее обновление 22 июня 1998 г.
  • «Фазовая линия и график векторного поля» . math.bu.edu . Проверено 23 апреля 2015 г.
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: f1216b1cfb886e94d8737efe3e57fbc3__1663640460
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/f1/c3/f1216b1cfb886e94d8737efe3e57fbc3.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Phase line (mathematics) - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)