Простая группа

В математике простая группа — это нетривиальная группа , единственными нормальными подгруппами которой являются тривиальная группа и сама группа. Непростую группу можно разбить на две меньшие группы, а именно на нетривиальную нормальную подгруппу и соответствующую факторгруппу . Этот процесс можно повторить, и для конечных групп в конечном итоге можно прийти к однозначно определенным простым группам по теореме Йордана – Гёльдера .

Полная классификация конечных простых групп , завершенная в 2004 году, является важной вехой в истории математики.

Примеры

Конечные простые группы

Циклическая группа $G=(\mathbb {Z} /3\mathbb {Z} ,+)=\mathbb {Z} _{3}$ классов конгруэнтности по модулю 3 (см. модульную арифметику ) просто. Если $H$ является подгруппой этой группы, ее порядок (количество элементов) должен быть делителем порядка $G$ что равно 3. Поскольку 3 — простое число, его единственные делители — 1 и 3, поэтому либо $H$ является $G$ , или $H$ является тривиальной группой. С другой стороны, группа $G=(\mathbb {Z} /12\mathbb {Z} ,+)=\mathbb {Z} _{12}$ это не просто. Набор $H$ классов конгруэнции 0, 4 и 8 по модулю 12 является подгруппой порядка 3 и является нормальной подгруппой, поскольку любая подгруппа абелевой группы нормальна. Аналогично, аддитивная группа целых чисел $(\mathbb {Z} ,+)$ это не просто; множество четных целых чисел является нетривиальной собственной нормальной подгруппой. ^{[ 1 ]}

Можно использовать те же рассуждения для любой абелевой группы, чтобы прийти к выводу, что единственными простыми абелевыми группами являются циклические группы простого порядка. Классификация неабелевых простых групп гораздо менее тривиальна. Наименьшая неабелева простая группа — знакопеременная группа. $A_{5}$ порядка 60, и каждая простая группа порядка изоморфна 60 $A_{5}$ . ^{[ 2 ]} Вторая наименьшая неабелева простая группа — это проективная специальная линейная группа PSL(2,7) порядка 168, и каждая простая группа порядка 168 изоморфна PSL(2,7). ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}

Бесконечные простые группы

Бесконечная знакопеременная группа $A_{\infty }$ , то есть группа четных перестановок целых чисел с конечным носителем, проста. Эту группу можно записать как возрастающее объединение конечных простых групп. $A_{n}$ относительно стандартных вложений $A_{n}\rightarrow A_{n+1}$ . Другое семейство примеров бесконечных простых групп дается формулой $PSL_{n}(F)$ , где $F$ представляет собой бесконечное поле и $n\geq 2$ .

Гораздо сложнее построить конечно порожденные бесконечные простые группы. Первый результат существования неявный; оно принадлежит Грэму Хигману и состоит из простых факторов группы Хигмана . ^{[ 5 ]} Явные примеры, которые оказываются конечно представленными, включают бесконечные группы Томпсона. $T$ и $V$ . Конечно определенные бесконечные простые группы без кручения были построены Бюргером и Мозесом. ^{[ 6 ]}

Классификация

Классификация общих (бесконечных) простых групп пока не известна и не предвидится. Одной из причин этого является существование континуальных групп монстров Тарского для каждой достаточно большой простой характеристики, каждая из которых проста и имеет только циклическую группу этой характеристики в качестве своих подгрупп. ^{[ 7 ]}

Конечные простые группы

Конечные простые группы важны, потому что в определенном смысле они являются «основными строительными блоками» всех конечных групп, что в некоторой степени похоже на то, как простые числа являются основными строительными блоками целых чисел . Это выражено теоремой Джордана-Гельдера , которая утверждает, что любые два композиционных ряда данной группы имеют одинаковую длину и одинаковые множители с точностью до перестановки и изоморфизма . Благодаря огромным совместным усилиям классификация конечных простых групп была объявлена завершенной в 1983 году Дэниелом Горенштейном , хотя всплыли некоторые проблемы (в частности, в классификации квазитонких групп , которые были закрыты в 2004 году).

