Тензорное произведение

Обобщения этой концепции см. в разделах Тензорное произведение модулей и Тензорное произведение (значения) .

В математике тензорное произведение $V\otimes W$ двух векторных пространств V и W (над одним и тем же полем ) — это векторное пространство, которому сопоставлено билинейное отображение $V\times W\rightarrow V\otimes W$ это отображает пару $(v,w),\ v\in V,w\in W$ к элементу $V\otimes W$ обозначен ⁠ $v\otimes w$⁠ .

Элемент формы $v\otimes w$ называется произведением v w и . тензорным Элемент $V\otimes W$ является тензором , а тензорное произведение двух векторов иногда называют элементарным тензором или разложимым тензором . Элементарные тензоры охватывают $V\otimes W$ в том смысле, что каждый элемент $V\otimes W$ представляет собой сумму элементарных тензоров. Если базисы даны для V и W , то базис $V\otimes W$ формируется всеми тензорными произведениями базисного элемента V и базисного элемента W .

Тензорное произведение двух векторных пространств отражает свойства всех билинейных отображений в том смысле, что билинейное отображение из $V\times W$ в другое векторное пространство Z факторами однозначно через линейное отображение $V\otimes W\to Z$ (см. Универсальное свойство ).

Продукты Tensor используются во многих прикладных областях, включая физику и технику. Например, в общей теории относительности гравитационное поле описывается через метрический тензор , который представляет собой тензорное поле (похожее на векторное поле, но с тензорами вместо векторов), с одним тензором в каждой точке пространственно-временного многообразия , и каждый из которых принадлежит тензорному произведению котангенс пространства в точке с самим собой.

Определения и конструкции

Тензорное произведение двух векторных пространств — это векторное пространство, определенное точностью до изоморфизма с . Есть несколько эквивалентных способов его определения. Большинство из них состоят из явного определения векторного пространства, называемого тензорным произведением, и, как правило, доказательство эквивалентности почти сразу же вытекает из основных свойств определенных таким образом векторных пространств.

Тензорное произведение также можно определить через универсальное свойство ; см. § Универсальное свойство ниже. Что касается каждого универсального свойства, все объекты , удовлетворяющие этому свойству, изоморфны посредством уникального изоморфизма, совместимого с универсальным свойством. Когда используется это определение, другие определения можно рассматривать как конструкции объектов, удовлетворяющих универсальному свойству, и как доказательства существования объектов, удовлетворяющих универсальному свойству, то есть существования тензорных произведений.

Из баз

Пусть V и W — два векторных пространства над полем F с соответствующими базисами $B_{V}$ и ⁠ $B_{W}$⁠ .

Тензорное произведение $V\otimes W$ V W и — это векторное пространство , в основе которого лежит множество всех $v\otimes w$ с $v\in B_{V}$ и ⁠ $w\in B_{W}$⁠ . Это определение можно формализовать следующим образом (эта формализация редко используется на практике, поскольку предыдущего неформального определения обычно достаточно): $V\otimes W$ представляет собой набор функций из декартова произведения $B_{V}\times B_{W}$ до F , которые имеют конечное число ненулевых значений. Поточечные операции делают $V\otimes W$ векторное пространство. Функция, которая отображает $(v,w)$ до 1 и другие элементы $B_{V}\times B_{W}$ до 0 обозначается ⁠ $v\otimes w$⁠ .

Набор $\{v\otimes w\mid v\in B_{V},w\in B_{W}\}$ тогда это просто основа ⁠ $V\otimes W$⁠ , которое называется тензорным произведением базисов $B_{V}$ и ⁠ $B_{W}$⁠ .

Мы можем эквивалентно определить $V\otimes W$ быть множеством билинейных форм на $V\times W$ которые отличны от нуля только в конечном числе элементов ⁠ $B_{V}\times B_{W}$⁠ . Чтобы увидеть это, учитывая $(x,y)\in V\times W$ и билинейная форма ⁠ $B:V\times W\to F$⁠ , мы можем разложить $x$ и $y$ в базах $B_{V}$ и $B_{W}$ как: $$x=\sum _{v\in B_{V}}x_{v}\,v\quad {\text{and}}\quad y=\sum _{w\in B_{W}}y_{w}\,w,$$где только конечное число $x_{v}$'песок $y_{w}$ненулевые и находятся по билинейности $B$ что: $$B(x,y)=\sum _{v\in B_{V}}\sum _{w\in B_{W}}x_{v}y_{w}\,B(v,w)$$

Таким образом, мы видим, что значение $B$ для любого $(x,y)\in V\times W$ однозначно и полностью определяется значениями, которые он принимает ⁠ $B_{V}\times B_{W}$⁠ . Это позволяет нам расширять карты $v\otimes w$ определено на $B_{V}\times B_{W}$ как и прежде, в билинейные карты $v\otimes w:V\times W\to F$ , позволив: $$(v\otimes w)(x,y):=\sum _{v'\in B_{V}}\sum _{w'\in B_{W}}x_{v'}y_{w'}\,(v\otimes w)(v',w')=x_{v}\,y_{w}.$$

Тогда мы можем выразить любую билинейную форму $B$ как (потенциально бесконечную) формальную линейную комбинацию $v\otimes w$ карты по: $$B=\sum _{v\in B_{V}}\sum _{w\in B_{W}}B(v,w)(v\otimes w)$$делая эти карты похожими на базис Шаудера для векторного пространства ${\text{Hom}}(V,W;F)$ всех билинейных форм на ⁠ $V\times W$⁠ . Чтобы вместо этого он был правильным базисом Гамеля , остается только добавить требование, чтобы $B$ отличен от нуля только при конечном числе элементов ⁠ $B_{V}\times B_{W}$⁠ и вместо этого рассмотрим подпространство таких отображений.

