Равноугольные линии

В геометрии набор прямых называется равноугольным , если все прямые пересекаются в одной точке и каждая пара прямых образует одинаковый угол.

Равноугольные прямые в евклидовом пространстве.

Вычисление максимального количества равноугольных прямых в n -мерном евклидовом пространстве является сложной проблемой и в целом нерешенной, хотя границы известны. Максимальное количество равноугольных прямых в двумерном евклидовом пространстве равно 3: мы можем провести прямые через противоположные вершины правильного шестиугольника, каждая под углом 120 градусов к двум другим. Максимум в трёх измерениях — 6: мы можем провести линии через противоположные вершины икосаэдра . Известно, что максимальное число в любом измерении $n$ меньше или равно ${\textstyle {\binom {n+1}{2}}}$ . ^[1] Эта верхняя оценка точна с точностью до постоянного множителя к конструкции де Кана. ^[2] Максимум в размерностях от 1 до 16 указан в Электронной энциклопедии целочисленных последовательностей следующим образом:

1, 3, 6, 6, 10, 16, 28, 28, 28, 28, 28, 28, 28, 28, 36, 40, ... (последовательность A002853 в OEIS ).

В частности, максимальное количество равноугольных линий в 7 измерениях равно 28. Получить эти линии можно следующим образом. Возьмем вектор (−3,−3,1,1,1,1,1,1) в $\mathbb {R} ^{8}$ , и сформируем все 28 векторов, полученных перестановкой его компонентов. Скалярное произведение двух из этих векторов равно 8, если оба имеют компонент 3 в одном и том же месте, или -8 в противном случае. Таким образом, прямые, проходящие через начало координат, содержащие эти векторы, равноугольны. При этом все 28 векторов ортогональны вектору (1,1,1,1,1,1,1,1) в $\mathbb {R} ^{8}$ , поэтому они лежат в 7-мерном пространстве. Фактически, эти 28 векторов и их негативы с точностью до вращения и расширения представляют собой 56 вершин 3 ₂₁ многогранника . Другими словами, это весовые векторы 56-мерного представления группы Ли E ₇ .

Равноугольные прямые эквивалентны двухграфикам . Для данного набора равноугольных прямых пусть c — косинус общего угла. Мы предполагаем, что угол не равен 90°, поскольку этот случай тривиален (т. е. не интересен, поскольку линии являются просто координатными осями); таким образом, c не равно нулю. Мы можем переместить линии так, чтобы все они проходили через начало координат. Выберите один единичный вектор в каждой строке. Сформируйте матрицу M внутренних продуктов . Эта матрица имеет 1 на диагонали и ±c везде, и она симметрична. Вычитая единичную матрицу I и разделив на c , мы получаем симметричную матрицу с нулевой диагональю и отклонением ±1 от диагонали. Это матрица смежности Зейделя двухграфа. И наоборот, любой двуграфик можно представить как набор равноугольных прямых. ^[3]

Задачу определения максимального числа равноугольных линий с фиксированным углом в достаточно больших размерностях решили Цзян, Тидор, Яо, Чжан и Чжао. ^[4] Ответ выражен в терминах теории спектральных графов. Позволять $N_{\alpha }(d)$ обозначают максимальное количество строк, проходящих через начало координат в $d$ размеры с общим парным углом $\arccos \alpha$ . Позволять $k$ обозначают минимальное количество (если оно существует) вершин в графе, матрица смежности которого имеет точно спектральный радиус $(1-\alpha )/(2\alpha )$ . Если $k$ конечно, то $N_{\alpha }(d)=\lfloor k(d-1)/(k-1)\rfloor$ для всех достаточно больших размеров $d$ (здесь «достаточно большой» может зависеть от $\alpha$ ). Если нет $k$ существует, то $N_{\alpha }(d)=d+o(d)$ .

Равноугольные линии в комплексном векторном пространстве

В комплексном векторном пространстве, оснащенном внутренним произведением , мы можем определить угол между единичными векторами. ${\hat {a}}$ и ${\hat {b}}$ по отношению $\cos(\theta )=|({\hat {a}},{\hat {b}})|$ . Известно, что верхняя оценка числа комплексных равноугольных прямых в любом измерении $n$ является $n^{2}$ . В отличие от реального случая, описанного выше, возможно, что эта граница достигается в каждом измерении. $n$ . Гипотезу о том, что это верно, высказал Заунер. ^[5] и проверено аналитически или численно до $n=67$ Скотт и Грассл. ^[6] Максимальный набор комплексных равноугольных линий также известен как SIC или SIC-POVM .

Примечания

Дж. Дж. Зейдель «Дискретная неевклидова геометрия» в Buekenhout (ed.), Handbook of Incidence Geometry , Elsevier, Amsterdam, The Nederlands (1995) утверждает, без доказательства, что максимальное количество равноугольных линий в измерении 14 равно 28. Это было в то время не известно.