Вкратце, конечные простые группы классифицируются как принадлежащие к одному из 18 семейств или входящие в одно из 26 исключений:

$\mathbb {Z} _{p}$ – циклическая группа простого порядка
$A_{n}$ – переменная группа для $n\geq 5$
Знакомые группы можно рассматривать как группы лиева типа над полем с одним элементом , объединяющим это семейство со следующим, и, таким образом, все семейства неабелевых конечных простых групп можно рассматривать как группы лиева типа.
Одно из 16 семейств групп лиева типа или их производных.
Такую форму обычно считают группой Титса , хотя, строго говоря, она не лиева типа, а скорее индекса 2 в группе лиева типа.
Одно из 26 исключений — спорадические группы , из которых 20 являются подгруппами или подгруппами группы монстров и называются «Счастливой семьей», а остальные 6 — париями .

Структура конечных простых групп

Знаменитая теорема Фейта утверждает , и Томпсона что любая группа нечетного порядка разрешима . Следовательно, каждая конечная простая группа имеет четный порядок, если она не является циклической простого порядка.

Гипотеза Шрайера утверждает, что группа внешних автоморфизмов любой конечной простой группы разрешима. Это можно доказать с помощью классификационной теоремы .

История конечных простых групп

В истории конечных простых групп есть две нити — открытие и построение конкретных простых групп и семейств, проходившее от работ Галуа в 1820-х годах до построения «Монстра» в 1981 году; и доказательство того, что этот список был полным, который начался в 19 веке, наиболее значимо имел место в период с 1955 по 1983 год (когда была первоначально объявлена победа), но было решено завершить его только в 2004 году. К 2018 году его публикация была задумана как серия из 12 монографий , ^{[ 8 ]} десятая из которых была опубликована в 2023 году. ^{[ 9 ]} См. ( Silvestri 1979 ) историю простых групп XIX века.

Строительство

Простые группы изучались, по крайней мере, со времен ранней теории Галуа , когда Эварист Галуа понял, что тот факт, что чередующиеся группы в пяти или более точках являются простыми (и, следовательно, неразрешимыми), что он доказал в 1831 году, был причиной того, что нельзя решить квинтику в радикалах. Галуа также построил проективную специальную линейную группу плоскости над простым конечным полем PSL(2, p ) и заметил, что они просты для p, а не для 2 или 3. Это содержится в его последнем письме Шевалье: ^{[ 10 ]} и являются следующим примером конечных простых групп. ^{[ 11 ]}

Следующие открытия были сделаны Камиллой Жорданом в 1870 году. ^{[ 12 ]} Джордан нашел 4 семейства простых матричных групп над конечными полями простого порядка, которые теперь известны как классические группы .

Примерно в то же время было показано, что семейство из пяти групп, названное группами Матье и впервые описанное Эмилем Леонаром Матье в 1861 и 1873 годах, также является простым. Поскольку эти пять групп были построены методами, которые не давали бесконечно много возможностей, назвал их « спорадическими » Уильям Бернсайд в своем учебнике 1897 года .

Позже результаты Джордана о классических группах были обобщены на произвольные конечные поля Леонардом Диксоном после классификации сложных простых алгебр Ли Вильгельма Киллинга . Диксон также построил группы исключений типов G2 _и E6 , _Wilson но не типов F4 _, E7 _или E8 ₍ 2009 , стр. 2). В 1950-х годах работа над группами лиева типа была продолжена: Клод Шевалле в статье 1955 года дал единую конструкцию классических групп и групп исключительного типа. При этом были опущены некоторые известные группы (проективные унитарные группы), полученные «перекручиванием» конструкции Шевалле. Остальные группы типа Лия были созданы Штейнбергом, Титсом и Герцигом (которые произвели ³Д ₄ ( q ) и ²E ₆ ( q )) и Судзуки и Ри ( группы Сузуки–Ри ).