В любой конструкции тензорное произведение двух векторов определяется их разложением по основаниям. Точнее, взяв за базисные разложения $x\in V$ и $y\in W$ как и прежде: $${\begin{aligned}x\otimes y&={\biggl (}\sum _{v\in B_{V}}x_{v}\,v{\biggr )}\otimes {\biggl (}\sum _{w\in B_{W}}y_{w}\,w{\biggr )}\\[5mu]&=\sum _{v\in B_{V}}\sum _{w\in B_{W}}x_{v}y_{w}\,v\otimes w.\end{aligned}}$$

Это определение совершенно четко выводится из коэффициентов $B(v,w)$ в разложении по билинейности $B(x,y)$ используя базы $B_{V}$ и ⁠ $B_{W}$⁠ , как сделано выше. Тогда несложно проверить, что при таком определении отображение ${\otimes }:(x,y)\mapsto x\otimes y$ представляет собой билинейную карту из $V\times W$ к $V\otimes W$ удовлетворяющее универсальному свойству , которому удовлетворяет любая конструкция тензорного произведения (см. ниже).

Если расположить их в виде прямоугольного массива, координатный вектор $x\otimes y$ является внешним произведением координатных векторов $x$ и ⁠ $y$⁠ . Следовательно, тензорное произведение является обобщением внешнего произведения, то есть его абстракцией за пределами координатных векторов.

Ограничением этого определения тензорного произведения является то, что при изменении базиса определяется другое тензорное произведение. Однако разложение по одному базису элементов другого базиса определяет канонический изоморфизм между двумя тензорными произведениями векторных пространств, что позволяет их идентифицировать. Кроме того, в отличие от двух следующих альтернативных определений, это определение не может быть расширено до определения тензорного произведения модулей над кольцом .

Как факторпространство

Базисно-независимую конструкцию тензорного произведения можно получить следующим образом.

Пусть V и W — два векторных пространства над полем F .

Сначала рассматривается векторное пространство L, имеющее декартово произведение $V\times W$ в качестве основы . То есть базисными элементами L являются пары $(v,w)$ с $v\in V$ и ⁠ $w\in W$⁠ . Чтобы получить такое векторное пространство, можно определить его как векторное пространство функций $V\times W\to F$ которые имеют конечное число ненулевых значений и идентифицируют $(v,w)$ с функцией, которая принимает значение 1 на $(v,w)$ и 0 в противном случае.

Пусть R — линейное подпространство L , натянутое на отношения, которым должно удовлетворять тензорное произведение. Точнее, R натянут на элементы одной из форм:

${\begin{aligned}(v_{1}+v_{2},w)&-(v_{1},w)-(v_{2},w),\\(v,w_{1}+w_{2})&-(v,w_{1})-(v,w_{2}),\\(sv,w)&-s(v,w),\\(v,sw)&-s(v,w),\end{aligned}}$

где ⁠ $v,v_{1},v_{2}\in V$⁠ , $w,w_{1},w_{2}\in W$ и ⁠ $s\in F$⁠ .

Затем тензорное произведение определяется как факторпространство :

$V\otimes W=L/R,$

и образ $(v,w)$ в этом частном обозначается ⁠ $v\otimes w$⁠ .

Нетрудно доказать, что результат этой конструкции удовлетворяет рассмотренному ниже универсальному свойству . (Очень похожая конструкция может быть использована для определения тензорного произведения модулей .)

Универсальная собственность

Универсальное свойство тензорного произведения: если h билинейно, существует единственное линейное отображение ~ h , которое делает диаграмму коммутативной (т. е. h = ~ h ∘ φ ).

В этом разделе универсальное свойство описывается , которому удовлетворяет тензорное произведение. Что касается каждого универсального свойства, два объекта, удовлетворяющие этому свойству, связаны уникальным изоморфизмом . Отсюда следует, что это (неконструктивный) способ определения тензорного произведения двух векторных пространств. В этом контексте предыдущие конструкции тензорных произведений можно рассматривать как доказательства существования определенного таким образом тензорного произведения.

Следствием этого подхода является то, что каждое свойство тензорного произведения можно вывести из универсального свойства и что на практике можно забыть метод, который использовался для доказательства его существования.

«Определение универсального свойства» тензорного произведения двух векторных пространств выглядит следующим образом (напомним, что билинейное отображение — это функция, которая отдельно линейна по каждому из своих аргументов):

Тензорное произведение двух векторных пространств V и W представляет собой векторное пространство, обозначаемое как ⁠ $V\otimes W$⁠ вместе с билинейной картой ${\otimes }:(v,w)\mapsto v\otimes w$ от $V\times W$ до ⁠ $V\otimes W$⁠ , такой, что для любого билинейного отображения ⁠ $h:V\times W\to Z$⁠ , существует единственное линейное отображение ⁠ ${\tilde {h}}:V\otimes W\to Z$⁠ , такой, что $h={\tilde {h}}\circ {\otimes }$ (то есть, $h(v,w)={\tilde {h}}(v\otimes w)$ для каждого $v\in V$ и ⁠ $w\in W$⁠ ).

Линейно непересекающийся

Как и приведенное выше универсальное свойство, следующая характеристика также может использоваться для определения того, образуют ли данное векторное пространство и данное билинейное отображение тензорное произведение.

