Квантовый Т-дизайн

Квантовый t-дизайн — это распределение вероятностей либо по чистым квантовым состояниям , либо по унитарным операторам, которые могут дублировать свойства распределения вероятностей по мере Хаара для полиномов степени t или меньше. В частности, среднее значение любой полиномиальной функции степени t по плану точно такое же, как среднее значение по мере Хаара. Здесь мера Хаара — это равномерное распределение вероятностей по всем квантовым состояниям или по всем унитарным операторам. Квантовые t-планы названы так потому, что они аналогичны t-планам в классической статистике, возникшим исторически в связи с проблемой планирования экспериментов . Двумя особенно важными типами t-дизайнов в квантовой механике являются проективные и унитарные t-дизайны.

Сферический дизайн — это набор точек на единичной сфере, для которых можно усреднить полиномы ограниченной степени, чтобы получить то же значение, которое дает интегрирование по поверхностной мере на сфере. Сферические и проективные Т-образные конструкции получили свои названия от работ Дельсарта, Гетальса и Зейделя в конце 1970-х годов, но эти объекты ранее играли роль в нескольких областях математики, включая численное интегрирование и теорию чисел. Конкретные примеры этих объектов нашли применение в квантовой теории информации . квантовая криптография и другие смежные области.

Унитарные Т-образные конструкции аналогичны сферическим конструкциям в том, что они воспроизводят всю унитарную группу через конечный набор унитарных матриц . Теория унитарных 2-конструкций была разработана в 2006 году. специально для достижения практических средств эффективного и масштабируемого рандомизированного сравнительного анализа. для оценки ошибок в операциях квантовых вычислений, называемых гейтами. С тех пор унитарные t-схемы оказались полезными в других областях квантовых вычислений и, в более широком смысле, в квантовой теории информации и применялись к таким далеко идущим проблемам, как информационный парадокс черной дыры. Унитарные t-схемы особенно актуальны для задач рандомизации в квантовых вычислениях, поскольку идеальные операции обычно представляются унитарными операторами.

Мотивация

В d-мерном гильбертовом пространстве при усреднении по всем квантовым чистым состояниям естественной группой является SU(d), специальная унитарная группа размерности d. Мера Хаара по определению является уникальной группово-инвариантной мерой, поэтому она используется для усреднения свойств, которые не являются унитарно-инвариантными для всех состояний или для всех унитарных состояний.

Особенно широко используемым примером этого является вращение ${\tfrac {1}{2}}$ система. Для этой системы соответствующей группой является SU(2), которая представляет собой группу всех унитарных операторов 2x2 с определителем 1. Поскольку каждый оператор в SU(2) представляет собой вращение сферы Блоха , мера Хаара для частиц со спином 1/2 инвариантен относительно всех вращений сферы Блоха. Это означает, что мера Хаара является вращательно-инвариантной мерой на сфере Блоха, которую можно рассматривать как постоянное распределение плотности по поверхности сферы.

Важным классом сложных проективных t-планов являются симметричные информационно полные положительные операторные меры POVM , которые представляют собой сложные проективные 2-планы. Поскольку такие 2-дизайны должны иметь не менее $d^{2}$ элементов, НИЦ-ПОВМ представляет собой сложную проективную 2-конструкцию минимального размера.

Сферические Т-образные конструкции

Сложные проективные t-дизайны изучались в квантовой теории информации как квантовые t-дизайны. Они тесно связаны со сферическими 2t-конструкциями векторов в единичной сфере в $\mathbb {R} ^{d}$ который, будучи естественным образом встроен в $\mathbb {C} ^{d}$ порождают сложные проективные Т-образные конструкции.

Формально мы определяем распределение вероятностей по квантовым состояниям $(p_{i},|\phi _{i}\rangle )$ быть сложный проективный t-план, если

$\sum _{i}p_{i}(|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|)^{\otimes t}=\int _{\psi }(|\psi \rangle \langle \psi |)^{\otimes t}d\psi$

Здесь интеграл по состояниям берется по мере Хаара на единичной сфере в $\mathbb {C} ^{d}$

Точные t-схемы квантовых состояний нельзя отличить от равномерного распределения вероятностей по всем состояниям при использовании t копий состояния из распределения вероятностей. Однако на практике даже Т-образные конструкции могут быть трудно вычислить. По этой причине полезны приближенные Т-образные конструкции.

Приближенные Т-образные конструкции наиболее полезны из-за их возможности эффективной реализации. т.е. можно создать квантовое состояние $|\phi \rangle$ распределяется в соответствии с распределением вероятностей $p_{i}|\phi _{i}\rangle$ в $O(\log ^{c}d)$ время.Эта эффективная конструкция также подразумевает, что POVM операторов $Np_{i}|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|$ может быть реализован в $O(\log ^{c}d)$ время.

Техническое определение приближенного Т-образного расчета:

Если $\sum _{i}p_{i}|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|=\int _{\psi }|\psi \rangle \langle \psi |d\psi$

и $(1-\epsilon )\int _{\psi }(|\psi \rangle \langle \psi |)^{\otimes t}d\psi \leq \sum _{i}p_{i}(|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|)^{\otimes t}\leq (1+\epsilon )\int _{\psi }(|\psi \rangle \langle \psi |)^{\otimes t}d\psi$

затем $(p_{i},|\phi _{i}\rangle )$ это $\epsilon$-приблизительная Т-образная конструкция.

Можно, хотя и неэффективно, найти $\epsilon$-приближенный t-дизайн, состоящий из квантовых чистых состояний при фиксированном t.

Строительство

Для удобства d считается степенью 2.