^ Лемменс, PW H; Зайдель, Джей Джей (1 марта 1973 г.). «Равноугольные линии» . Журнал алгебры . 24 (3): 494–512. дои : 10.1016/0021-8693(73)90123-3 . ISSN 0021-8693 .
^ Кан, Д. де (9 ноября 2000 г.). «Большие равноугольные множества прямых в евклидовом пространстве» . Электронный журнал комбинаторики . 7 : 55 рандов. дои : 10.37236/1533 . ISSN 1077-8926 .
^ ван Линт и Зайдель, 1966 г.
^ Цзян, Цзилинь; Тидор, Джонатан; Яо, Юань; Чжан, Шэнтун; Чжао, Юфэй (2021). «Равноугольные линии с фиксированным углом». Анналы математики . 194 (3): 729–743. arXiv : 1907.12466 . дои : 10.4007/анналы.2021.194.3.3 . S2CID 198967748 .
^ Заунер, Герхард (1999). Квантовые конструкции. Основы некоммутативной теории проектирования (PDF) (доктор философии). Венский университет.
^ Скотт, Эй Джей; Грассль, М. (01 апреля 2010 г.). «Симметричные информационно полные положительно-операторные меры: новое компьютерное исследование». Журнал математической физики . 51 (4): 042203. arXiv : 0910.5784 . Бибкод : 2010JMP....51d2203S . дои : 10.1063/1.3374022 . ISSN 0022-2488 . S2CID 115159554 .

Ссылки

К. Хартнетт (2017), « Новый путь к линиям с равным углом », журнал Quanta .
Балла, Игорь; Дрекслер, Феликс; Киваш, Питер; Судаков, Бенни (2016). «Равноугольные линии и сферические коды в евклидовом пространстве». arXiv : 1606.06620 [ math.CO ].
Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A002853 (Максимальный размер набора равноугольных линий в n измерениях)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.
Брауэр А.Е. , Коэн А.М. и Ноймайер А. Дистанционно-регулярные графы. Springer-Verlag, Берлин, 1989. Раздел 3.8.
Годсил, Крис ; Ройл, Гордон (2001), Алгебраическая теория графов , Тексты для выпускников по математике, том. 207, Нью-Йорк: Springer-Verlag . (См. главу 11.)
Госселин, С., Правильные два графа и равноугольные прямые , магистерская диссертация, факультет математики, Университет Ватерлоо, 2004 г.
ван Линт, Дж. Х.; Зайдель, Дж. Дж. (1966), «Множества равносторонних точек в эллиптической геометрии», Indagationes Mathematicae , Proc. Конинкл. Нед. Акад. Ветеншап. Сер. А 69, 28 : 335–348.
Гривз, Гэри; Кулен, Якобус Х.; Мунемаса, Акихиро; Сёллёси, Ференц (2016). «Равноугольные прямые в евклидовых пространствах». Журнал комбинаторной теории, серия А. 138 : 208–235. arXiv : 1403.2155 . дои : 10.1016/j.jcta.2015.09.008 . S2CID 11841813 .
Гривз, Гэри; Сьятриади, Джевен; Яцына, Павел (2020). «Равноугольные линии в евклидовых пространствах малой размерности». arXiv : 2002.08085 [ math.CO ].
Барг, Александр; Ю, Вэй-Сюань (2013). «Новые границы равноугольных прямых». arXiv : 1311.3219 [ math.MG ].
Цзян, Цзилинь; Тидор, Джонатан; Яо, Юань; Чжан, Шэнтун; Чжао, Юфэй (2021). «Равноугольные линии с фиксированным углом». Анналы математики . 194 (3): 729–743. arXiv : 1907.12466 . дои : 10.4007/анналы.2021.194.3.3 . S2CID 198967748 .

[1] Лемменс, PW H; Зайдель, Джей Джей (1 марта 1973 г.). «Равноугольные линии» . Журнал алгебры . 24 (3): 494–512. дои : 10.1016/0021-8693(73)90123-3 . ISSN 0021-8693 .

[2] Кан, Д. де (9 ноября 2000 г.). «Большие равноугольные множества прямых в евклидовом пространстве» . Электронный журнал комбинаторики . 7 : 55 рандов. дои : 10.37236/1533 . ISSN 1077-8926 .

[3] ван Линт и Зайдель, 1966 г.

[4] Цзян, Цзилинь; Тидор, Джонатан; Яо, Юань; Чжан, Шэнтун; Чжао, Юфэй (2021). «Равноугольные линии с фиксированным углом». Анналы математики . 194 (3): 729–743. arXiv : 1907.12466 . дои : 10.4007/анналы.2021.194.3.3 . S2CID 198967748 .

[5] Заунер, Герхард (1999). Квантовые конструкции. Основы некоммутативной теории проектирования (PDF) (доктор философии). Венский университет.

[6] Скотт, Эй Джей; Грассль, М. (01 апреля 2010 г.). «Симметричные информационно полные положительно-операторные меры: новое компьютерное исследование». Журнал математической физики . 51 (4): 042203. arXiv : 0910.5784 . Бибкод : 2010JMP....51d2203S . дои : 10.1063/1.3374022 . ISSN 0022-2488 . S2CID 115159554 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]