Теорема . Пусть ⁠ $X,Y$⁠ и $Z$ — комплексные векторные пространства и пусть $T:X\times Y\to Z$ быть билинейным отображением. Затем $(Z,T)$ является тензорным произведением $X$ и $Y$ тогда и только тогда, когда образ $T$ охватывает все $Z$ (то есть ⁠ $\operatorname {span} \;T(X\times Y)=Z$⁠ ), а также $X$ и $Y$ являются $T$-линейно непересекающиеся , что по определению означает, что для всех положительных целых чисел $n$ и все элементы $x_{1},\ldots ,x_{n}\in X$ и $y_{1},\ldots ,y_{n}\in Y$ такой, что ⁠ $\sum _{i=1}^{n}T\left(x_{i},y_{i}\right)=0$⁠ ,

1. если все $x_{1},\ldots ,x_{n}$ , линейно независимы то все $y_{i}$ являются ⁠ $0$⁠ и
2. если все $y_{1},\ldots ,y_{n}$ линейно независимы, то все $x_{i}$ являются ⁠ $0$⁠ .

Эквивалентно, $X$ и $Y$ являются $T$-линейно непересекающиеся тогда и только тогда, когда для всех линейно независимых последовательностей $x_{1},\ldots ,x_{m}$ в $X$ и все линейно независимые последовательности $y_{1},\ldots ,y_{n}$ в ⁠ $Y$⁠ , векторы $\left\{T\left(x_{i},y_{j}\right):1\leq i\leq m,1\leq j\leq n\right\}$ линейно независимы.

Например, сразу следует, что если $m$ и $n$ являются целыми положительными числами, тогда $Z:=\mathbb {C} ^{mn}$ и билинейное отображение $T:\mathbb {C} ^{m}\times \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} ^{mn}$ определяется отправкой $(x,y)=\left(\left(x_{1},\ldots ,x_{m}\right),\left(y_{1},\ldots ,y_{n}\right)\right)$ к $\left(x_{i}y_{j}\right)_{\stackrel {i=1,\ldots ,m}{j=1,\ldots ,n}}$ сформировать тензорное произведение $X:=\mathbb {C} ^{m}$ и ⁠ $Y:=\mathbb {C} ^{n}$⁠ . Часто эта карта $T$ будет обозначаться $\,\otimes \,$ так что $x\otimes y\;:=\;T(x,y)$ обозначает значение этой билинейной карты в ⁠ $(x,y)\in X\times Y$⁠ .

В качестве другого примера предположим, что $\mathbb {C} ^{S}$ - векторное пространство всех комплекснозначных функций на множестве $S$ с поточечным определением сложения и скалярного умножения (это означает, что $f+g$ это карта $s\mapsto f(s)+g(s)$ и $cf$ это карта ⁠ $s\mapsto cf(s)$⁠ ). Позволять $S$ и $T$ быть любыми множествами и для любых $f\in \mathbb {C} ^{S}$ и ⁠ $g\in \mathbb {C} ^{T}$⁠ , пусть $f\otimes g\in \mathbb {C} ^{S\times T}$ обозначают функцию, определенную ⁠ $(s,t)\mapsto f(s)g(t)$⁠ . Если $X\subseteq \mathbb {C} ^{S}$ и $Y\subseteq \mathbb {C} ^{T}$ являются векторными подпространствами, то векторное подпространство $Z:=\operatorname {span} \left\{f\otimes g:f\in X,g\in Y\right\}$ из $\mathbb {C} ^{S\times T}$ вместе с билинейной картой: $${\begin{alignedat}{4}\;&&X\times Y&&\;\to \;&Z\\[0.3ex]&&(f,g)&&\;\mapsto \;&f\otimes g\\\end{alignedat}}$$сформировать тензорное произведение $X$ и ⁠ $Y$⁠ .

Характеристики

Измерение

Если V и W — векторные пространства конечной размерности , то $V\otimes W$ конечномерен, и его размерность является произведением размерностей V и W .

Это обусловлено тем, что в основу $V\otimes W$ формируется путем взятия всех тензорных произведений базисного элемента V и базисного элемента W .

Ассоциативность

Тензорное произведение ассоциативно в том смысле, что для данных трех векторных пространств ⁠ $U,V,W$⁠ существует канонический изоморфизм:

$(U\otimes V)\otimes W\cong U\otimes (V\otimes W),$

это отображает $(u\otimes v)\otimes w$ до ⁠ $u\otimes (v\otimes w)$⁠ .

Это позволяет опускать круглые скобки в тензорном произведении более чем двух векторных пространств или векторов.

Коммутативность как операция в векторном пространстве

Тензорное произведение двух векторных пространств $V$ и $W$ коммутативен в том смысле, что существует канонический изоморфизм:

$V\otimes W\cong W\otimes V,$

это отображает $v\otimes w$ до ⁠ $w\otimes v$⁠ .

С другой стороны, даже когда ⁠ $V=W$⁠ тензорное произведение векторов не коммутативно; это ⁠ $v\otimes w\neq w\otimes v$⁠ , в общем.

Карта $x\otimes y\mapsto y\otimes x$ от $V\otimes V$ самому себе индуцирует линейный автоморфизм , который называется карта плетения . В более общем смысле и как обычно (см. тензорную алгебру ), пусть $V^{\otimes n}$ обозначают тензорное произведение n копий векторного пространства V . Для каждой перестановки s первых n натуральных чисел карта:

$x_{1}\otimes \cdots \otimes x_{n}\mapsto x_{s(1)}\otimes \cdots \otimes x_{s(n)}$

индуцирует линейный автоморфизм ⁠ $V^{\otimes n}\to V^{\otimes n}$⁠ , которое называется отображением переплетения.