Используя тот факт, что для любого d существует множество $N^{d}$ функции {0,...,d-1} $\rightarrow$ {0,...,d-1} такой, что для любых различных $k_{1},...,k_{N}\in$ {0,...,d-1} изображение под f, где f выбирается случайным образом из S, является в точности равномерным распределением по кортежам из N элементов из {0,...,d-1}.

Позволять $|\psi \rangle =\sum _{i=1}^{d}\alpha _{i}|i\rangle$ быть получено из меры Хаара. Позволять $P_{d}$ быть распределением вероятностей $\alpha _{1}$ и пусть $P=\lim _{d\rightarrow \infty }{\sqrt {d}}P_{d}$. Наконец позвольте $\alpha$ быть взято из P. Если мы определим $X=|\alpha |$ с вероятностью ${\tfrac {1}{2}}$ и $X=-|\alpha |$ с вероятностью ${\tfrac {1}{2}}$ затем: $E[X^{j}]=0$ для нечетного j и $E[X^{j}]=({\tfrac {j}{2}})!$ даже для j.

Используя эту и квадратуру Гаусса, мы можем построить $p_{f,g}={\frac {\sum _{i=1}^{d}a_{f,i}^{2}}{|S_{1}||S_{2}|}}$ так что $p_{f,g}|\psi _{f,g}\rangle$ представляет собой приближенный Т-образный дизайн.

Унитарные Т-образные конструкции

Унитарные Т-образные конструкции аналогичны сферическим конструкциям в том, что они воспроизводят всю унитарную группу через конечный набор унитарных матриц . Теория унитарных 2-конструкций была разработана в 2006 году. специально для достижения практических средств эффективного и масштабируемого рандомизированного сравнительного анализа. для оценки ошибок в операциях квантовых вычислений, называемых гейтами. С тех пор унитарные t-структуры оказались полезными в других областях квантовых вычислений и, в более широком смысле, в квантовой теории информации, а также в таких далеких областях, как физика черных дыр. Унитарные t-схемы особенно актуальны для задач рандомизации в квантовых вычислениях, поскольку идеальные операции обычно представляются унитарными операторами.

Элементами унитарной t-схемы являются элементы унитарной группы U(d), группы $d\times d$ унитарные матрицы. Т-план унитарных операторов порождает Т-план состояний.

Предполагать ${U_{k}}$ является унитарной t-схемой (т.е. набором унитарных операторов). Тогда для любого чистого состояния $|\psi \rangle$ позволять $|\psi _{k}\rangle =U_{k}|\psi \rangle$. Затем ${|\psi _{k}\rangle }$ всегда будет t-дизайном для государств.

Формально определим унитарную t-схему X, если

${\frac {1}{|X|}}\sum _{U\in X}U^{\otimes t}\otimes (U^{*})^{\otimes t}=\int _{U(d)}U^{\otimes t}\otimes (U^{*})^{\otimes t}dU$

Заметим, что пространство линейно натянуто матрицами $U^{\otimes r}\otimes (U^{*})^{\otimes s}dU$ по всем выборам U идентично ограничению $U\in X$ и $r+s=t$ Это наблюдение приводит к выводу о двойственности унитарных конструкций и унитарных кодов.

Используя карты перестановок, можно чтобы напрямую проверить, что набор унитарных матриц образует t-план.

Одним из прямых результатов этого является то, что для любого конечного $X\subseteq U(d)$

${\frac {1}{|X|^{2}}}\sum _{U,V\in X}|\operatorname {tr} (U*V)|^{2t}\geq \int _{U(d)}|\operatorname {tr} (U*V)|^{2t}dU$

С равенством тогда и только тогда, когда X является t-дизайном.

1- и 2-планы были рассмотрены довольно подробно и получены абсолютные границы размерности X, |X|.

Границы для унитарных планов

Определять $\operatorname {Hom} (U(d),t,t)$ как множество функций, однородных степени t по $U$ и однородный степени t по $U^{*}$, то если для каждого $f\in \operatorname {Hom} (U(d),t,t)$:

${\frac {1}{|X|}}\sum _{U\in X}f(U)=\int _{U(d)}f(U)dU$

тогда X — унитарная t-схема.

Далее мы определяем внутренний продукт для функций $f$ и $g$ на $U(d)$ как среднее значение ${\bar {f}}g$ как:

$\langle f,g\rangle :=\int _{U(d)}{\bar {f(U)}}g(U)dX$

и $\langle f,g\rangle _{X}$ как среднее значение ${\bar {f}}g$ над любым конечным подмножеством $X\subset U(d)$.

Отсюда следует, что X является унитарной t-схемой тогда и только тогда, когда $\langle 1,f\rangle _{X}=\langle 1,f\rangle \quad \forall f$.

Из вышеизложенного видно, что если X является t-образным дизайном, то $|X|\geq \dim(\operatorname {Hom} (U(d),\left\lceil {\tfrac {t}{2}}\right\rceil ,\left\lfloor {\tfrac {t}{2}}\right\rfloor ))$ является абсолютной границей для дизайна. Это накладывает верхнюю границу на размер унитарного проекта. Эта граница является абсолютной , то есть она зависит только от силы конструкции или степени кода, а не от расстояний в подмножестве X.

Унитарный код — это конечное подмножество унитарной группы, в котором между элементами встречается несколько значений внутреннего продукта. В частности, унитарный код определяется как конечное подмножество. $X\subset U(d)$ если для всех $U\neq M$ в Х $|\operatorname {tr} (U^{*}M)|^{2}$ принимает только разные значения.

Отсюда следует, что $|X|\leq \dim(\operatorname {Hom} (U(d),s,s))$ и если U и M ортогональны: $|X|\leq \dim(\operatorname {Hom} (U(d),s,s-1))$

См. также

• Сферический дизайн
• Равноугольные линии
• Границы Уэлча