Студенческий диапазон

В статистике , стьюдентизированный диапазон обозначаемый q , представляет собой разницу между наибольшими и наименьшими данными в выборке, нормализованную выборки стандартным отклонением .Он назван в честь Уильяма Сили Госсета (писавшего под псевдонимом « Студент ») и был введен им в 1927 году. ^[1] Эта концепция позже обсуждалась Ньюманом (1939): ^[2] Кеулс (1952), ^[3] и Джон Тьюки в некоторых неопубликованных заметках.Его статистическое распределение представляет собой распределение стьюдентизированного диапазона , которое используется для нескольких процедур сравнения, таких как одношаговая процедура , критерий диапазона Тьюки , метод Ньюмана-Кейлса и процедура понижения Дункана, а также для установления доверительных интервалов , которые все еще действительны после получения данных. слежение . произошло ^[4]

Описание

Значение стьюдентизированного диапазона , чаще всего представленного переменной q , может быть определено на основе случайной выборки x ₁ , ..., x _n из распределения чисел N (0, 1) и другой случайной величины s , которая не зависит от всех x _i и νs ² имеет χ ² распределение с ν степенями свободы. Затем

q_{n,\nu }={\frac {\max\{\,x_{1},\ \dots ,\ x_{n}\,\}-\min\{\,x_{1},\ \dots ,\ x_{n}\}}{s}}=\max _{i,j=1,\dots ,n}\left\{{\frac {x_{i}-x_{j}}{s}}\right\}

имеет распределение по стьюдентизированному диапазону для n групп и ν степеней свободы. В приложениях x _i обычно являются средними значениями выборок, каждая из которых имеет размер m , s. ² — объединенная дисперсия , а степени свободы равны ν = n ( m — 1).

Критическое значение q зависит от трех факторов:

α (вероятность отклонения истинной нулевой гипотезы )
n (количество наблюдений или групп)
ν (степени свободы, используемые для оценки выборочной дисперсии )

Распределение

Если X ₁ , ..., X _n являются независимыми одинаково распределенными случайными величинами , которые имеют нормальное распределение , распределение вероятностей их стьюдентизированного диапазона представляет собой то, что обычно называют стьюдентизированным диапазонным распределением . Обратите внимание, что определение q не зависит от ожидаемого значения или стандартного отклонения распределения, из которого взята выборка, и, следовательно, его распределение вероятностей одинаково, независимо от этих параметров.

Студенчество

Как правило, термин стьюдентизированный означает, что масштаб переменной был скорректирован путем деления на оценку генеральной совокупности стандартного отклонения (см. также стьюдентизированный остаток ). Тот факт, что стандартное отклонение является стандартным отклонением выборки , а не стандартным отклонением генеральной совокупности , и, следовательно, чем-то, что отличается от одной случайной выборки к другой, имеет важное значение для определения и распределения стьюдентизированных данных . Вариативность значения выборочного стандартного отклонения вносит дополнительную неопределенность в рассчитанные значения. Это усложняет задачу нахождения распределения вероятностей любой стьюдентизированной статистики .

См. также

Ссылки

^ Студент (1927). «Ошибки рутинного анализа». Биометрика . 19 (1/2): 151–164. дои : 10.2307/2332181 . JSTOR 2332181 .
^ Ньюман Д. (1939). «Распределение диапазона выборок из нормальной популяции, выраженное через независимую оценку стандартного отклонения». Биометрика . 31 (1–2): 20–30. дои : 10.1093/biomet/31.1-2.20 .
^ Кеулс М. (1952). «Использование «студентизированного диапазона» в связи с дисперсионным анализом». Эвфитика . 1 (2): 112–122. дои : 10.1007/bf01908269 . S2CID 19365087 .
^ Джон А. Рафтер (2002). «Множественные методы сравнения средних». Обзор СИАМ . 44 (2): 259–278. Бибкод : 2002SIAMR..44..259R . CiteSeerX 10.1.1.132.2976 . дои : 10.1137/s0036144501357233 .

Дальнейшее чтение

Пирсон, ES; Хартли, Х.О. (1970) Таблицы биометрики для статистиков, том 1, 3-е издание , издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-05920-8
Джон Нетер, Майкл Х. Катнер, Кристофер Дж. Нахтсхайм, Уильям Вассерман (1996) Прикладные линейные статистические модели , четвертое издание, McGraw-Hill, стр. 726.
Джон А. Райс (1995) Математическая статистика и анализ данных , второе издание, Duxbury Press, страницы 451–452.
Дуглас К. Монтгомери (2013) «Планирование и анализ экспериментов», восьмое издание, Wiley, стр. 98.

[1] Студент (1927). «Ошибки рутинного анализа». Биометрика . 19 (1/2): 151–164. дои : 10.2307/2332181 . JSTOR 2332181 .

[2] Ньюман Д. (1939). «Распределение диапазона выборок из нормальной популяции, выраженное через независимую оценку стандартного отклонения». Биометрика . 31 (1–2): 20–30. дои : 10.1093/biomet/31.1-2.20 .

[3] Кеулс М. (1952). «Использование «студентизированного диапазона» в связи с дисперсионным анализом». Эвфитика . 1 (2): 112–122. дои : 10.1007/bf01908269 . S2CID 19365087 .

[4] Джон А. Рафтер (2002). «Множественные методы сравнения средних». Обзор СИАМ . 44 (2): 259–278. Бибкод : 2002SIAMR..44..259R . CiteSeerX 10.1.1.132.2976 . дои : 10.1137/s0036144501357233 .

[1]

[2]

[3]

[4]