Тензорное произведение линейных карт

«Тензорное произведение линейных карт» перенаправляется сюда. Обобщение модулей см. в разделе Тензорное произведение модулей § Тензорное произведение линейных отображений и замена базового кольца .

Учитывая линейное отображение ⁠ $f:U\to V$⁠ и векторное пространство W , тензорное произведение:

$f\otimes W:U\otimes W\to V\otimes W$

— единственное линейное отображение такое, что:

$(f\otimes W)(u\otimes w)=f(u)\otimes w.$

Тензорное произведение $W\otimes f$ определяется аналогично.

Даны две линейные карты $f:U\to V$ и ⁠ $g:W\to Z$⁠ , их тензорное произведение:

$f\otimes g:U\otimes W\to V\otimes Z$

это уникальное линейное отображение, которое удовлетворяет:

$(f\otimes g)(u\otimes w)=f(u)\otimes g(w).$

У одного есть:

$f\otimes g=(f\otimes Z)\circ (U\otimes g)=(V\otimes g)\circ (f\otimes W).$

С точки зрения теории категорий это означает, что тензорное произведение является бифунктором категории векторных пространств в себя.

Если f и g одновременно инъективны или сюръективны , то то же самое верно для всех определенных выше линейных отображений. В частности, тензорное произведение с векторным пространством является точным функтором ; это означает, что каждая точная последовательность отображается в точную последовательность ( тензорные произведения модулей не преобразуют инъекции в инъекции, но являются точными справа функторами ).

Выбрав базы всех задействованных векторных пространств, линейные карты f и g могут быть представлены матрицами . Тогда в зависимости от того, как тензор $v\otimes w$ векторизована, матрица, описывающая тензорное произведение $f\otimes g$ является произведением Кронекера двух матриц. Например, если V , X , W и Y выше двумерны и для всех них фиксированы основания, а f и g задаются матрицами: $$A={\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}\\a_{2,1}&a_{2,2}\\\end{bmatrix}},\qquad B={\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\\b_{2,1}&b_{2,2}\\\end{bmatrix}},$$соответственно, тогда тензорное произведение этих двух матриц равно: $${\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}\\a_{2,1}&a_{2,2}\\\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\\b_{2,1}&b_{2,2}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1,1}{\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\\b_{2,1}&b_{2,2}\\\end{bmatrix}}&a_{1,2}{\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\\b_{2,1}&b_{2,2}\\\end{bmatrix}}\\[3pt]a_{2,1}{\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\\b_{2,1}&b_{2,2}\\\end{bmatrix}}&a_{2,2}{\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\\b_{2,1}&b_{2,2}\\\end{bmatrix}}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1,1}b_{1,1}&a_{1,1}b_{1,2}&a_{1,2}b_{1,1}&a_{1,2}b_{1,2}\\a_{1,1}b_{2,1}&a_{1,1}b_{2,2}&a_{1,2}b_{2,1}&a_{1,2}b_{2,2}\\a_{2,1}b_{1,1}&a_{2,1}b_{1,2}&a_{2,2}b_{1,1}&a_{2,2}b_{1,2}\\a_{2,1}b_{2,1}&a_{2,1}b_{2,2}&a_{2,2}b_{2,1}&a_{2,2}b_{2,2}\\\end{bmatrix}}.$$

Результирующий ранг не превышает 4, и, следовательно, результирующая размерность равна 4. Здесь ранг обозначает тензорный ранг , т.е. количество необходимых индексов (в то время как матричный ранг подсчитывает количество степеней свободы в результирующем массиве). ⁠ $\operatorname {Tr} A\otimes B=\operatorname {Tr} A\times \operatorname {Tr} B$⁠ .

Диадическое произведение — это частный случай тензорного произведения двух векторов одной размерности.

Общие тензоры

См. также: Тензор

Для неотрицательных целых чисел r и s тип $(r,s)$ тензор в векторном пространстве V является элементом: $$T_{s}^{r}(V)=\underbrace {V\otimes \cdots \otimes V} _{r}\otimes \underbrace {V^{*}\otimes \cdots \otimes V^{*}} _{s}=V^{\otimes r}\otimes \left(V^{*}\right)^{\otimes s}.$$Здесь $V^{*}$ — двойственное векторное пространство (которое состоит из всех линейных отображений f из V в основное поле K ).

Существует карта произведений, называемая (тензорным) произведением тензоров : $$T_{s}^{r}(V)\otimes _{K}T_{s'}^{r'}(V)\to T_{s+s'}^{r+r'}(V).$$

Он определяется путем группировки всех встречающихся «факторов» V вместе: написание $v_{i}$ для элемента V и $f_{i}$ для элемента двойственного пространства: $$(v_{1}\otimes f_{1})\otimes (v'_{1})=v_{1}\otimes v'_{1}\otimes f_{1}.$$

Если V конечномерно, то выбор базиса V и соответствующего базиса двойственного $V^{*}$ естественным образом индуцирует основу $T_{s}^{r}(V)$ (эта основа описана в статье о продукции Кронекера ). В терминах этих базисов компоненты (тензорного) произведения двух (или более) тензоров можно вычислить . Например, если F и G — два ковариантных тензора порядков m и n соответственно (т. е. $F\in T_{m}^{0}$ и ⁠ $G\in T_{n}^{0}$⁠ ), то компоненты их тензорного произведения имеют вид: $$(F\otimes G)_{i_{1}i_{2}\cdots i_{m+n}}=F_{i_{1}i_{2}\cdots i_{m}}G_{i_{m+1}i_{m+2}i_{m+3}\cdots i_{m+n}}.$$

Таким образом, компоненты тензорного произведения двух тензоров являются обычным произведением компонент каждого тензора. Другой пример: пусть U — тензор типа (1, 1) с компонентами ⁠ $U_{\beta }^{\alpha }$⁠ и пусть V — тензор типа $(1,0)$ с компонентами ⁠ $V^{\gamma }$⁠ . Затем: $$\left(U\otimes V\right)^{\alpha }{}_{\beta }{}^{\gamma }=U^{\alpha }{}_{\beta }V^{\gamma }$$и: $$(V\otimes U)^{\mu \nu }{}_{\sigma }=V^{\mu }U^{\nu }{}_{\sigma }.$$

Тензоры, снабженные операцией произведения, образуют алгебру , называемую тензорной алгеброй .