Эти группы (группы лиева типа вместе с циклическими группами, знакопеременными группами и пятью исключительными группами Матье) считались полным списком, но после почти столетнего затишья со времени работы Матье в 1964 г. была открыта первая группа Янко , а остальные 20 спорадических групп были открыты или предположены в 1965–1975 годах, кульминацией которых стал 1981 год, когда Роберт Грис объявил, что он построил » Бернда Фишера « группу монстров . Монстр — крупнейшая спорадическая простая группа, имеющая порядок 808 017 424 794 512 875 886 459 904 961 710 757 005 754 368 000 000 000. Монстр имеет точное 196 883-мерное представление в 196 884-мерной алгебре Грисса , что означает, что каждый элемент Монстра может быть выражен как матрица размером 196 883 на 196 883.

Классификация

Принято считать, что полная классификация начинается с теоремы Фейта-Томпсона 1962–63 годов и просуществовала в основном до 1983 года, но завершилась только в 2004 году.

Вскоре после постройки «Монстра» в 1981 году было представлено доказательство объемом более 10 000 страниц того, что теоретики групп успешно перечислили все конечные простые группы , причем победа была объявлена в 1983 году Дэниелом Горенштейном. Это было преждевременно — позже были обнаружены некоторые пробелы, в частности, в классификации квазитоновых групп , которая в конечном итоге была заменена в 2004 году классификацией квазитоновых групп объемом 1300 страниц, которая сейчас общепринята как полная.

Тесты на непростоту

Тест Силова : пусть n — положительное целое число, не являющееся простым, и пусть p — простой делитель n . Если 1 — единственный делитель n , конгруэнтный 1 по модулю p , то не существует простой группы порядка n .

Доказательство: если n — простая степень, то группа порядка n имеет нетривиальный центр. ^{[ 13 ]} и, следовательно, непрост. Если n не является простой степенью, то каждая силовская подгруппа является собственной, и по третьей теореме Силова мы знаем, что число силовских p -подгрупп в группе порядка n равно 1 по модулю p и делит n . Поскольку 1 — единственное такое число, силовская p -подгруппа единственна и, следовательно, нормальна. Поскольку это собственная неединичная подгруппа, группа не является простой.

Бернсайд : Неабелева конечная простая группа имеет порядок, делящийся как минимум на три различных простых числа. Это следует из теоремы Бернсайда .

См. также

Ссылки

Примечания

^ Кнапп (2006), с. 170
^ Ротман (1995), с. 226
^ Ротман (1995), с. 281
^ Smith & Tabachnikova (2000), p. 144
^ Хигман, Грэм (1951), «Конечно порожденная бесконечная простая группа», Журнал Лондонского математического общества , вторая серия, 26 (1): 61–64, doi : 10.1112/jlms/s1-26.1.59 , ISSN 0024- 6107 , МР 0038348
^ Бургер, М.; Мозес, С. (2000). «Решетки в изделиях из деревьев». Опубл. Математика. ИХЕС . 92 : 151–194. дои : 10.1007/bf02698916 . S2CID 55003601 .
^ Отал, Хавьер (2004), «Классификация конечных простых групп: обзор» (PDF) , в книге Бойя, LJ (редактор), «Проблемы тысячелетия » , монографии Королевской академии точных, физических, химических и естественных наук Сарагоса, том. 26, Королевская академия точных, физических, химических и естественных наук Сарагосы
^ Соломон, Рональд (2018), «Классификация конечных простых групп: отчет о ходе работы» (PDF) , Уведомления Американского математического общества , 65 (6): 646–651, MR 3792856
^ Капдебоск, Инна; Горенштейн, Дэниел; Лайонс, Ричард; Соломон, Рональд (2023), Классификация конечных простых групп, номер 10. Часть V. Главы 9–17. Теорема $C_{6}$ и теорема $C_{4}^{\ast }$ , Случай А , Математические обзоры и монографии, вып. 40, Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, ISBN 978-1-4704-7553-6 , МР 4656413
^ Галуа, Эварист (1846), «Письмо Галуа М. Огюсту Шевалье» , Журнал чистой и прикладной математики , XI : 408–415 , получено 4 февраля 2009 г. , PSL(2, p ) и простота обсуждаются на стр. 411; исключительные действия по 5, 7 или 11 пунктам, обсуждаемым на стр. 411–412; GL( ν , p ), обсуждаемый на стр. 410 {{citation}}: CS1 maint: постскриптум ( ссылка )
^ Уилсон, Роберт (31 октября 2006 г.), «Глава 1: Введение» , Конечные простые группы
^ Джордан, Камилла (1870), Трактат о заменах и алгебраических уравнениях
^ доказательство в p -group . См. , например,