Карта оценки и сжатие тензора

Для тензоров типа (1, 1) существует каноническая оценочная карта: $$V\otimes V^{*}\to K$$определяется его действием на чистые тензоры: $$v\otimes f\mapsto f(v).$$

В более общем смысле для тензоров типа ⁠ $(r,s)$⁠ , при r , s > 0 , существует отображение, называемое тензорным сжатием : $$T_{s}^{r}(V)\to T_{s-1}^{r-1}(V).$$(Копии $V$ и $V^{*}$ необходимо указать, к чему должна применяться эта карта.)

С другой стороны, если $V$ конечномерен ) , существует каноническое отображение в другом направлении (называемое картой кооценки : $${\begin{cases}K\to V\otimes V^{*}\\\lambda \mapsto \sum _{i}\lambda v_{i}\otimes v_{i}^{*}\end{cases}}$$где $v_{1},\ldots ,v_{n}$ это любая основа ⁠ $V$⁠ и $v_{i}^{*}$ является его двойственной основой . Это отображение не зависит от выбора базиса.

Взаимодействие оценки и совместной оценки можно использовать для характеристики конечномерных векторных пространств без обращения к базам.

Присоединенное представление

Тензорное произведение $T_{s}^{r}(V)$ естественно рассматривать как модуль алгебры Ли $\mathrm {End} (V)$ посредством диагонального действия: для простоты положим ⁠ $r=s=1$⁠ , то для каждого ⁠ $u\in \mathrm {End} (V)$⁠ , $$u(a\otimes b)=u(a)\otimes b-a\otimes u^{*}(b),$$где $u^{*}\in \mathrm {End} \left(V^{*}\right)$ является транспонированием u на , то есть в терминах очевидного спаривания ⁠ $V\otimes V^{*}$⁠ , $$\langle u(a),b\rangle =\langle a,u^{*}(b)\rangle .$$

Существует канонический изоморфизм $T_{1}^{1}(V)\to \mathrm {End} (V)$ предоставлено: $$(a\otimes b)(x)=\langle x,b\rangle a.$$

При этом изоморфизме каждый u в $\mathrm {End} (V)$ можно сначала рассматривать как эндоморфизм $T_{1}^{1}(V)$ а затем рассматривается как эндоморфизм ⁠ $\mathrm {End} (V)$⁠ . Фактически это присоединенное представление ad u ) ⁠ ( $\mathrm {End} (V)$⁠ .

Линейные карты как тензоры

Для двух конечномерных векторных пространств U , V над одним и тем же полем K обозначим пространство двойственное к U как U* , а K -векторное пространство всех линейных отображений из U в V как Hom( U , V ) . Существует изоморфизм: $$U^{*}\otimes V\cong \mathrm {Hom} (U,V),$$определяется действием чистого тензора $f\otimes v\in U^{*}\otimes V$ на элементе ⁠ $U$⁠ , $$(f\otimes v)(u)=f(u)v.$$

Его «обратное» можно определить, используя базис $\{u_{i}\}$ и его двойственная основа $\{u_{i}^{*}\}$ как в разделе « Оценочная карта и сжатие тензора » выше: $${\begin{cases}\mathrm {Hom} (U,V)\to U^{*}\otimes V\\F\mapsto \sum _{i}u_{i}^{*}\otimes F(u_{i}).\end{cases}}$$

Этот результат подразумевает: $$\dim(U\otimes V)=\dim(U)\dim(V),$$что автоматически дает тот важный факт, что $\{u_{i}\otimes v_{j}\}$ составляет основу $U\otimes V$ где $\{u_{i}\},\{v_{j}\}$ основаниями U и V. являются

Кроме того, для данных трех векторных пространств U , V , W тензорное произведение связано с векторным пространством всех линейных карт следующим образом: $$\mathrm {Hom} (U\otimes V,W)\cong \mathrm {Hom} (U,\mathrm {Hom} (V,W)).$$Это пример сопряженных функторов : тензорное произведение «сопряжено слева» к Hom.

Тензорные произведения модулей над кольцом

Основная статья: Тензорное произведение модулей

Тензорное произведение двух модулей A и B над коммутативным кольцом R определяется точно так же, как тензорное произведение векторных пространств над полем: $$A\otimes _{R}B:=F(A\times B)/G,$$где сейчас $F(A\times B)$ — свободный R -модуль, порожденный декартовым произведением, а G — R -модуль, порожденный этими соотношениями .

В более общем смысле тензорное произведение можно определить, даже если кольцо некоммутативно . В этом случае A должен быть правым R -модулем, а B — левым R -модулем, и вместо двух последних отношений, приведенных выше, соотношение: $$(ar,b)\sim (a,rb)$$налагается. Если R некоммутативен, то это уже не R -модуль, а просто абелева группа .

Универсальное свойство также сохраняется, слегка измененное: карта $\varphi :A\times B\to A\otimes _{R}B$ определяется $(a,b)\mapsto a\otimes b$ это средняя линейная карта (называемая «канонической средней линейной картой»). ); то есть он удовлетворяет: $${\begin{aligned}\varphi (a+a',b)&=\varphi (a,b)+\varphi (a',b)\\\varphi (a,b+b')&=\varphi (a,b)+\varphi (a,b')\\\varphi (ar,b)&=\varphi (a,rb)\end{aligned}}$$

Первые два свойства делают φ билинейным отображением абелевой группы ⁠ $A\times B$⁠ . Для любой средней линейной карты $\psi$ из ⁠ $A\times B$⁠ , единственный групповой гомоморфизм f группы $A\otimes _{R}B$ удовлетворяет ⁠ $\psi =f\circ \varphi$⁠ , и это свойство определяет $\varphi$ внутри группового изоморфизма. смотрите в основной статье Подробности .

Тензорное произведение модулей над некоммутативным кольцом

Пусть A — правый R -модуль, а B — левый R -модуль. Тогда тензорное произведение A и B является абелевой группой, определяемой следующим образом: $$A\otimes _{R}B:=F(A\times B)/G$$где $F(A\times B)$ является свободной абелевой группой над $A\times B$ и G — подгруппа $F(A\times B)$ порождается отношениями: $${\begin{aligned}&\forall a,a_{1},a_{2}\in A,\forall b,b_{1},b_{2}\in B,{\text{ for all }}r\in R:\\&(a_{1},b)+(a_{2},b)-(a_{1}+a_{2},b),\\&(a,b_{1})+(a,b_{2})-(a,b_{1}+b_{2}),\\&(ar,b)-(a,rb).\\\end{aligned}}$$

Универсальное свойство можно сформулировать следующим образом. Пусть G — абелева группа с отображением $q:A\times B\to G$ это билинейно в том смысле, что: $${\begin{aligned}q(a_{1}+a_{2},b)&=q(a_{1},b)+q(a_{2},b),\\q(a,b_{1}+b_{2})&=q(a,b_{1})+q(a,b_{2}),\\q(ar,b)&=q(a,rb).\end{aligned}}$$

Тогда есть уникальная карта ${\overline {q}}:A\otimes B\to G$ такой, что ${\overline {q}}(a\otimes b)=q(a,b)$ для всех $a\in A$ и ⁠ $b\in B$⁠ .

Кроме того, мы можем дать $A\otimes _{R}B$ структура модуля при некоторых дополнительных условиях:

1. Если A — ( S , R )-бимодуль, то $A\otimes _{R}B$ — левый S -модуль, где ⁠ $s(a\otimes b):=(sa)\otimes b$⁠ .
2. Если B — ( R , S )-бимодуль, то $A\otimes _{R}B$ — правый S -модуль, где ⁠ $(a\otimes b)s:=a\otimes (bs)$⁠ .
3. Если A — ( S , R )-бимодуль и B — ( R , T )-бимодуль, то $A\otimes _{R}B$ является ( S , T )-бимодулем, где левое и правое действия определяются так же, как и в двух предыдущих примерах.
4. Если R — коммутативное кольцо, то A и B — ( R , R )-бимодули, где $ra:=ar$ и ⁠ $br:=rb$⁠ . Согласно 3), мы можем заключить $A\otimes _{R}B$ является ( R , R )-бимодулем.

Вычисление тензорного произведения

Для векторных пространств тензорное произведение $V\otimes W$ быстро вычисляется, поскольку базы V из W сразу определяют базис ⁠ $V\otimes W$⁠ , как было сказано выше. Для модулей над общим (коммутативным) кольцом не каждый модуль свободен. Например, Z / n Z не является свободной абелевой группой ( Z -модулем). Тензорное произведение с Z / n Z определяется выражением: $$M\otimes _{\mathbf {Z} }\mathbf {Z} /n\mathbf {Z} =M/nM.$$

В более общем смысле, учитывая представление некоторого R -модуля M , то есть ряда образующих $m_{i}\in M,i\in I$ вместе с отношениями: $$\sum _{j\in J}a_{ji}m_{i}=0,\qquad a_{ij}\in R,$$тензорное произведение можно вычислить как следующее коядро : $$M\otimes _{R}N=\operatorname {coker} \left(N^{J}\to N^{I}\right)$$

Здесь ⁠ $N^{J}=\oplus _{j\in J}N$⁠ и карта $N^{J}\to N^{I}$ определяется путем отправки некоторого $n\in N$ в j -м экземпляре $N^{J}$ к $a_{ij}n$ (в ⁠ $N^{I}$⁠ ). В разговорной речи это можно перефразировать, сказав, что представление M порождает представление ⁠ $M\otimes _{R}N$⁠ . Об этом говорят, говоря, что тензорное произведение является точным правым функтором . Вообще говоря, оно не является точным слева, то есть для данного инъективного отображения R -модулей ⁠ $M_{1}\to M_{2}$⁠ , тензорное произведение: $$M_{1}\otimes _{R}N\to M_{2}\otimes _{R}N$$обычно не является инъективным. Например, тензоризация (инъективного) отображения, заданного умножением на n , n : Z → Z с Z / n Z, дает нулевое отображение 0: Z / n Z → Z / n Z , которое не является инъективным. Высшие функторы Tor измеряют дефект тензорного произведения, поскольку он не остается точным. Все высшие функторы Tor собираются в производное тензорное произведение .