Учебники

Уилсон, Роберт А. (2009), Конечные простые группы , Тексты для аспирантов по математике 251, том. 251, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/978-1-84800-988-2 , ISBN. 978-1-84800-987-5 , Збл 1203.20012 ; Препринт 2007 года .
Бернсайд, Уильям (1897), Теория групп конечного порядка , издательство Кембриджского университета

Кнапп, Энтони В. (2006), Основная алгебра , Springer, ISBN 978-0-8176-3248-9
Ротман, Джозеф Дж. (1995), Введение в теорию групп , Тексты для аспирантов по математике, том. 148, Спрингер, ISBN 978-0-387-94285-8
Смит, Джефф; Табачникова, Ольга (2000), Темы теории групп , Серия Springer по математике для студентов (2-е изд.), Springer, ISBN 978-1-85233-235-8

Статьи

Сильвестри, Р. (сентябрь 1979 г.), «Простые группы конечного порядка в девятнадцатом веке», Архив истории точных наук , 20 (3–4): 313–356, doi : 10.1007/BF00327738 , S2CID 120444304

[1] Кнапп (2006), с. 170

[2] Ротман (1995), с. 226

[3] Ротман (1995), с. 281

[4] Smith & Tabachnikova (2000), p. 144

[5] Хигман, Грэм (1951), «Конечно порожденная бесконечная простая группа», Журнал Лондонского математического общества , вторая серия, 26 (1): 61–64, doi : 10.1112/jlms/s1-26.1.59 , ISSN 0024- 6107 , МР 0038348

[6] Бургер, М.; Мозес, С. (2000). «Решетки в изделиях из деревьев». Опубл. Математика. ИХЕС . 92 : 151–194. дои : 10.1007/bf02698916 . S2CID 55003601 .

[7] Отал, Хавьер (2004), «Классификация конечных простых групп: обзор» (PDF) , в книге Бойя, LJ (редактор), «Проблемы тысячелетия » , монографии Королевской академии точных, физических, химических и естественных наук Сарагоса, том. 26, Королевская академия точных, физических, химических и естественных наук Сарагосы

[8] Соломон, Рональд (2018), «Классификация конечных простых групп: отчет о ходе работы» (PDF) , Уведомления Американского математического общества , 65 (6): 646–651, MR 3792856

[9] Капдебоск, Инна; Горенштейн, Дэниел; Лайонс, Ричард; Соломон, Рональд (2023), Классификация конечных простых групп, номер 10. Часть V. Главы 9–17. Теорема $C_{6}$ и теорема $C_{4}^{\ast }$ , Случай А , Математические обзоры и монографии, вып. 40, Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, ISBN 978-1-4704-7553-6 , МР 4656413

[chevalier-letter-10] Галуа, Эварист (1846), «Письмо Галуа М. Огюсту Шевалье» , Журнал чистой и прикладной математики , XI : 408–415 , получено 4 февраля 2009 г. , PSL(2, p ) и простота обсуждаются на стр. 411; исключительные действия по 5, 7 или 11 пунктам, обсуждаемым на стр. 411–412; GL( ν , p ), обсуждаемый на стр. 410 {{citation}}: CS1 maint: постскриптум ( ссылка )

[raw-11] Уилсон, Роберт (31 октября 2006 г.), «Глава 1: Введение» , Конечные простые группы

[12] Джордан, Камилла (1870), Трактат о заменах и алгебраических уравнениях

[13] доказательство в p -group . См. , например,

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]