Тензорное произведение алгебр

Основная статья: Тензорное произведение алгебр

Пусть R — коммутативное кольцо. Тензорное произведение R -модулей применимо, в частности, если A и B — R -алгебры . В этом случае тензорное произведение $A\otimes _{R}B$ сама является R -алгеброй, если положить: $$(a_{1}\otimes b_{1})\cdot (a_{2}\otimes b_{2})=(a_{1}\cdot a_{2})\otimes (b_{1}\cdot b_{2}).$$Например: $$R[x]\otimes _{R}R[y]\cong R[x,y].$$

Конкретным примером является ситуация, когда и B являются полями, содержащими общее подполе R. A Тензорное произведение полей тесно связано с теорией Галуа : если, скажем, A = R [ x ]/ f ( x ) , где f — некоторый неприводимый многочлен с коэффициентами из R , тензорное произведение можно вычислить как: $$A\otimes _{R}B\cong B[x]/f(x)$$где теперь f интерпретируется как тот же полином, но с его коэффициентами, рассматриваемыми как элементы B . В большем поле B полином может стать приводимым, что приводит к теории Галуа. Например, если A = B является Галуа расширением R , то: $$A\otimes _{R}A\cong A[x]/f(x)$$изоморфна (как A -алгебра) ⁠ $A^{\operatorname {deg} (f)}$⁠ .

Собственные конфигурации тензоров

Квадратные матрицы $A$ с записями в поле $K$ представляют собой линейные карты векторных пространств , скажем ⁠ $K^{n}\to K^{n}$⁠ и, следовательно, линейные отображения $\psi :\mathbb {P} ^{n-1}\to \mathbb {P} ^{n-1}$ проективных пространств над ⁠ $K$⁠ . Если $A$ неособа ​ тогда $\psi$ , всюду четко определена а собственные векторы $A$ соответствуют неподвижным точкам ⁠ $\psi$⁠ . конфигурация Собственная ​ $A$ состоит из $n$ точки в ⁠ $\mathbb {P} ^{n-1}$⁠ , при условии $A$ является общим и $K$ замкнуто алгебраически . Неподвижные точки нелинейных отображений являются собственными векторами тензоров. Позволять $A=(a_{i_{1}i_{2}\cdots i_{d}})$ быть $d$-мерный тензор формата $n\times n\times \cdots \times n$ с записями $(a_{i_{1}i_{2}\cdots i_{d}})$ лежащий в алгебраически замкнутом поле $K$ характеристики нулевой . Такой тензор $A\in (K^{n})^{\otimes d}$ определяет полиномиальные карты $K^{n}\to K^{n}$ и $\mathbb {P} ^{n-1}\to \mathbb {P} ^{n-1}$ с координатами: $$\psi _{i}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{j_{2}=1}^{n}\sum _{j_{3}=1}^{n}\cdots \sum _{j_{d}=1}^{n}a_{ij_{2}j_{3}\cdots j_{d}}x_{j_{2}}x_{j_{3}}\cdots x_{j_{d}}\;\;{\mbox{for }}i=1,\ldots ,n$$

Таким образом, каждый из $n$ координаты $\psi$ представляет собой однородный полином $\psi _{i}$ степени $d-1$ в ⁠ $\mathbf {x} =\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)$⁠ . Собственные векторы $A$ являются решениями ограничения: $${\mbox{rank}}{\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&\cdots &x_{n}\\\psi _{1}(\mathbf {x} )&\psi _{2}(\mathbf {x} )&\cdots &\psi _{n}(\mathbf {x} )\end{pmatrix}}\leq 1$$ задается разнообразием а собственная конфигурация $2\times 2$ миноры этой матрицы.

Другие примеры тензорных произведений

Топологические тензорные произведения

Основные статьи: Топологическое тензорное произведение и Тензорное произведение гильбертовых пространств.

Гильбертовые пространства обобщают конечномерные векторные пространства до произвольных размерностей. Существует аналогичная операция , также называемая «тензорным произведением», которая превращает гильбертово пространство в симметричную моноидальную категорию . По сути, он построен как пополнение метрического пространства алгебраического тензорного произведения, обсуждавшегося выше. Однако оно не удовлетворяет очевидному аналогу универсального свойства, определяющего тензорные произведения; морфизмы этого свойства должны быть ограничены операторами Гильберта–Шмидта .

В ситуациях, когда наложение внутреннего продукта неуместно, все равно можно попытаться завершить алгебраическое тензорное произведение как топологическое тензорное произведение . Однако такая конструкция больше не определена однозначно: во многих случаях существует несколько естественных топологий алгебраического тензорного произведения.

Тензорное произведение градуированных векторных пространств

Основная статья: Градуированное векторное пространство § Операции над градуированными векторными пространствами

Некоторые векторные пространства можно разложить в прямые суммы подпространств. В таких случаях тензорное произведение двух пространств можно разложить на суммы произведений подпространств (аналогично тому, как умножение распределяется над сложением).

Тензорное произведение представлений

Основная статья: Тензорное произведение представлений

Векторные пространства, наделенные дополнительной мультипликативной структурой, называются алгебрами . Тензорное произведение таких алгебр описывается правилом Литтлвуда–Ричардсона .

Тензорное произведение квадратичных форм

Основная статья: Тензорное произведение квадратичных форм

Тензорное произведение полилинейных форм

Учитывая две полилинейные формы $f(x_{1},\dots ,x_{k})$ и $g(x_{1},\dots ,x_{m})$ в векторном пространстве $V$ над полем $K$ их тензорное произведение имеет полилинейную форму: $$(f\otimes g)(x_{1},\dots ,x_{k+m})=f(x_{1},\dots ,x_{k})g(x_{k+1},\dots ,x_{k+m}).$$

Это частный случай произведения тензоров , если их рассматривать как полилинейные карты (см. также тензоры как полилинейные карты ). Таким образом, компоненты тензорного произведения полилинейных форм могут быть вычислены с помощью произведения Кронекера .

Тензорное произведение пучков модулей

Основная статья: Связка модулей

Тензорное произведение линейных расслоений

Основная статья: Векторное расслоение § Операции с векторными расслоениями

См. также: Пакет продуктов Tensor.

Тензорное произведение полей

Основная статья: Тензорное произведение полей

Тензорное произведение графов

Основная статья: Тензорное произведение графов

Следует отметить, что, хотя оно и называется «тензорным произведением», оно не является тензорным произведением графов в указанном выше смысле; на самом деле это теоретико-категорный продукт в категории графов и гомоморфизмов графов . Однако на самом деле это тензорное произведение Кронекера матриц смежности графов. Сравните также раздел «Тензорное произведение линейных карт» выше.

Моноидальные категории

Наиболее общей настройкой для тензорного произведения является моноидальная категория . Он отражает алгебраическую суть тензоризации без каких-либо конкретных ссылок на то, что тензорируется. Таким образом, все тензорные произведения могут быть выражены как применение моноидальной категории к некоторой конкретной ситуации, действующей на некоторые конкретные объекты.

Факторалгебры

Ряд важных подпространств тензорной алгебры можно построить как факторы : к ним относятся внешняя алгебра , симметрическая алгебра , алгебра Клиффорда , алгебра Вейля и универсальная обертывающая алгебра в целом.

Внешняя алгебра строится из внешнего произведения . Учитывая векторное пространство V , внешний продукт $V\wedge V$ определяется как: $$V\wedge V:=V\otimes V{\big /}\{v\otimes v\mid v\in V\}.$$

Когда основное поле V не имеет характеристики 2, это определение эквивалентно: $$V\wedge V:=V\otimes V{\big /}{\bigl \{}v_{1}\otimes v_{2}+v_{2}\otimes v_{1}\mid (v_{1},v_{2})\in V^{2}{\bigr \}}.$$

Образ $v_{1}\otimes v_{2}$ во внешнем виде изделие обычно обозначается $v_{1}\wedge v_{2}$ и по построению удовлетворяет ⁠ $v_{1}\wedge v_{2}=-v_{2}\wedge v_{1}$⁠ . Подобные конструкции возможны для $V\otimes \dots \otimes V$ ( n факторов), что приводит к ⁠ $\Lambda ^{n}V$⁠ , n я внешняя V. - степень Последнее понятие лежит в основе дифференциальных n -форм .

Симметричная алгебра строится аналогичным образом из симметричного произведения : $$V\odot V:=V\otimes V{\big /}{\bigl \{}v_{1}\otimes v_{2}-v_{2}\otimes v_{1}\mid (v_{1},v_{2})\in V^{2}{\bigr \}}.$$

В более общем плане: $$\operatorname {Sym} ^{n}V:=\underbrace {V\otimes \dots \otimes V} _{n}{\big /}(\dots \otimes v_{i}\otimes v_{i+1}\otimes \dots -\dots \otimes v_{i+1}\otimes v_{i}\otimes \dots )$$

То есть в симметричной алгебре два соседних вектора (а значит, и все) можно поменять местами. Полученные объекты называются симметричными тензорами .

Тензорное произведение в программировании

Языки программирования массивов

В языках программирования массивов этот шаблон может быть встроен. Например, в APL тензорное произведение выражается как ○.× (например A ○.× B или A ○.× B ○.× C). В J тензорное произведение представляет собой двоичную форму */ (например a */ b или a */ b */ c).

Обработка J также позволяет представить некоторые тензорные поля, как a и b могут быть функциями вместо констант. Это произведение двух функций является производной функцией, и если a и b дифференцируемы то , a */ b является дифференцируемым.

Однако эти виды обозначений не всегда присутствуют в языках массивов. Другие языки работы с массивами могут требовать явной обработки индексов (например, MATLAB ) и/или не поддерживать функции высшего порядка, такие как производная Якобиана (например, Fortran /APL).

См. также

• Диадики - тензор второго порядка в векторной алгебре
• Расширение скаляров
• Моноидальная категория - категория, допускающая тензорные произведения.
• Тензорная алгебра - универсальная конструкция в полилинейной алгебре
• Тензорное сжатие - операция в математике и физике
• Топологическое тензорное произведение - конструкции тензорных произведений для топологических векторных пространств.

Ссылки

• Бурбаки, Николя (1989). Элементы математики, Алгебра I. Спрингер-Верлаг. ISBN  3-540-64243-9 .
• Гауэрс, Тимоти . «Как перестать бояться тензорных произведений» . Архивировано из оригинала 7 мая 2021 года.
• Грилье, Пьер А. (2007). Абстрактная алгебра . Спрингер Сайенс+Бизнес Медиа, ООО. ISBN  978-0387715674 .
• Халмос, Пол (1974). Конечномерные векторные пространства . Спрингер. ISBN  0-387-90093-4 .
• Хангерфорд, Томас В. (2003). Алгебра . Спрингер. ISBN  0387905189 .
• Ланг, Серж (2002), Алгебра , Тексты для аспирантов по математике , том. 211 (пересмотренное третье издание), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN.  978-0-387-95385-4 , МР   1878556 , Збл   0984.00001
• Мак Лейн, С .; Биркгоф, Г. (1999). Алгебра . АМС Челси. ISBN  0-8218-1646-2 .
• Агиар, М.; Махаджан, С. (2010). Моноидальные функторы, виды и алгебры Хопфа . Серия монографий по CRM, том 29. ISBN  978-0-8218-4776-3 .
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-45352-1 . OCLC   853623322 .
• «Библиография по неабелеву тензорному произведению групп» .